一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)

1、一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) 二元函數(shù) 1 二元函數(shù)的定義：設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)點(diǎn) P （x，y） D ，變量 按照一定法則總有確定的值與它對應(yīng)，則稱 是變量 x 、y 的二元函數(shù)（或點(diǎn) P 的函數(shù)），記為 （或 ），點(diǎn)集 D 為該函數(shù)的定義域， x 、y 為自變量， 為因變量，數(shù)集為該函數(shù)值域。由此也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如 是球心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半球面。 二元函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù) f（x,y）在開區(qū)域（或閉區(qū)域） D 內(nèi)有定義， 是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在正數(shù) ，使得對于適合不等式 的一切點(diǎn) ，

2、都有 成立，則稱常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng)時(shí)的極限，記作 或 , 這里 。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。 注意：二重極限存在是指 沿任意路徑趨于 ，函數(shù)都無限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路徑，例如沿著一條定直線或定曲線趨于 時(shí)，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們也不能由此判定函數(shù)的極限存在。  多元函數(shù)的連續(xù)性 1 定義：設(shè)函數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間） D 內(nèi)有定義， 是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且 。如果 ，則稱函數(shù) f（x，y）在點(diǎn) 連續(xù)。如果函數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間） D 內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù) f（x，y）在 D 內(nèi)連

3、續(xù)，或者稱 f（x，y）是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。 2 性質(zhì) 一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上一定有最大值和最小值； 在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D 上取兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在 D 上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次； 在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D 上一致連續(xù)。 二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分 偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) 固定 在而 在處有增量 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ，如果 存在，則稱此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處對 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 ， ， 或 類似，函數(shù) 在點(diǎn) 處對 的偏導(dǎo)數(shù)定義為 ，記

4、作 ， 或 。在實(shí)際中求 的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以求 時(shí)只要將暫時(shí)看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)，則只要將 暫時(shí)看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意：對于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 與自變量微分 之商，而偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個(gè)整體符號，不能看作分母與分子之商。 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè) 為曲面 上的一點(diǎn)，過 做平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ，則導(dǎo)數(shù) ，即偏導(dǎo)數(shù) ，就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 對 軸的斜率。同樣，偏導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲面被平面 所截得的曲線在點(diǎn) 處的切線 對 軸的斜率。 高階偏導(dǎo)

5、數(shù)：設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù) ， ，那么在 D 內(nèi) ， 都是 ， 的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對變量求導(dǎo)次序的不同有以下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)： ， ， , 。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。 定理：如果函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。（即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)。） 全微分 全微分定義：如果函數(shù) 在點(diǎn) 的全增量 可表示為 ，其中 A 、B 不依賴于 、 而僅與 、 有關(guān)，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 可微分，而 稱為函數(shù) 在點(diǎn) 的全微分，記作 ，即 。如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)

6、各點(diǎn)都可微分，那么稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分。 定理 1（必要條件）：如果函數(shù) 在點(diǎn) 可微分，則該函數(shù)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且函數(shù) 在點(diǎn) 的全微分為 。 定理2（充分條件）：如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。 以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。 習(xí)慣上將自變量的增量 、 分別記作 、 ；并分別稱為自變量的微分，則函數(shù) 的全微分可表示為 。通常將二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。三、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：如果函

7、數(shù) 及 都在點(diǎn) 可導(dǎo)，函數(shù) 在對應(yīng)點(diǎn) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。此定理可推廣到中間變量多余兩個(gè)的情況，例如 ， ， ，則 ，其中 稱為全導(dǎo)數(shù)。上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。 復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) : 設(shè) ，并且 ， ，則 是的復(fù)合函數(shù)。如果 可微，函數(shù) ， 對 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù) 對 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 全微分形式的不變性 : 設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分 ，如果 、 又是 的函數(shù) 、 ，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為 由此可見，無論 是自變量 、 的函數(shù)或中間變量 、 的函數(shù)，它的全微分形式是一

8、樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性。   四、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 ：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它滿足條件 ，并有 隱函數(shù)存在定理 2 ：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它滿足條件，并有 、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 ：設(shè) 、 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ， ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（ Jacobi

9、 ）行列式）： 在點(diǎn) 不等于零，則方程組 ， 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，它們滿足條件 ，并有 ， ，  ， 五、方向?qū)?shù)、梯度 、方向?qū)?shù) 1 、定義：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域 內(nèi)有定義，自點(diǎn) P 引射線 。設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設(shè) 為 上的另一點(diǎn)，且 。我們考慮函數(shù)的增量 與 和 兩點(diǎn)間的距離 的比值。當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱這極限為函數(shù) 在點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)，記作，即 。 2 、定理：如果函數(shù) 在點(diǎn) 是可微分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在，且有 ，其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。 上述定義也

10、可推廣到三元函數(shù) ，它在空間一點(diǎn) 沿著方向 （設(shè)方向 的方向角為 ）的方向?qū)?shù)可以定義為 ，其中，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)為 、梯度 1 、定義 ( 二元函數(shù)的情形 ) ：設(shè)函數(shù) 在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)，都可定出一個(gè)向量 ，這個(gè)向量稱為函數(shù) 在點(diǎn) 的梯度，記作，即 ，由梯度的定義可知，梯度的模為：，當(dāng) 不為零時(shí)， x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 2 、與方向?qū)?shù)的關(guān)系：如果設(shè) 是與方向 同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式可知： 由此可知， 就是梯度在 上的投影，當(dāng)方向 與梯度的方向一致時(shí)，有 ，從而 有最大值。所以沿梯度方向的方

11、向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù) 在該點(diǎn)增長最快的方向，因此，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。上述所講的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。設(shè)函數(shù) 在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn) ，都可定出一個(gè)向量 ，這個(gè)向量稱為函數(shù) 在點(diǎn) 的梯度，即 六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應(yīng)用 、二元函數(shù)的泰勒公式 定理：設(shè) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有 一般地，記號 表示 設(shè) ，則上式可表示為 ，公式稱為二元函數(shù)在點(diǎn)的n階泰勒公式，而的表達(dá)式為拉格朗日型余項(xiàng)。 在泰勒公式中，如果取 ，則式

12、成為 n 階麥克勞林公式 、多元函數(shù)的極值 定理 1 （必要條件）：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)（ , ）具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)( , ) 處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： ， 定理 2 （充分條件） : 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)（, ）的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ， ，令 (, )=A,(, )=B, (, )=C, 則 f(x,y) 在（, ）處是否取得極值的條件如下： AC->0 時(shí)具有極值，且當(dāng) A<0 時(shí)有極大值，當(dāng) A>0 時(shí)有極小值； AC-<0 時(shí)沒有極值； AC-=0 時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。 、幾何應(yīng)用 1 、空間曲線的切線和法平面： 設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 ，假設(shè)三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)，在曲線上取相應(yīng)于的一點(diǎn) ，則曲線在點(diǎn) M 處的切線方程為 ，這里假設(shè) 均不為零。如果有個(gè)別為零，則應(yīng)按空間解析幾何中有關(guān)直線的對稱式方程來理解。切線的方向向量成為曲線的切向量。向量 就是曲線 在點(diǎn) M 處的一個(gè)切向量。 通過點(diǎn) M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn)