函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)的單調(diào)性蕉嶺縣華僑中學 何映花教學背景：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個性質(zhì)。并且在比較幾個數(shù)的大小，對函數(shù)作定性分析，以及與其他知識的綜合應用上都有著廣泛的應用。對學生來說，函數(shù)的單調(diào)性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質(zhì)。學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經(jīng)學過的知識，感覺乏味。因此，授課時需加強對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理。另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做到的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知

2、過程中的難點。因此在課堂上突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義，而且想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在以后的學習中學有所用。還有，使用函數(shù)單調(diào)性定義證明是一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中比較法的基本思路，現(xiàn)在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊。本課還涉及函數(shù)單調(diào)性的簡單應用，即求函數(shù)的最值的應用，目的是讓學生知道學習函數(shù)的單調(diào)性是為了更好地研究函數(shù)，更清楚地表述道理。教法說明：針對學生這種情況，本節(jié)課采用問答式、探究式教學法。教師

3、在課堂教學中只起著向?qū)ё饔?，讓學生在教師的提問中自覺的發(fā)現(xiàn)新知，探究新知。并且加入激勵性的語言提高學生學習的積極性，讓學生參與知識形成的全過程。從而激發(fā)了學生的學習動機，提高了課堂教學的效率。 知識目標：理解函數(shù)單調(diào)性的概念及其應用。能力目標：培養(yǎng)學生應用數(shù)形結(jié)合的思想，觀察問題、分析問題的能力。提高學生利用數(shù)學概念進行判斷推理的能力。情感目標：培養(yǎng)學生唯物主義思想觀念，通過學生自己對概念的歸納、理解加強學生的自信心。養(yǎng)成細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣。教學重點：單調(diào)函數(shù)的概念是重點。教學難點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明。使用教具：多媒體教學教學過程：一、創(chuàng)設情境，引入課題1、下圖是北

4、京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖. 引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考問題： (1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到； (3)哪些時段溫度升高？哪些時段溫度降低？在生活中，我們關心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小設計意圖由生活情境引入新課，激發(fā)興趣二、歸納探索，形成概念對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是系統(tǒng)地學習這塊內(nèi)容.1借助圖象，直觀感知問題1：分別作出函數(shù)，的圖象，并且思考（1） 函數(shù)的

5、圖象從左至右是上升還是下降，在區(qū)間_上的值隨x的增大而_（2） 函數(shù)的圖象從左至右是上升還是下降，在區(qū)間_上的值隨x的增大而_（3） 函數(shù)在區(qū)間_上，的值隨x的增大而增大（4） 函數(shù)在區(qū)間_上，的值隨x的增大而減小設計意圖從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性2抽象思維，形成概念問題：你能用數(shù)學符號語言描述第（3）（4）題嗎？任取,因為,即，所以任意的，（），<,則任意的，（），<,則師生共同探究，得出增函數(shù)和減函數(shù)的定義：增函數(shù)定義：如果函數(shù)y=f(x)在數(shù)集I上滿足：隨著自變量x的增大，因變量y也增大，那么稱y=f(x)在數(shù)集I上單調(diào)增，也稱y=f(x)在數(shù)集I上是增函數(shù)數(shù)學語言描述： 如果

6、函數(shù)y=f(x)在數(shù)集I上滿足：對于任意的，I,當<時，f()<f()，則稱y=f(x)在數(shù)集I上單調(diào)增，也稱y=f(x)在數(shù)集I上是增函數(shù)。同學們根據(jù)增函數(shù)的定義給出減函數(shù)的定義設計意圖函數(shù)的單調(diào)性的概念的引入，就是通過設問從具體形象到抽象，由感性到理性。引導學生通過自己的觀察、思考形成新的知識結(jié)構(gòu)。在引出增、減函數(shù)的定義時，強調(diào)要注意“任意”、“都有”幾個關鍵的詞。又在分析單調(diào)區(qū)間的概念時，說明單調(diào)區(qū)間分單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，并通過圖形直觀地理解定義。這樣使學生不僅掌握新授概念，而且掌握了相關概念間的縱橫聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)。把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度事實上

7、也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.判斷題：若函數(shù)通過判斷題，強調(diào)三點：單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)) 函數(shù)的單調(diào)性就是函數(shù)的增減性設計意圖讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解.有了函數(shù)的單調(diào)性這一概念就有如下概念：如果函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)，就稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。如果函數(shù)在某區(qū)間上是減函數(shù)，就稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。練一練下圖為函數(shù)的圖像，找出它的單

8、調(diào)區(qū)間以及在每個區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。設計意圖根據(jù)圖象來說明一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)，可讓學生根據(jù)圖象自己回答，并指出從圖象上進行觀察是一種雖然常用，但較為粗略的方法，嚴格來說還需要推理論證。這種對概念進行辯析，加深理解，融能力培養(yǎng)于概念之中的教學方法，是加強基礎開發(fā)潛能的有效手段。三、掌握證法，適當延展例1、 證明函數(shù)在R上是增函數(shù)1分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流證明：任取, 設元 求差 變形斷號即 定論函數(shù)函數(shù)在R上是增函數(shù) 2歸納解題步驟引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論練習：證明函數(shù) 在上是增函

9、數(shù)4、 定義變形，靈活運用上面我們已經(jīng)得到：如果函數(shù)y=f(x)在數(shù)集I上滿足：對于任意的，I,當<時，f()<f()，則稱y=f(x)在數(shù)集I上單調(diào)增，也稱y=f(x)在數(shù)集I上是增函數(shù)。這個定義可以適當變形：（1）如果函數(shù)y=f(x)在數(shù)集I上是增函數(shù)，對于任意的，I,當f()<f()時，則<。（2） 如果函數(shù)y=f(x)在數(shù)集I上是增函數(shù)，對于任意的，I,當<時，則f()<f()。同學們根據(jù)增函數(shù)的定義變形，寫出減函數(shù)的定義變形。例2、已知f（x)是在R上的增函數(shù)，解不等式：f(2x+1)<f(1-3x)。分析：這是一個抽象函數(shù)，它的解析式是求不

10、出來的，這可以說是一個難點。但通過這節(jié)課所學的知識由增函數(shù)定義的變形1可知，原不等式可轉(zhuǎn)化為2x+1<1-3x這樣簡單的不等式了。解題過程由學生完成。練習：已知f(x)的定義域為(-2,3)，解不等式f(x+1)>f(2x-1)。設計意圖增函數(shù)的定義變形，讓學生明白：如果函數(shù)y=f(x)在數(shù)集I上滿足：對于任意的，I,知道了x1<x2，f(x1)<f(x2),f(x)在I上是增函數(shù)。其中兩個都可以得第三個結(jié)論。這種對定義進行變形，從而達到對定義的靈活運用加深理解，融能力培養(yǎng)于定義之中的教學方法，是加強基礎開發(fā)潛能的有效手段。五、歸納小結(jié)，提高認識學生交流在本節(jié)課學習中的

11、體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)1小結(jié)(1)函數(shù)單調(diào)性的定義 (2) 證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論 (3)判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進行觀察的較為粗略的方法，又有根據(jù)其定義進行證明的較為嚴格的方法，最后根據(jù)觀察圖象得出猜想，用推理證明猜想的思想，將以上兩種方法統(tǒng)一起來。(4) 對單調(diào)性定義的變形的靈活運用。 2作業(yè)書面作業(yè)：P37練習第1、2、35、 課后反饋在課堂教學中要激發(fā)學生主動參與的意愿，引導學生積極主動地提出問題、分析問題、解決問題，本堂課從一開始問題引入到最后解決問題，學生始終處在設問-分析-解決的過程之中。在教學過程中，始終貫徹了一個思想，即學生能自己解決的問題，讓他們