歐式看漲期權(quán)二叉樹定價

1、實驗概述本實驗首先介紹了二叉樹方法的來源和主要理論基礎(chǔ)，然后給出期權(quán)的二叉樹定價方法的基本過程和MATLAB7. 0實現(xiàn)的過程。19. 2 實驗?zāi)康?1)了解二叉樹的定價機(jī)理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票價格的二叉樹格子方法;(3)掌握歐式期權(quán)和美式期權(quán)的二叉樹定價方法。19. 3 實驗工具M(jìn)ATLAB 7. 0。19. 4 理論要點(diǎn)構(gòu)造二叉樹圖(Binomial Tree)是期權(quán)定價方法中最為常見的一種。這個樹圖表示了在期權(quán)有效期內(nèi)股票價格可能遵循的路徑。二叉樹定價方法與風(fēng)險中性定價理論是緊密聯(lián)系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了構(gòu)造離散的風(fēng)

2、險中性概率可以給期權(quán)定價，在此基礎(chǔ)上他們給出了二叉樹定價方法。1)一個簡單的例子 假設(shè)當(dāng)前(3月份)股票的價格So =50元，月利率是25%。 4月份股票價格有兩種可能:S高=100元，S低=25元。有一份看漲期權(quán)合約，合約約定在4月份可以以50元價格買進(jìn)一股股票?，F(xiàn)在考慮一個投資組合，進(jìn)行幾項操作:以價格C賣出3份看漲期權(quán)合約;以50元購入2股股票;以25%的月利率借人40元現(xiàn)金，借期為一個月。根據(jù)上述組合，我們可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1所示。表19.1 投資組合的到期收益分布表 四月份 三月份 S低=25元 S高=100元賣出3份看漲期權(quán)合約 3C 0 -150買人兩股股票

3、 -100 50 200借人現(xiàn)金 40 -50 -50總計 0 0 0由一價定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即為期權(quán)的價格。這個例子說明，可以用一個相當(dāng)簡單的方法為期權(quán)定價，唯一需要做的是假設(shè)對投資者而言不存在套利機(jī)會。我們可以通過某種方式構(gòu)造一個股票和期權(quán)的組合，使得在4月份該組合的價值是確定的。于是我們可以說該組合無風(fēng)險，它的收益率一定等于無風(fēng)險收益率。二叉樹方法正是基于上述思想構(gòu)造了二項分布下的風(fēng)險中性概率。2)二叉樹模型 考慮一個不支付紅利的股票期權(quán)價格估值。我們把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔 t。假設(shè)在每一個時間段內(nèi)股票價格從開始的價格S以概率p上升到Su,以概率

4、1-p下降到Sd，其中，u1,Odl。也就是說在任何一個時期，股票都有兩個可能的價值，如圖19. 1所示。 Su4 Su Su3 p Su2 Su2 Su SuS S S S Sd Sd 1-p Sd2 Sd2 Sd Sd3 Sd4圖19. 1股票價值變化的可能性 圖19. 2 二叉樹模型例如，我們假定將期權(quán)的有效期分成4個時期，在任何一個時期，股票都有兩種可能的價值，即每個時間段都假定是一個兩狀態(tài)過程。當(dāng)N=4時，我們有以下結(jié)點(diǎn)圖19. 2。在風(fēng)險中性概率Q下，P=且有，f0=pfu+(1-p)fd其中fu和fd是在t期后的期權(quán)可能的價格分布，分別為期權(quán)價格高點(diǎn)和低點(diǎn)。令u=1/d，根據(jù)股票

5、回報率的方差，我們有u=和d=若每個股票價格路徑的樣本點(diǎn)個數(shù)為N+1，那么歐式看漲期權(quán)的到期收益的樣本路徑為：f N, = max 0，SujdN-j-X， j=0，1，N向后遞歸可得：fij=pfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j相應(yīng)歐式看跌期權(quán)的到期收益表示:fN,j =max0,X-SujdN-j， j=0，1，N美式看漲期權(quán)的到期收益與歐式看漲期權(quán)是一致的，因此我們下面僅考慮美式看跌期權(quán)的格子(Lattice): fN,j =max0,X-SujdN-j， j=0，1，N向后遞歸可得: maxX-Sujdi-j,pfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j。i=N-1，N-2，0；j

6、=0,1,i19. 5 實驗過程我們首先給出歐式期權(quán)的二叉樹定價的MATLAB代碼，然后給出美式期權(quán)的二叉樹定價的代碼。19. 5. 1 歐式看漲期權(quán)1)歐式看漲期權(quán)的二叉樹定價下面的函數(shù)LatticeEurCall( )給出了利用二叉樹的方法給歐式看漲期權(quán)定%歐式看漲期權(quán)的二叉樹定價價:function price, lattice=LattceEurCall(SO,E,r,T,sigma, N)%S0:股票現(xiàn)價,E：執(zhí)行價格,r：利率,T:期權(quán)的有效期限,sigma：波動率，N：結(jié)點(diǎn)數(shù)deltaT=T/N； %日期步長u=exp(sigma*sqrt(deltaT);d=1/u;p=(ex

7、p(r*deltaT)/(u-d); %鳳險中性概率lattice=zeros(N+ 1, N+1)for j=0,N lattice(N+1,j+1)=max(0,S0*(uj)*(d(N-j)-E);endfor i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)* (p* lattice(i+2,j+2)+(1-p)* lattice(i+2,j+1); endendprice= lattice1,1);假設(shè)存在有效期為1年的歐式看漲期權(quán)，股票初始價格為50，利率為0. 03，波動率為0. 2，執(zhí)行價格為40，且令結(jié)點(diǎn)數(shù)N為10，在命

8、令窗口中輸人:price, lattice=LatticeEurCall(50,40，0. 03，1，0. 2，10)就可以得到一個以下三角矩陣表示二叉樹的格子以及歐式看漲期權(quán)的價格11. 614 5，如圖19. 3所示。2)歐式看漲期權(quán)的二叉樹的收斂性質(zhì)Gox, Ross & Rubinstein (1979)證明了二叉樹收斂于Black-Scholes期權(quán)定價公式。取當(dāng)前時刻為t一t，在給定參數(shù)p, u和d的條件下將二叉樹公式:f(S,t一t)=pf(Su,t)+(1-p)f(Sd,t)在(S, t)處進(jìn)行泰勒展開，可以得到:當(dāng)t0時，二叉樹模型收斂于Black-Scholes偏微分方程。

9、下面給出一個二叉樹收斂的直觀結(jié)果，給出代碼CompLatticeBls. m。%二叉樹期權(quán)定價的收斂性質(zhì)%CompLatticeBls. mS0=50;E=50; %執(zhí)行價格r=0.1; %年利率sigma=0.4; %波動率T=5/12； %有效期限為5個月N=50；BlasC=blsprice(S0,E,r,T,sigma);LatticeC=zeros)1,N);for i=1:N LatticeC(i)=LatticeEurCall(S0,E,r,T,sigma,i);endplot(1:N,ones(1,N)*BlsC);hold on;plot(1:N,LatticeC);xlab

10、el(N)ylabel(二叉樹價格）運(yùn)行CompLatticeBls.m，可以得到圖19. 4。從圖19. 4可以看出，隨著區(qū)間長度的縮小，二叉樹定價收斂于B一S公式確定的價格。19. 5. 2 歐式看跌期權(quán) 與歐式看漲期權(quán)類似，我們只需將歐式看漲期權(quán)的代碼稍做改動即可。%歐式看跌期權(quán)的二叉樹定價functionprice,lattice=LatticeEurPut(S0,E,r,T,sigma,N)%S0：股票現(xiàn)價，E：執(zhí)行價格，r：年率，T：期權(quán)的有效期限，sigma：波動率，N：結(jié)點(diǎn)數(shù)deltaT=T/N； %日期步長u=exp(sigma*sqrt(deltaT);d=1/u;p=(e

11、xp(r*deltaT)-d)/(u-d);Lattice=zeros(N+1,N+1）；for j= 0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,E-S0*(uj)*(d(N-j);endfor i=N-1:-1:0 for j =0:i lattice (i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)* (p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1); endendprice=lattice(1,1);19. 5. 3 美式看跌期權(quán)的二叉樹定價根據(jù)美式看跌期權(quán)的遞歸公式:fij = maxX-Sujdi-j,pfi+1,j+1+(1-p)fi

12、+1,ji= N-1,N-2,0；j=0，1，i 可以編寫一下代碼：%美式看跌期權(quán)的二叉樹定價Functionprice,lattice=LatticeAmPut(S0,E,r,T,sigma,N0%S0股票現(xiàn)價，E：執(zhí)行價格，r：利率期權(quán)的有效期限，sigma：波動率，N：結(jié)點(diǎn)數(shù)deltaT=T/N; %日期步長u=exp(sigma*sqrt(deltaT);d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d);lattice=zeros(N+1,N+1);for j= 0;N; Lattice(N+1,j+1)= max(0,E-S0*uj)*(d(N-j);endfor i=

13、N-1:-1:0 for j =0:i lattice (i+1,j+1)=max(E-S0*uj*d(i-j),exp(-r*deltaT)* (p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1); endendPrice=lattice(1,1);假設(shè)存在有效期為1年的美式看跌期權(quán)，股票初始價格為50，利率為0. 03,波動率為0. 2，執(zhí)行價格為60，且令結(jié)點(diǎn)數(shù)N為100，在命令窗口中輸人:LatticeAmPut ( 50，60,0. 03，1,0. 2，100)，得到美式看跌期權(quán)的價格為10. 3056。比較標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes歐式期權(quán)定價公

14、式的結(jié)果9. 610 0，顯然美式期權(quán)的價格要大。此外，MATLAB7.0金融工具箱還提供了為美式期權(quán)二叉樹定價的binprice()函數(shù):Stockprice, Optionprice=binprice(S0，E, r, T, dt, sigma, FLAG, q)其中，F(xiàn)LAG取1時為看漲期權(quán)，取0時為看跌期權(quán)。q為紅利率，可缺省。運(yùn)行binprice，返回的是股票和期權(quán)在每個節(jié)點(diǎn)的價值的矩陣。在命令窗口輸人:Stockprice, Optionprice= binprice( 50，60，0. 03，1,0.01,0.2,0);和 Optionprice(-1，1)得到美式看跌期權(quán)的價格為10. 305 6。這與我們用LatticeAmPut ( )運(yùn)行的結(jié)果是一致的。19. 6 實驗報告在實驗報告的撰寫上