平面匯交力系(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第2章 平面簡單力系作用在物體上的力系是多種多樣的，為了更好地研究這些復雜力系，應將力系進行分類。若將力系按其作用線是否位于同一平面分類，則當力的作用線位于同一平面時，稱此力系為平面力系，否則為空間力系；若將力系按作用線是否匯交或者平行分類，則可分為匯交力系、力偶力系、平行力系和任意力系。力系的分類如圖2.1所示。圖2.1 力系的分類這一章將學習兩種簡單力系，即平面匯交力系和平面力偶力系。2.1 平面匯交力系2.1.1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法1. 平面匯交力系合成的幾何法力的多邊形法則合成的理論依據(jù)是力的平行四邊形法則或三角形法則。設(shè)作用在剛體上匯交于O點的力

2、系、和，如圖2.2(a)所示，求其合力。首先將和兩個力進行合成，將這兩個力矢量的大小利用長度比例尺轉(zhuǎn)換成長度單位，依原力矢量方向?qū)闪κ噶窟M行首尾相連，得一折線abc，再由折線起點向折線終點作有向線段ac，即將折線abc封閉，得合力，有向線段ac的大小為合力的大小，指向為合力的方向。同理，力與的合力為，依次得力系的合力，如圖2.2(b)所示，可以省略中間求合力的過程，將力矢量、和依次首尾相連，得折線abcde，由折線起點向折線終點作有向線段ae，封閉邊ae表示其力系合力的大小和方向，且合力的作用線匯交于O點，多邊形abcde稱為力的多邊形，此法稱為力的多邊形法則。作圖時力的順序可以是任意的，力

3、的多邊形形狀將會發(fā)生變化，但并不影響合力的大小和方向，如圖2.2(c)所示。(a) (b) (c)圖2.2 平面匯交力系合成的幾何法推廣到由n個力、組成的平面匯交力系，可得如下結(jié)論：平面匯交力系的合力是將力系中各力矢量依次首尾相連得折線，并將折線由起點向終點作有向線段，該有向線段(稱封閉邊)表示該力系合力的大小和方向，且合力的作用線通過匯交點。即平面匯交力系的合力等于力系中各力矢量和(也稱幾何和)，表達式為 (2-1)此結(jié)論也可以推廣到空間匯交力系，但由于空間力的多邊形不是平面圖形，且空間圖形較復雜，故一般不采用幾何法，應采用解析法。若力系是共線的，它是平面匯交力系的特殊情況，假設(shè)沿直線的某一

4、方向規(guī)定為力的正方向，與之相反的力為負，其合力應等于力系中各力的代數(shù)和，即 (2-2)【例2.1】吊車鋼索連接處有3個共面的繩索，它們分別受拉力=3kN，=6kN，= 15kN，各力的方向如圖2.3(a)所示，試用幾何法求力系的合力。圖2.3 例2.1圖解：由于三個力匯交于O點，構(gòu)成平面匯交力系。選比例尺，將各力的大小轉(zhuǎn)換成長度單位，令ab=，bc=，cd=。在平面上選一點a作為力多邊形的起點，將各力矢量按其方向進行依次首尾相連，得折線abcd，并將該折線封閉，便可求得力系合力的大小和方向。合力的大小量取折線ad的長度，并再通過比例尺轉(zhuǎn)換成力的單位，則有=16.50kN合力的方向為過d點作一鉛

5、垂線，用量角器量取合力與鉛垂線的夾角，即=16°10合力的作用線通過匯交點O。2. 平面匯交力系平衡的幾何法平面匯交力系平衡的必要與充分條件：力系的合力為零。即 (2-3)由此得力的多邊形封閉，即力的多邊形中第一個力矢量的起點與最后一個力矢量的終點重合。力的多邊形封閉是平面匯交力系平衡的幾何條件。求解平面匯交力系平衡時，可以用上面方法利用比例尺進行幾何作圖，量取得未知力的大小，還可以利用三角關(guān)系計算求未知力的大小?！纠?.2】一鋼管放置在V形槽內(nèi)如圖2.4(a)所示，已知：管重P=5kN，鋼管與槽面間的摩擦不計，求槽面對鋼管的約束力。解：取鋼管為研究對象，它所受到的主動力為重力P和約

6、束力為和，匯交于O點，如圖2.4(b)所示。圖2.4 例2.2圖選比例尺，令ab=P，bc=，ca=，將各力矢量按其方向進行依次首尾相連得封閉的三角形abc，如圖2.4(c)所示。量取bc邊和ca邊的邊長，按照比例尺轉(zhuǎn)換成力的單位，則槽面對鋼管的約束力為=bc=3.26kN =ca=4.40kN另一解法：利用三角關(guān)系的正弦定理得則約束力為=bc=3.26kN =ca=4.40kN2.1.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法1. 力的投影力在坐標軸上的投影定義為力矢量與該坐標軸單位矢量的標量積。設(shè)任意坐標軸的單位矢量為e，力F在該坐標軸上的投影為 (2-4)在力所在的平面內(nèi)建立直角坐標系Oxy，如

7、圖2.5所示，x和y軸的單位矢量為i、j，由力的投影定義，力在x和y軸上的投影為 (2-5)其中、分別是力與坐標軸的單位矢量i、j的夾角的余弦，稱為方向余弦，、稱為方向角。力的投影可推廣到空間坐標系。如圖2.5所示，若將力沿直角坐標軸x和y分解得分力和，則力在直角坐標系上投影的絕對值與分力的大小相等，但應注意投影和分力是兩種不同的物理量，不能混淆。投影是代數(shù)量，對物體不產(chǎn)生運動效應；分力是矢量，能對物體產(chǎn)生運動效應；同時在斜坐標系中投影與分力的大小是不相等的，如圖2.6所示。 圖2.5 直角坐標系中力的投影 圖2.6 斜坐標系中投影和分力的關(guān)系力F在平面直角坐標系中的解析式為 (2-6)若已知

8、力在平面直角坐標軸上的投影和，則力的大小和方向為 (2-7)2. 合矢量投影定理合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸投影的代數(shù)和。由此定理得平面匯交力系的合力在直角坐標軸上的投影，即 (2-8)其中、為合力在x軸和y軸上的投影，、為第i個分力在x軸和y軸上的投影。3. 匯交力系合成和平衡的解析法若已知分力在平面直角坐標軸上的投影、，則合力的大小和方向為 (2-9)平面匯交力系平衡的必要與充分條件是平面匯交力系的合力為零。由式(2-9)得從而得平面匯交力系平衡方程。即 (2-10)平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在直角坐標軸上投影的代數(shù)和均為零。此方程式(2-10)

9、為兩個獨立的方程，可求解兩個未知力。【例2.3】已知：=200N，=200N，=100N，=100N，如圖2.7所示，求此平面匯交力系的合力。解：根據(jù)式(2-8)得cos30°+cos45°-cos30°-cos45°=157.31(N)cos60°-cos45°+cos60°-cos45°=-62.13(N)圖2.7 例2.3圖(N) 方向角，合力的指向為第象限，與x軸夾角為?！纠?.4】支架ABC的B端用繩子懸掛滑輪，如圖2.8(a)所示，滑輪的一端起吊重為P=20kN的物體，繩子的另一端接在絞車D上。設(shè)滑輪的

10、大小、AB與CB桿的自重及摩擦均不計，當物體處于平衡狀態(tài)時，求拉桿AB和支桿CB所受的力。圖2.8 例2.4圖解：(1) 確定研究對象進行受力分析。由于滑輪的大小、AB與CB桿的自重均不計，因此AB與CB桿為二力桿，可以看出在B點構(gòu)成平面匯交力系，如圖2.8(c)所示。(2) 建立坐標系，列平衡方程。由于繩子的拉力，未知力為作用在B點的和，由平衡方程式(2-10)得： (a)： (b)(3) 解方程。由式(a)和式(b)解得 的大小為正值，說明原假設(shè)與實際方向相同，即為拉力；的大小為負值，說明原假設(shè)與實際方向相反，即為壓力。由作用力與反作用力定律知，拉桿AB和支桿CB所受到的力與B點所受到的力

11、和數(shù)值相等，方向相反。2.2 平 面 力 偶力對剛體的作用使剛體產(chǎn)生兩種運動效應，即移動效應和轉(zhuǎn)動效應。在平面力系中描述力對剛體的轉(zhuǎn)動效應有兩種物理量，它們是力對點之矩和力偶矩。2.2.1 力對點之矩的概念如圖2.9所示，在力所在的平面內(nèi)，力對平面內(nèi)任意點O的矩定義為：力的大小與矩心點O到力作用線的距離h的乘積，它是代數(shù)量。其符號規(guī)定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動時為正，順時針轉(zhuǎn)動時為負。h稱為力臂，用表示，即OAB的面積 (2-11)單位：或。特殊情況如下。(1) 當0時：力的作用線通過矩心即力臂h=0或F=0。(2) 當力臂h為常量時：值為常數(shù)，即力F沿其作用線滑動，對同一點的矩為常數(shù)。圖2.

12、9 力對點之矩應當指出，力對點之矩與矩心的位置有關(guān)，計算力對點的矩時應指出矩心點。合力矩定理：平面匯交力系的合力對力系所在平面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即 (2-12)根據(jù)此定理，如圖2.10所示，將力F沿坐標軸分解得分力、，則力對點之矩的解析表達式為 (2-13)合力對點之矩的解析表達式為 (2-14)【例2.5】如圖2.11所示，擋土墻所受的力為P=200kN，F(xiàn)=150kN，試求力系的合力對O的矩。解：根據(jù)式(2-14)得 圖2.10 力F沿坐標的分力 圖2.11 例2.5圖2.2.2 平面力偶1. 力偶與力偶矩定義：由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力

13、系稱為力偶，記作。如圖2.12所示，力偶所在的平面稱為力偶的作用面，力偶中的兩個力之間的垂直距離d稱為力偶臂。在實際中，我們雙手握方向盤(如圖2.13所示)、兩個手指擰鋼筆帽等都是力偶的作用。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應用力偶矩來描述。 圖2.12 力偶的定義 圖2.13 作用在方向盤上的力偶力偶矩等于力偶中力的大小與力偶臂的乘積，它是代數(shù)量。其符號規(guī)定：力偶使物體逆時針轉(zhuǎn)動時為正，順時針轉(zhuǎn)動時為負，用M表示，即ABC的面積 (2-15)力偶矩的單位：或。2. 平面力偶性質(zhì)與力偶等效定理平面力偶性質(zhì)是力偶沒有合力，因此不能與一個力等效；力偶只能與一個力偶等效；力偶矩與矩心點位置無關(guān)。平面力偶的等效定理

14、：作用在剛體上同一平面內(nèi)的兩個力偶等效的必要與充分條件是此二力偶矩相等。由此定理可得如下推論。(1) 當保持力偶矩不變的情況下，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對剛體的作用。(2) 當保持力偶矩不變的情況下，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不改變它對剛體的作用。對力偶而言，無須知道力偶中力的大小和力偶臂的長度，只需知道力偶矩就可以了。由此可見力偶是自由矢量，力和力偶是力的兩個基本要素。力偶矩的表達如圖2.14所示。(a) (b)圖2.14 力偶矩的表達3. 平面力偶系的合成與平衡條件1) 平面力偶系的合成作用在同一平面上一組力偶的總稱是平面力偶系。設(shè)在同一平面內(nèi)有兩個力偶、，

15、如圖2.15(a)所示，它們力偶臂分別為和，其力偶矩分別為、。根據(jù)力偶的等效定理，將兩個力偶移到同一位置，使其保持相同的力偶臂，如圖2.15(b)所示，得到新的力偶、，其矩為 (a) (b) (c)圖2.15 同一平面力偶矩的合成若設(shè)，在點A、B將力合成得新的力偶，如圖2.15(c)所示，其力偶矩為于是得同一平面內(nèi)的兩個力偶可以合成為一個合力偶，其矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。推廣若同一平面內(nèi)有個力偶，可以合成為一個合力偶，其矩為 (2-16)2) 平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的必要與充分條件：合力偶矩等于零。即力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即 (2-17)式(2-17)為平面力偶系

16、的平衡方程。由于只有一個平衡方程，因此只能求解一個未知量?！纠?.6】如圖2.16(a)所示，在桿AB上作用力偶矩M1=8kN·m，桿AB的長度為1m，桿CD的長度為0.8m，要使機構(gòu)保持平衡，試求作用在桿CD上的力偶M2。解：(1) 選桿AB為研究對象，由于BC是二力桿，因此桿AB的兩端受有沿BC的約束力和，構(gòu)成力偶，如圖2.16(b)所示。列力偶的平衡方程為： (a)得   (2) 選桿CD為研究對象，受力如圖2.16(c)所示，列力偶的平衡方程： (b)由于，則得(kN·m) (a) (b)(c)圖2.16 例2.6圖【例2.7】如圖2.17(a)所示的結(jié)構(gòu)

17、中，由直角彎桿ACE、BCD和直桿DE鉸接而成，不計各桿自重，已知在直桿DE上作用力偶矩為M，幾何尺寸如圖2.17(a)所示，試求A、B、C、D、E的約束力。 (a) (b) (c) (d)圖2.17 例2.7圖解：(1) 取整體為研究對象，由于B鉸為滾動支座，故有水平方向的約束力，因此與A處的約束力構(gòu)成一力偶，受力圖如圖2.17(a)所示。列力偶的平衡方程為： (a)解得(2) 取直角彎桿BCD為研究對象，由于力的作用線通過點C，由三力平衡匯交定理得D點力的作用線也通過點C，受力如圖2.17(b)所示。(3) 取直桿DE為研究對象，受力如圖2.17(c)所示。列力偶的平衡方程為： (b)解得

18、(4)取直角彎桿ACE為研究對象，受力如圖2.17(d)所示。列平面匯交力系的平衡方程為： (c)其中 解得 本 章 小 結(jié)1. 平面匯交力系1) 幾何法(1) 平面匯交力系合成的幾何法力的多邊形法則。將原力系中各力矢量依次首尾相連，得折線并封閉，封閉邊的大小和方向表示力系合力的大小和方向，即合力作用線必通過匯交點。(2) 平面匯交力系平衡的幾何條件力的多邊形封閉。2) 解析法(1) 平面匯交力系合成的解析法。力在直角坐標上的投影：上式中，稱為方向余弦，、稱為方向角。合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和。平面匯交力系的合力與分力的投影關(guān)系：力系合力：(2)

19、平面匯交力系平衡的解析條件。力系中各力在直角坐標軸上投影的代數(shù)和均為零。平面匯交力系的平衡方程： 2. 平面力偶1) 合力矩定理平面匯交力系的合力對力系所在平面內(nèi)任意點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即2) 力偶與力偶矩力偶：由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。力偶矩：力偶中力的大小與力偶臂的乘積，它是代數(shù)量。即符號規(guī)定：力偶使物體逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。平面力偶的性質(zhì)如下。 力偶沒有合力； 力偶不能與一個力等效； 力偶只能與力偶等效； 力偶矩與矩心點的位置無關(guān)。平面力偶的等效定理：作用在剛體上同一平面內(nèi)兩個力偶等效的必要與充分條件是此二力偶矩相等。3. 平面力偶系的

20、合成合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。即4. 平面力偶系的平衡條件力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。平面力偶系的平衡方程：習 題 22-1 是非題(正確的畫，錯誤的畫×)(1)匯交力系平衡的幾何條件是力的多邊形封閉。 ( )(2)兩個力、在同一軸上的投影相等，則這兩個力大小一定相等。 ( )(3)力F在某一軸上的投影等于零，則該力一定為零。 ( )(4)合力總是大于分力。 ( )(5)平面匯交力系求合力時，作圖時力序可以不同，其合力不變。 ( )(6)力偶使剛體只能轉(zhuǎn)動，而不能移動。 ( )(7)任意兩個力都可以合成為一個合力。 ( )(8)力偶中的兩個力在任意直線段上投影的代數(shù)和

21、恒為零。 ( )(9)平面力偶矩的大小與矩心點的位置有關(guān)。 ( )(10)力沿其作用線任意滑動不改變它對同一點的矩。 ( )2-2 填空題(把正確的答案寫在橫線上)(1)作用在剛體上的三個力使剛體處于平衡狀態(tài)，若其中兩個力匯交于一點，則第三個力的作用線 。(2)力的多邊形封閉是平面匯交力系平衡的 。(3)不計重量的直桿AB與折桿CD在B處用光滑鉸鏈連接，如圖2.18所示，若結(jié)構(gòu)受力作用，則支座C處的約束力大小為 ，方向 。(4)如圖2.19所示，不計重量的直桿AB與折桿CD在B處用光滑鉸鏈連接，若結(jié)構(gòu)受力F作用，則支座C處的約束力大小 ，方向 。 圖2.18 習題2-2(3)圖 圖2.19 習

22、題2-2(4)圖(5)用解析法求匯交力系合力時，若采用的坐標系不同，則所求的合力 。(6)力偶是由 、 、 的兩個力組成。(7)作用在剛體上同平面的兩個力偶，只要 相等，則這兩個力偶等效。(8)平面系統(tǒng)受力偶矩的作用，如圖2.20所示，桿AC、BC自重不計，A支座約束力大小為 ，B支座約束力大小為 。(9)如圖2.21所示，梁A支座約束力大小為 ，B支座約束力的大小為 。 圖2.20 習題2-2(8)圖 圖2.21 習題2-2(9)圖(10)平面力偶力系的平衡條件是 。2-3 簡答題(1)用解析法求平面匯交力系的平衡問題時，x和y軸是否一定相互垂直？當x和y軸不垂直時，對平衡方程、有何限制條件

23、？為什么？(2)在剛體的A、B、C、D四點作用有四個大小相等、兩兩平行的力，如圖2.22所示，這四個力組成封閉的力的多邊形，試問此剛體平衡嗎？若要使剛體平衡，應如何改變力系中力的方向？(3)力偶不能單獨與一個力相平衡，為什么如圖2.23所示的輪子又能平衡呢？(4)在保持力偶矩大小、轉(zhuǎn)向不變的情況下，如圖2.24所示，可否將力偶矩M移動到AC上？移動后A、B支座的約束力又如何？ 圖2.22 習題2-3(2)圖 圖2.23 習題2-3(3)圖(5)如何正確理解投影和分力、力對點的矩和力偶矩的概念？2-4 計算題(1)如圖2.25所示，固定在墻壁上的圓環(huán)受3根繩子的拉力作用，力沿水平方向，沿鉛直方向

24、，與水平成角，三個力的大小分別為=2kN，=2.5kN，=1.5kN，試求力系的合力。(2)如圖2.26所示的簡易起重機用鋼絲繩吊起重量P=2kN的重物，不計各桿的自重，摩擦及滑輪的大小不計，A、B、C三處均為鉸鏈連接。試求桿AB、AC所受的力。(3)如圖2.27所示，均質(zhì)桿AB重P、長為l，兩端放置在相互垂直的光滑斜面上。已知一斜面與水平面的夾角a，試求平衡時桿與水平面所成的夾角及OA的距離。 圖2.24 習題2-3(4)圖 圖2.25 習題2-4(1)圖 圖2.26 習題2-4(2)圖 圖2.27 習題2-4(3)圖(4)如圖2.28所示的剛架上，在點B處作用一水平力F，剛架自重不計，試求支座A、D處的約束力。(5)如圖2.29所示的機構(gòu)中，在鉸鏈A、B處作用有力、并處于平衡，不計各桿的自重，試求力與的關(guān)系。 圖2.28 習題2-4(4)圖 圖2.29 習題2-4(5)圖(6)直角桿CDA和BDE在D處鉸接，如圖2.30所示，系統(tǒng)受力偶矩M作用，各桿自重不計，試求支座A、B處的約束力。(7)由AB、CD、CE、BF四桿鉸接而成的構(gòu)架上，作用一鉛直荷載F，如圖2.31所示，各桿的自重不計，試求支座A、D處的約束力。 (8)如圖2.32所示的曲軸沖床，由連桿AB和沖頭B組成。A、B兩處為鉸鏈連接，OA=R、AB=l，忽略摩擦和物體的自重，當OA