線系統(tǒng)的根軌跡法ppt課件

1、第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法本章主要內(nèi)容與重點 根軌跡方程根軌跡繪制的根本法那么廣義根軌跡 本章論述了控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法。包括根軌跡的根本概念、繪制系統(tǒng)根軌跡的根本條件和根本規(guī)那么,參量根軌跡和零度根軌跡的概念和繪制方法，以及利用根軌跡如何分析計算控制系統(tǒng)的性能穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能目的等。本章重點本章重點本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 學(xué)習(xí)本章內(nèi)容學(xué)習(xí)本章內(nèi)容, ,應(yīng)重點應(yīng)重點掌握根軌跡的根本概念、繪掌握根軌跡的根本概念、繪制根軌跡的條件、系統(tǒng)根軌制根軌跡的條件、系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)那么和利用根軌跡的繪制規(guī)那么和利用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能特性和穩(wěn)態(tài)

2、性能, , 參量根軌參量根軌跡的概念和繪制方法跡的概念和繪制方法, ,了解了解零度根軌跡的根本概念和繪零度根軌跡的根本概念和繪制方法。制方法。4-1 4-1 根軌跡方程根軌跡方程特征方程的根 運動模態(tài) 系統(tǒng)動態(tài)呼應(yīng)穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能根軌跡根軌跡 開環(huán)系統(tǒng)傳送函數(shù)的每一個參數(shù)從零變化開環(huán)系統(tǒng)傳送函數(shù)的每一個參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在 s 平面上的軌跡稱平面上的軌跡稱為為根軌跡。根軌跡。假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)不存在零點與極點相消，閉環(huán)特征方程的根與閉環(huán)傳送函數(shù)的極點是一一對應(yīng)的。022)(,222)()()(22KsssDKssKsRsCs)15 .0(ssK

3、例 二階系統(tǒng)的根軌跡Ks2112, 1開環(huán)增益K從零變到無窮，可以用解析方法求出閉環(huán)極點的全部數(shù)值。Ks2112, 1 0K00K1221211K5 .2KKj5 .0K根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性穩(wěn)定性 調(diào)查根軌跡能否進入右半調(diào)查根軌跡能否進入右半 s 平面。平面。穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)傳送函數(shù)在坐標原點有一個極點，開環(huán)傳送函數(shù)在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)為系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根軌跡上的型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是靜態(tài)誤差系數(shù)。值就是靜態(tài)誤差系數(shù)。但是由開環(huán)傳送函數(shù)繪制根軌跡，但是由開環(huán)傳送函數(shù)繪制根軌跡，K是根軌跡增益，是根軌跡增益，根軌跡增益與開環(huán)增益之間有一個轉(zhuǎn)換關(guān)系。根軌跡增益與開

4、環(huán)增益之間有一個轉(zhuǎn)換關(guān)系。動態(tài)性能動態(tài)性能 由由K值變化所對應(yīng)的閉環(huán)極點分布來估值變化所對應(yīng)的閉環(huán)極點分布來估計。計。對于高階系統(tǒng)，不能用特征方程求根的解析方法得到根軌跡。根軌跡法 圖解法求根軌跡。 從開環(huán)傳送函數(shù)著手，經(jīng)過圖解法來求閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系設(shè) 控制系統(tǒng)如下圖qiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()() 12)(1() 12)(1()()(sG)(sH)(sC)(sR)()(1)()(sHsGsGs*11*1111*,)()()()()()()()(HGniimjjhjjqiiljjfiiHGKKKlf

5、mhqnpszsKpspszszsKKsHsG22121*TTKKGG和hjjljjHpszsKsH11*)()()(GK*GK*HK ：前向通路增益 ：前向通道根軌跡增益 ：反響通道根軌跡增益mjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(結(jié)論：1閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益 = 開環(huán)前向通道系統(tǒng)根軌跡增益。2閉環(huán)系統(tǒng)的零點 開環(huán)前向通道傳送函數(shù)的零點和反響通道傳送函數(shù)的極點所組成。3閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點、根軌跡增益 均有關(guān)。*K根軌跡法的義務(wù)：由知的開環(huán)零極點和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點。根軌跡方程1)()(0)()(111

6、*niimjjpszsKsHsG由閉環(huán)傳送函數(shù))()(1)()(sHsGsGs*0KK當求出相應(yīng)的根，就可以在s平面上繪制出根軌跡。根軌跡方程),2, 1,0(,)12()()(11kkpszsniimjjmjjniizspsK11*)12(11*11*1,1)()(kjjniimjjniimjjeepszsKpszsK根軌跡方程可以進一步表示為相角條件幅角條件：充分必要條件模值條件幅值條件：iniipspsK1*0)(04-2 4-2 根軌跡繪制的根本法那么根軌跡繪制的根本法那么*K可變參數(shù)為根軌跡增益),2, 1,0(,180)12()12()()(11kkkpszsoniimjj相角條件

7、：180o相軌跡規(guī)那么規(guī)那么1：根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極：根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。點，終止于開環(huán)零點。簡要證明：簡要證明：0)()(0)()(11*1mjjniizsKpssHsG又從0)()(111*mjjniizspsKjmjjzszsK1*0)(在實踐系統(tǒng)通常是 ，那么還有 條根軌跡終止于s平面的無窮遠處，這意味著在無窮遠處有 個無限遠無窮零點。mn )(mn)(mn0*K*K0mn 0mn 0*K*K有兩個無窮遠處的終點有一個無窮遠處的起點規(guī)那么規(guī)那么2：根軌跡的分支數(shù)和對稱性：根軌跡的分支數(shù)和對稱性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)根軌跡的分支

8、數(shù)與開環(huán)極點數(shù)n相等相等nm 或與開環(huán)有限零點數(shù)或與開環(huán)有限零點數(shù)m相等相等nm 時，那么有時，那么有n-m) 條根軌跡分支終止于無限條根軌跡分支終止于無限零點。這些根軌跡分支趨向無窮遠的漸近線由與實軸零點。這些根軌跡分支趨向無窮遠的漸近線由與實軸的夾角和交點來確定。的夾角和交點來確定。)22)(4()1()(2*sssssKsGmnkoa180)12(mnzpnimjjia11與實軸夾角與實軸交點例1 設(shè)單位反響系統(tǒng)的前向傳送函數(shù)為1,11,4,014321zjpjppp2有4條根軌跡的分支，對稱于實軸13有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線oooooakmnk180,60,6014180)1

9、2(180)12(67.114)1()1140(11jjmnzpnimjjia與實軸夾角與實軸交點圖示P. 4-6規(guī)那么規(guī)那么4：實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡假設(shè)實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，那么必有：其假設(shè)實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，那么必有：其右邊開環(huán)實數(shù)零點數(shù)右邊開環(huán)實數(shù)零點數(shù)+開環(huán)實數(shù)極點數(shù)為奇數(shù)。開環(huán)實數(shù)極點數(shù)為奇數(shù)。這個結(jié)論可以用相角條件證明。這個結(jié)論可以用相角條件證明。由相角條件 )12(11kniimjj圖示證明： P. 圖4-7 規(guī)那么規(guī)那么5：根軌跡分別點：根軌跡分別點兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 s 平面上相遇又立刻平面上相遇又立刻分開

10、的點稱為分別點會合點。分開的點稱為分別點會合點。分別點會合點的坐標分別點會合點的坐標 d 由以下方程所決議：由以下方程所決議：niimjjpdzd1111) 1 (0)()()2(0)()(1)()(1*dsdssHsdGsNsMKsHsG或0) 3(*dsdsdK注：1根軌跡出現(xiàn)分別點闡明對應(yīng)是特征根出現(xiàn)了重根。2假設(shè)實軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點包括無限零點或開環(huán)極點包括無限極點，那么在此段根軌跡上必有分別點。3分別點假設(shè)在復(fù)平面上，那么一定是成對出現(xiàn)的。例 2 繪制圖示系統(tǒng)大致的根軌跡)3)(2()1(*ssssK)(sR)(sC11z解1開環(huán)零點開環(huán)極點根軌跡分支數(shù)為3條，有兩個

11、無窮遠的零點。3,2,0321ppp2實軸上根軌跡3趨向無窮遠處的漸近線的夾角與交點4分別點用試探法求解0, 1, 2, 32) 13/() 1()320(aooak90) 13/(180) 12(47. 2)2(4 . 03121167. 0115 . 2) 1 (3121111dddddddddd10j2347. 2jszKKsssKsssKsG125 . 0)22()2(15 . 0) 15 . 0()(2 , 11*2*2例3：設(shè)單位反響系統(tǒng)的傳送函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解1一個開環(huán)零點，兩個開環(huán)極點；兩條根軌跡分支；有一個無窮遠處的零點。2漸近線與實軸重合的，實軸上根軌跡-，-2。

12、3分別點414. 3586. 0414. 3024111121212dddddjdjdd10j414. 324由相角條件可以證明復(fù)平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為-2，j0)，半徑為2222221111110)2() 2(02411)1)(2/()1(1)1/1()2/(1111211112,180) 12()1()1() 2(tgtgtgtgtgtgjskjsjss規(guī)那么規(guī)那么6：根軌跡的起始角出射角和終止角入射角：根軌跡的起始角出射角和終止角入射角起始角出射角：根軌跡分開復(fù)平面上開環(huán)極點處的起始角出射角：根軌跡分開復(fù)平面上開環(huán)極點處的切線與實軸的夾角切線與實軸的夾角 。終止角入射角：根軌

13、跡進入復(fù)平面上開環(huán)零點處的終止角入射角：根軌跡進入復(fù)平面上開環(huán)零點處的切線與實軸的夾角切線與實軸的夾角 。ipizmjnijjpppzopijiji11180mijjnjzpzzozijiji11180例410j2334p213213211804opjs *K規(guī)那么規(guī)那么7：根軌跡與虛軸的：根軌跡與虛軸的交點交點交點對應(yīng)的根軌跡增益交點對應(yīng)的根軌跡增益 和角頻率和角頻率 可以用勞斯判可以用勞斯判據(jù)或閉環(huán)特征方程據(jù)或閉環(huán)特征方程 確定。確定。)22)(3()()(2*ssssKsHsG例5 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)試繪制系統(tǒng)大致的根軌跡。解1無開環(huán)零點，開環(huán)極點在實軸上根軌跡-3，0。2有4條分支趨向

14、無窮遠處。漸近線的夾角與交點jppp1,3,04 , 32125.141130135,454180)12(jjkaoooa3分別點01111311jdjddd3 . 206161540)685(0685)22)(3(0)()(1)()22)(3()()(23*234*234*22*dddddsdKssssKKssssKsssssHsGsDssssKsHsGds4起始角出射角ooooooptgtgjj6 .719021)190(18090)31()1(180113op6 .7145與虛軸的交點 運用勞斯判據(jù)0685)(0)()(1)(*234KsssssDsHsGsD*0*23*4034/ )2

15、5204(5686581KsKsKssKs由第一列、第三行元素為零16. 8025204*KK由輔助方程095. 1016. 8)568(2, 12jss0j13 . 23規(guī)那么規(guī)那么 8：閉環(huán)極點之和、閉：閉環(huán)極點之和、閉環(huán)極點之積與根軌跡分支的走環(huán)極點之積與根軌跡分支的走向向mjnllnjmniinninllinllnnlnnininljmmjminninnllmjjniimjjniipzKpppmnpspszszsKpspspszsKpszsKpssHsG11*111111111*111*11*1) 1() 1() 1(2) 1()() 1()() 1()()()()(0)()(0)()

16、(1mjnllnjmniinninllipzKpppmn11*111) 1() 1() 1(2假設(shè)開環(huán)傳送函數(shù)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)1mjnlljmnmjnlljmnniipzKpzKp11*11*1) 1() 1(結(jié)論：結(jié)論：1假設(shè)假設(shè) n-m2 閉環(huán)極點之和閉環(huán)極點之和 = 開環(huán)極點之和開環(huán)極點之和 = 常數(shù)常數(shù)闡明：在某些根軌跡分支閉環(huán)極點向左挪動，而闡明：在某些根軌跡分支閉環(huán)極點向左挪動，而另一些根軌跡分支閉環(huán)極點必需向右挪動，才干另一些根軌跡分支閉環(huán)極點必需向右挪動，才干維持閉環(huán)極點之和為常數(shù)。維持閉環(huán)極點之和為常數(shù)。2對于對于1型以上包括型以上包括1型的系統(tǒng)，閉環(huán)極點之積型的系統(tǒng)，閉環(huán)極點

17、之積與開環(huán)增益值成正比。與開環(huán)增益值成正比。閉環(huán)極點確實定閉環(huán)極點確實定對于特定的K*值下的閉環(huán)極點，可以借助根軌跡圖用模值條件確定。根據(jù)K*值，通常用試探法先確定在實軸上的閉環(huán)極點，然后確定其它的閉環(huán)極點。例6 確定 K*=4 的閉環(huán)極點。0j13 . 23)3()1()1(*sjsjssK由于知分別點33. 4) 3(3 . 2)1(3 . 2)1(3 . 23 . 2*jjK3 . 2d于是可知 K*=4 對應(yīng)的閉環(huán)極點在分別點兩側(cè)。經(jīng)過假設(shè)干次試探，找出滿足模值條件的兩個閉環(huán)極點52. 2221ss86. 024. 0)(52. 2)(2(4685)(44, 343234*jsssss

18、sssssssDK另外兩個根可以從特征方程求出P.144 圖4-15給出了一些不同開環(huán)零極點分布時，其根軌跡大致走向。4-3 4-3 廣義根軌跡廣義根軌跡廣義根軌跡是指根軌跡參數(shù)除了開環(huán)增益之外的廣義根軌跡是指根軌跡參數(shù)除了開環(huán)增益之外的一切根軌跡。一切根軌跡。參數(shù)根軌跡，開環(huán)零點個數(shù)大于開環(huán)極點個數(shù)的參數(shù)根軌跡，開環(huán)零點個數(shù)大于開環(huán)極點個數(shù)的根軌跡，具有正反響內(nèi)環(huán)的零度根軌跡等。根軌跡，具有正反響內(nèi)環(huán)的零度根軌跡等。參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡 以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡根軌跡引入等效開環(huán)傳送函數(shù)的概念0)()(1)()(,1)()(0)()(1)(sHsGsAP

19、sQsQsPAsHsGsD)()()()(11sQsPAsHsG等效開環(huán)傳送函數(shù)留意：在此的等效意義是在特征方程一樣，或者是閉環(huán)留意：在此的等效意義是在特征方程一樣，或者是閉環(huán)極點一樣的前提下成立；而此時閉環(huán)零點是不同的。極點一樣的前提下成立；而此時閉環(huán)零點是不同的。例1：設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為) 1)(1()(sTssKsGa其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù) 對系統(tǒng)性能的影響。aT解：閉環(huán)特征方程KssssTsGKssssTssTKssKsTssaaaa) 1() 1()(0) 1() 1(10) 1() 1(0) 1)(1(2122要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳送函數(shù)

20、的極點0) 1(1ssKKp41212, 1等效開環(huán)極點注：假設(shè)分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環(huán)極點，那么運用根軌跡法求解。如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然后將G1(s)的零、極點畫在 s 平面上，在令繪制出 變化時的參數(shù)根軌跡。aaTT0aT0j25. 0K1210jK25. 0附加開環(huán)零點的作用附加開環(huán)零點的作用1. 附加適當?shù)拈_環(huán)零點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。附加適當?shù)拈_環(huán)零點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳送函數(shù)為設(shè)開環(huán)傳送函數(shù)為)22()()()(21*ssszsKsHsG1z1z 附加的開環(huán)實數(shù)零點，其值可在s左半平面內(nèi)恣意選擇，當

21、時，闡明不存在有限零點。1z令 為不同的數(shù)值，對應(yīng)的根軌跡見P.150 圖4-25所示：a無開環(huán)零點；b ；cd31z21z01z2 . 附加開環(huán)零點的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。1z0j1p3p2p3s2s1s0j3s3p2p1p2s1s1znn結(jié)論：只需當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有能夠使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。零度根軌跡零度根軌跡在非最小相位系統(tǒng)，此時相角條件為在非最小相位系統(tǒng)，此時相角條件為 在一些復(fù)雜系統(tǒng)中，包含了正反響內(nèi)回路，在一些復(fù)雜系統(tǒng)中，包含了正反響內(nèi)回路，有時為了分析內(nèi)回路的特性，那么有必要繪有時為了分析內(nèi)回

22、路的特性，那么有必要繪制相應(yīng)的根軌跡，其相角條件為制相應(yīng)的根軌跡，其相角條件為 具有這類相角條件的相軌跡稱為：零度根軌具有這類相角條件的相軌跡稱為：零度根軌跡跡ko20 ko20 )(sC)(sR)(sG)( sH)(1sG)(1sH零度根軌跡的繪制零度根軌跡的繪制以具有正反響內(nèi)回路的的系統(tǒng)為例。以具有正反響內(nèi)回路的的系統(tǒng)為例。具有正反響內(nèi)回路系統(tǒng)如下圖，外回路是采用負反響加具有正反響內(nèi)回路系統(tǒng)如下圖，外回路是采用負反響加以穩(wěn)定，為了分析整個系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內(nèi)以穩(wěn)定，為了分析整個系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內(nèi)回路的零、極點，這就相當于繪制具有正反響系統(tǒng)的根回路的零、極點，這就相當于繪制

23、具有正反響系統(tǒng)的根軌跡。軌跡。)(sC)(sR)(sG)( sH)(1sG)(1sH)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)()(sHsG), 2, 1, 0(,20)()(11kkpszsoniimjj等效為相角方程幅角條件和模方程模值條件mjjniizspsK11*與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。所以零度根軌跡的繪制的規(guī)那么只需思索相角條件所引起的某些規(guī)那么的修正。規(guī)那么3：漸近線的夾角),2, 1,0(1802kmnkoamnzpnimjjia11與實軸夾角與實軸交點規(guī)那么規(guī)那么4：實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡假設(shè)實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，那么必有：其假設(shè)實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，那么必有：其右邊開環(huán)