轉(zhuǎn)動中的世界

1、轉(zhuǎn)動中的世界 談力學(xué)中的轉(zhuǎn)動 物理一班 張希文 PB04203033 一、引言在學(xué)習(xí)物理時，我們往往喜歡在慣性系中思考問題，因為在慣性系中，所有的物理規(guī)律都如此簡單明了。但是，事實上經(jīng)常發(fā)生的事情是：我們不得不面對各種各樣的非慣性系。如果在平動運動中，這也好辦，只要簡單地加一個慣性力即可；但是很多問題是要涉及到轉(zhuǎn)動的，而從一個慣性坐標系換到一個轉(zhuǎn)動坐標系與變換到一個非慣性的平動坐標系是根本不同的變換。我們下面就來談?wù)勥@種變換。二、變換的推導(dǎo)我們所見的絕大多數(shù)推導(dǎo)都是找出聯(lián)系慣性系和轉(zhuǎn)動坐標系的關(guān)系式，然后加以微分來做的。下面我們來嘗試一種更加能體現(xiàn)出物理內(nèi)涵的方法來進行推導(dǎo)：如圖，考察一個純轉(zhuǎn)

2、動坐標系x',y',z',其原點與慣性系x,y,z的原點重合。方便起見，假定z與z'總是重合的。轉(zhuǎn)動坐標系的角速度沿z'軸方向，x'軸在t時刻瞬時地與x軸重合。質(zhì)點A在x-z平面與x'-z'平面位矢均為r(t)，經(jīng)過t時間，位矢變?yōu)閞(t+t).于是：在慣性系中，r=r（t+t）-r（t）;在轉(zhuǎn)動慣性系中，雖然也觀察到終位矢r(t+t),但由于轉(zhuǎn)動，起始的位矢已經(jīng)改變。但r與r滿足r=r+（r(t)- r(t)）;于是有：r(t)-r(t)= r-r=(×r) t.所以，rt=rt+×r;當t時，v慣v轉(zhuǎn)

3、15;r(1) 一般地，（dBdt）慣（dBdt）轉(zhuǎn)×B也成立（B為任意矢量）于是有： a慣=（dv慣dt）轉(zhuǎn)+×v慣 與（1）式聯(lián)立，有：a慣= a轉(zhuǎn)+2×v轉(zhuǎn)+×（×r）(2)(1) 與（2）式即為轉(zhuǎn)動坐標系的變換方程。 三、實例1：地轉(zhuǎn)偏向力與颶風(fēng)的研究在談到轉(zhuǎn)動非慣性系時，最恰當?shù)碾x子之一就是地理上的地轉(zhuǎn)偏向力了。我們下面不但要定性地闡述現(xiàn)象，而且還將進一步粗略地定量地分析颶風(fēng)的形成?？评飱W利力的一個效應(yīng)是他使轉(zhuǎn)動球體上的直線運動轉(zhuǎn)變成圓周運動。下面我們具體地進行說明。如圖，考慮一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，以速度v在球面上緯度為處運動。球體以角

4、速度旋轉(zhuǎn)。如果我們把分解為鉛直部分V和水平部分H，則科里奧利力為F=-2m×v=-2m(V×v+H×v)H和v都在水平方向，所以H×v是鉛直的。這樣，水平方向的科里奧利力完全是由V×v項產(chǎn)生的。V垂直于v，因而V×v的大小為vV,它的大小與v的方向無關(guān)。水平方向的科里奧利力FH=2mvsin,它總是與v垂直，而且在沒有其它水平力的情況下在北半球產(chǎn)生順時針方向的圓周運動，而在南半球上產(chǎn)生逆時針方向的圓周運動。但是在赤道上，由于V為零，因此水平方向上基本沒有科里奧利力。 基于以上認識，我們下面來討論一下地球上的天氣系統(tǒng)：以北半球為例：設(shè)想

5、在大氣中出現(xiàn)一個低壓區(qū)域，那么很自然地，我們想到風(fēng)就吹向其內(nèi)部，使壓強很快消失。然而，科里奧利力明顯地使風(fēng)向發(fā)生變化。當風(fēng)開始向內(nèi)流動時，科里奧利力使風(fēng)側(cè)向偏移，結(jié)果是風(fēng)逆時針地繞著低壓區(qū)沿等壓線作環(huán)流。（如圖）當然，在實際的物理現(xiàn)象中，摩擦力是少不了的，亦即科里奧利力，摩擦力，壓力，離心力是幾個主要的力?？諝猸h(huán)繞低壓區(qū)域作逆時針方向的旋轉(zhuǎn)，就有如下方程：mv²r=(P)S-2mvsin(3)在該式中，方便起見，我們忽略了摩擦力的作用，而主要強調(diào) 了轉(zhuǎn)動坐標系下的兩個虛擬力：離心力和科里奧利力。其中，P為一小段空氣的壓強差，S為其對應(yīng)的面積。有空氣的體積為rS（r是兩條等壓線的距離）

6、，設(shè)空氣的密度為（常量），則m=rS.代入（3）式，并取r0，有： v²r=(1)(dPdr)-2vsin(4)在低壓中心附近，壓強梯度dPdr很大，風(fēng)速也很高，遠離低壓中心處的v²r很小，可以忽略。于是由方程（4），遠離中心的風(fēng)速為v=(12sin)(1)(dPdr)(5)但是對于颶風(fēng)，它是一個強烈而密實的低壓區(qū)，以致方程（3）中的v ²r項不能再忽略。于是解方程（3），有： v= (rsin) ²+(r)(dPdr) -rsin(6)例如，壓強為0.03Nm³,緯度為20度處，距颶風(fēng)中心100km遠的風(fēng)速，約為45ms?；蛟S有人會問，為什么

7、颶風(fēng)必須是一個低壓區(qū)呢？原因在于在低壓情況下，壓力向內(nèi)而科里奧利力向外，而在高壓區(qū)，這些力的方向與前一種情況恰恰相反。于是，用與前面類似的做法，我們可以得到高壓區(qū)大氣環(huán)流的徑向運動方程為： v²r=2vsin-(1)dPdr(7)解方程（6），有： v=rsin-(rsin) ²-(r) dPdr (8)我們從方程（7）中看出，如果(1)dPdr>r(sin) ²,則高壓不能形成；科里奧利力太弱，不能反抗強大的向外壓力而提供所需的向心加速度。因此，像颶風(fēng)這樣的風(fēng)暴總是低壓系統(tǒng)，強大的內(nèi)向壓力有助于保持住一個低壓區(qū)。經(jīng)過以上分析與計算，我們就可以用公式（5）與

8、（6）求風(fēng)速了。 四、實例2：回轉(zhuǎn)儀的運動一般來說，回轉(zhuǎn)儀的運動是在剛體力學(xué)中來闡述的。但是要想把回轉(zhuǎn)儀的奇怪運動現(xiàn)象徹底吃透，我們不能不從轉(zhuǎn)動的非慣性系中去審視回轉(zhuǎn)儀。下面，我們就來定性地分析回轉(zhuǎn)儀的運動。1 回轉(zhuǎn)儀為什么會進動剛體力學(xué)中給出的粗略回答如圖，考慮處于水平進動中的回轉(zhuǎn)儀，我們用角動量定理，就t到t+t短時間而言，有：L=Mt.顯然，角動量改變的方向與力矩的方向是一致的。但是角動量方向剛剛改變一點，亦即進動剛剛發(fā)生一點， M的方向也隨之改變，于是角動量繼續(xù)改變?nèi)绱送鶑?fù)循環(huán)，產(chǎn)生進動。2 回轉(zhuǎn)儀運動的奧秘令人信服的解釋事實上，回轉(zhuǎn)儀的運動最不符合常規(guī)的就是：明明回轉(zhuǎn)儀受到一個水平方

9、向的重力矩，但回轉(zhuǎn)儀卻可以抗拒該力矩而不向下傾倒。而這最令人迷惑不解的一點，以上的論說卻恰恰沒有給予說明。我們知道，靜止的回轉(zhuǎn)儀是不會保持水平狀態(tài)的，而重心恰在支點處的回轉(zhuǎn)儀也是不會進動的。那么可以猜想，回轉(zhuǎn)儀運動的奧秘可能主要來自于“不平衡”的重力矩與高速的旋轉(zhuǎn)。其實，由重力矩“不平衡”，我們首先想到的就是回轉(zhuǎn)儀要下傾。事實上也的確如此?；剞D(zhuǎn)儀剛剛開始進動時，是要先下傾的。而第一種解釋卻恰恰忽略了這一個下傾過程，它只說明了回轉(zhuǎn)儀的運動不違背角動量定理，但不能明確解釋“為什么會這樣”。 如圖，回轉(zhuǎn)儀受到重力作用下傾，我們分析A、B、C、D這四個具有代表性的點（請注意，以下所指A、B、C、D均是

10、指轉(zhuǎn)盤上的位置而言的，而不是指轉(zhuǎn)盤上的質(zhì)點。亦即：A、B、C、D不隨轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動而遷移。）：A、A與C、C速度方向水平，無加速度；B點加速度與z軸反向，D點加速度與z軸同向。采用轉(zhuǎn)動參考系，其轉(zhuǎn)軸重合于回轉(zhuǎn)儀在該“瞬時”的即時轉(zhuǎn)動軸，轉(zhuǎn)速就等于回轉(zhuǎn)儀在該“瞬時”的角速度。如圖，B點所受慣性力與z軸指向相同，D點所受慣性力與z軸指向相反。B與D兩點所受的慣性力組成一個力偶，它驅(qū)使剛體繞y軸轉(zhuǎn)動。除了這樣分析，我們還可以用如下兩種方式思考： 取隨圓盤繞O點轉(zhuǎn)動的坐標系（即將圓盤先視為質(zhì)點后，架在該質(zhì)點上的坐標系）。當圓盤下傾時，VB變大，VD變小，于是FB離>FD離，離心力之差產(chǎn)生了一個力偶。

11、 選系同上，當圓盤下傾時，產(chǎn)生一個指向x方向的角速度，則由acor=-2×v,可知aA=aC=0,aB指向z正向，aD指向z負向，同樣產(chǎn)生一個力偶。以上只考察了作為代表的A、B、C、D四點。將回轉(zhuǎn)儀所有各點一一加以考察，將得到慣性力系的力偶，這個力偶使剛體繞y軸轉(zhuǎn)動。但是，回轉(zhuǎn)儀為什么終于還是不被重力矩傾倒？我們繼續(xù)討論這個問題。 現(xiàn)在來考察進動中的某個短時間段內(nèi)回轉(zhuǎn)儀各點的加速度。B與B，D與D的速度都是豎直的，所以沒有加速度。而A點的加速度與z軸指向相同，C點的加速度與z軸指向相反。采用轉(zhuǎn)動參考系，其轉(zhuǎn)軸重合于回轉(zhuǎn)儀在該“瞬時”的即時轉(zhuǎn)動軸，轉(zhuǎn)速就等于回轉(zhuǎn)儀在該“瞬時”的角速度。

12、如圖，A點所受慣性力與與z軸指向相反，C點所受慣性力與z軸指向相同。C與A兩點所受的慣性力組成一個力偶，這個力偶的力矩指向與x軸相反。除了這樣分析，我們還可以進行如下分析：取隨圓盤繞O點轉(zhuǎn)動的坐標系（即將圓盤先視為質(zhì)點后，架在該質(zhì)點上的坐標系）。于是進動產(chǎn)生一個指向x正向的，由acor=-2×v,有aB=aD=0,aC指向z正向，aA指向z負向，同樣產(chǎn)生一個力偶。以上只考察了作為代表的A、B、C、D四點。將回轉(zhuǎn)儀所有各點一一加以考察，將得到慣性力系的力偶，這個力偶有使剛體繞x軸轉(zhuǎn)動的趨勢，它的力矩方向恰與重力矩方向相反。在開始的時候，進動還不夠快，由進動引起的這種回轉(zhuǎn)力矩不夠大，還小于重力的力矩，因而回轉(zhuǎn)儀的轉(zhuǎn)軸要有所下傾，進一步的下傾則引起較快的進動，有進動引起的力矩也就隨之增長。如此，回轉(zhuǎn)儀邊進動，邊上下章動地運動下去。綜上，“重力力矩使回轉(zhuǎn)儀轉(zhuǎn)軸下傾力偶1進動力偶2（反復(fù)進行）這就是回轉(zhuǎn)儀的運動原因。 五、小結(jié) 以上，我們討論了轉(zhuǎn)動的非慣性系中的一些現(xiàn)象，從中可見在轉(zhuǎn)動中離心力與科里奧利力這兩個虛擬力的引入的重要性。在日常生活中，對轉(zhuǎn)動的非慣性系中的虛擬力，我們并不陌生，例如：轉(zhuǎn)動著的液體表面的幾何圖形為旋轉(zhuǎn)拋物面（z=(²r²2g)