巧解幾何體的外接球問(wèn)題

1、巧解幾何體的外接球問(wèn)題一、正方體的外接球 外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線(xiàn)。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則外接球的直徑為 a。二、長(zhǎng)方體的外接球外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)。設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為 a, b, c,則外接球的直徑為 。三、三棱錐的外接球1. 正四面體：轉(zhuǎn)化為正方體的外接球。方法：如圖所示正四面體 ABCD勺外接球，可轉(zhuǎn)化為正方體 的外接球。例1. 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)為 a,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面 上,求該球的表面積。分析：求該球的表面積關(guān)鍵是找半徑； 該四面體為正四面體, 如圖所示，將正四面體 ABCD的外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球， 球的直徑為正方體的體對(duì)角線(xiàn)； 因此先由正四面體的

2、棱長(zhǎng)求正方 體的棱長(zhǎng),再求正方體的體對(duì)角線(xiàn)。答案： a2 n。變式：如圖，在等腰梯形 ABCD中, AB=2 DC=2 / DAB=60 ,E為AB的中點(diǎn)，將厶ADE-與 BEC分別沿ED, EC向上折起，使A,B重合于點(diǎn)P,求三棱錐P-DCE的外接球的體積。分析：折起后可證明三棱錐 P-DCE為正四面體，因此可轉(zhuǎn)化 為求正方體的外接球。答案： n2. 有三個(gè)面是直角三角形的三棱錐：轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方 體的外接球方法：如圖所示，在有三個(gè)面是直角三角形的三棱錐 P-ABC 中，若PA=PB=P,則轉(zhuǎn)化為正方體的外接球；若 PA PB, PC不 全相等，則轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球例2.已知三棱錐 P-

3、ABC / BPC=90 , PAL平面 BPC其中AB=BC=AC=aP, A, B, C四點(diǎn)均在球的表面上，求該 球的表面積。分析：三棱錐P-ABC有三個(gè)面是直角三角形，且 PA=PB=PC 因此可轉(zhuǎn)化為正方體的外接球,且正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為 a, 則正方體的棱長(zhǎng)為 a,由此求出體對(duì)角線(xiàn)即為正方體的外接球 直徑。答案： a2 n o變式：已知正方形 AEFG勺邊長(zhǎng)為4 , B , C分別為EF, FG的中點(diǎn)，將 AB, BC CA折疊成一個(gè)三棱錐 P-ABC （使E, F, G 重合于點(diǎn)P）,求三棱錐P-ABC的外接球的表面積。分析：如上圖所示，PA=4 PB=PC=2所以三棱錐P-AB

4、C的外接球是以PC PB, PA為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球。答案：24 n。3. 有四個(gè)面是直角三角形的三棱錐：轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方 體的外接球方法：如圖所示，在有四個(gè)面是直角三角形的三棱錐 A-PBC 中，若AP=PC=B,則轉(zhuǎn)化為正方體的外接球；若 AP, PC, BC不 全相等，則轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球。例3.已知球0的表面上有四個(gè)點(diǎn) A, B, C, D, DAL平面ABC AB BC DA=AB=BCt，求球 O 的體積。分析：三棱錐D-ABC中有四個(gè)面是直角三角形，且DA=AB=BC 因此可轉(zhuǎn)化為正方體的外接球， 則體對(duì)角線(xiàn)即正方體的外接球直 徑為。答案： n。變式：在 Rt ABC

5、中，/ ABC=90 , AB，BC=1, DAL平面ABC DA，求三棱錐 D-ABC的外接球的體積。分析：如上圖所示，DA，AB，BC=1,所以三棱錐D-ABC的外接球是以DA AB, AC為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球。答案： n4. 對(duì)棱相等的三棱錐：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球方法：如圖所示，在三棱錐 A-BCD中，所有對(duì)棱相等，即 AC=BD，AD=BC， AB=CD則三棱錐A-BCD的外接球可轉(zhuǎn)化長(zhǎng)方體的外接球.例 4.在四面體 ABCD中, AB=CD=, AC=BD=AD=BC=3求該四面體的外接球的表面積。分析：四面體ABCD寸棱相等，因此可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接 球.假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬

6、，高分別為 a，b，c，則由a2+b2=9, c2+b2=18，c2+a2=9,得a2+b2+c2=36即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度 為 6。答案：36 n。變式：上述條件改為“ AB=CD AC=BD AD=BC并且AB CD ACL BD，則三棱錐為正四面體，因此可轉(zhuǎn)化為正方體的外接球。5. 底面是直角三角形，側(cè)面均是等腰三角形且一個(gè)側(cè)面與 底面垂直的三棱錐。方法：找截面例 5. 一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示依次為正視圖，側(cè)視 圖，俯視圖，正視圖是一個(gè)正三角形，求這個(gè)幾何體的外接球的 表面積。分析：由題可知幾何體為如圖所示的三棱錐， 底面是直角三 角形，其余面為等腰三角形。在Rt ABC中，E為

7、中點(diǎn)且SEL平面ABC過(guò)底面ABC作三 棱錐外接球的截面，則 E為截面圓的圓心。因此球心一定在SE上，設(shè)球心為O連接0B在直角三角形OEB中可求得外接球的 半徑。答案： n。四、三棱柱的外接球1. 底面是直角三角形的直棱柱：轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體的 外接球。 （或者過(guò)上下底面作外接球的截面，截面圓圓心連線(xiàn)的 中點(diǎn)為球心）（如右圖）例6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1個(gè)頂點(diǎn)都在球0的表面上，若AB=3 AC=4 ABAC A1A=12求該球的半徑。分析：如右圖所示，兩種方法都可以。答案：。2. 直三棱柱：過(guò)上下底面作截面，找截面圓的圓心（求半 徑，可考慮正弦定理） ，球心為截面圓圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)。 在球心， 圓心，頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形中求外接球的半徑。例7.三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為2，頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求該球的表面積。分析：分別上下兩底面作截面， 截面圓的圓心為三角形的重 心。答案：28 n。五、圓錐的外接球 過(guò)頂點(diǎn)作底面的截面（截面與底面垂直），截出的等腰三角 形外接圓的圓心為球心例 8. 已知一個(gè)幾何體的正視圖及側(cè)視圖均是邊長(zhǎng)為 2的正 三角形，俯視圖是直徑為 2 的圓，求該幾何體的外接球的表面積。分析：由題可知， SAB為等邊三角形，0為其外接圓的圓心。在Rt OBC中求出