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文檔簡介

1、一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分1函數(shù)的最小正周期為2設(shè)集合A=1,3,B=a+2,5,AB=3,則AB=3復(fù)數(shù)z=(1+2i)2,其中i為虛數(shù)單位,則z的實(shí)部為4口袋中有若干紅球、黃球和藍(lán)球,從中摸出一只球摸出紅球的概率為0.48,摸出黃球的概率為0.35,則摸出藍(lán)球的概率為5如圖是一個算法的流程圖,則輸出的n的值為6若實(shí)數(shù)x,y滿足則z=3x+2y的最大值為7抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名學(xué)生的5次訓(xùn)練成績(單位:分),結(jié)果如下:學(xué)生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070則成績較為穩(wěn)定(方差較?。┑哪俏粚W(xué)生成績的方差為8如圖,在正四棱柱ABCDA

2、1B1C1D1中,AB=3cm,AA1=1cm,則三棱錐D1A1BD的體積為cm39在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線2x+y=0為雙曲線=1(a0,b0)的一條漸近線,則該雙曲線的離心率為10九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則該竹子最上面一節(jié)的容積為升11在ABC中,若+2=,則的值為12已知兩曲線f(x)=2sinx,g(x)=acosx,相交于點(diǎn)P若兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直,則實(shí)數(shù)a的值為13已知函數(shù)f(x)=|x|+|x4|,則不等式f(x2+2)f(x)的解集用區(qū)間表示為14在平面直角坐標(biāo)系xO

3、y中,已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),且ABAC,則線段BC的長的取值范圍為二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分15如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以x軸正半軸為始邊作銳角,其終邊與單位圓交于點(diǎn)A以O(shè)A為始邊作銳角,其終邊與單位圓交于點(diǎn)B,AB=(1)求cos的值;(2)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,求點(diǎn)B的坐標(biāo)16如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),OP=OC,PAPD求證:(1)直線PA平面BDE;(2)平面BDE平面PCD17如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓(ab0)的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1(1)求

4、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P為橢圓上的一點(diǎn),過點(diǎn)O作OP的垂線交直線于點(diǎn)Q,求的值18如圖,某機(jī)械廠要將長6m,寬2m的長方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C,D分別落在直線BC下方點(diǎn)M,N處,F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P),再沿直線PE裁剪(1)當(dāng)EFP=時,試判斷四邊形MNPE的形狀,并求其面積;(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大,請給出裁剪方案,并說明理由19已知函數(shù)f(x)=ax2xlnx,aR(1)當(dāng)時,求函數(shù)f(x)的最小值;(2)若1a0,證明:函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn);(3)若函數(shù)f(x)有兩個零

5、點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍20已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且,(k1k2kn)成等比數(shù)列,公比為q(1)若k1=1,k2=3,k3=8,求的值;(2)當(dāng)為何值時,數(shù)列kn為等比數(shù)列;(3)若數(shù)列kn為等比數(shù)列,且對于任意nN*,不等式恒成立,求a1的取值范圍南通市2017屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(附加題)選做題本題包括四小題,請選2題作答若多做,則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟選修4-1:幾何證明選講21已知圓O的直徑AB=4,C為AO的中點(diǎn),弦DE過點(diǎn)C且滿足CE=2CD,求OCE的面積選修4-2:矩陣與變換22已知向量是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量在平面直

6、角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻'(3,3),求矩陣A選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23在極坐標(biāo)系中,求直線被曲線=4sin所截得的弦長選修4-5:不等式選講24求函數(shù)的最大值必做題共2小題,滿分20分)25如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,P為棱C1D1的中點(diǎn),Q為棱BB1上的點(diǎn),且BQ=BB1(0)(1)若,求AP與AQ所成角的余弦值;(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°,求實(shí)數(shù)的值26在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線x2=2py(p0)上的點(diǎn)M(m,1)到焦點(diǎn)F的距離為2,(1)求拋物線的方程;(2)如圖,點(diǎn)E

7、是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn),拋物線在點(diǎn)E處的切線與x軸相交于點(diǎn)P,直線PF與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求EAB面積的最小值2017年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分1函數(shù)的最小正周期為【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin(x+)的周期等于,得出結(jié)論【解答】解:函數(shù)的最小正周期為,故答案為:2設(shè)集合A=1,3,B=a+2,5,AB=3,則AB=1,3,5【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算【分析】由交集的定義,可得a+2=3,解得a,再由并集的定義,注意集合中元素的互異性,即可得到所求【解答】解:集合A=1,3,B=a+2,5,

8、AB=3,可得a+2=3,解得a=1,即B=3,5,則AB=1,3,5故答案為:1,3,53復(fù)數(shù)z=(1+2i)2,其中i為虛數(shù)單位,則z的實(shí)部為3【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案【解答】解:z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=3+4i,z的實(shí)部為3故答案為:34口袋中有若干紅球、黃球和藍(lán)球,從中摸出一只球摸出紅球的概率為0.48,摸出黃球的概率為0.35,則摸出藍(lán)球的概率為0.17【考點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)【分析】利用對立事件的概率公式,可得結(jié)論【解答】解:摸出紅球的概率為0.48,摸出黃球的概率為0.35,摸出藍(lán)球的概率為10.480.35=

9、0.17故答案為0.175如圖是一個算法的流程圖,則輸出的n的值為5【考點(diǎn)】程序框圖【分析】由已知的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)計(jì)算a值,并輸出滿足a16的最大n值,模擬程序的運(yùn)行過程可得答案【解答】解:當(dāng)n=1,a=1時,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,執(zhí)行循環(huán)后,a=5,n=3;滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,執(zhí)行循環(huán)后,a=17,n=5;滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,退出循環(huán)故輸出n值為5故答案為:56若實(shí)數(shù)x,y滿足則z=3x+2y的最大值為7【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求最大值【解答】解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分)由z=3x+2y得y=x+

10、z平移直線y=x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點(diǎn)A時,直線y=x+z的截距最大,此時z最大由,解得A(1,2),代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y得z=3×1+2×2=7即目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值為7故答案為:77抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名學(xué)生的5次訓(xùn)練成績(單位:分),結(jié)果如下:學(xué)生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070則成績較為穩(wěn)定(方差較?。┑哪俏粚W(xué)生成績的方差為20【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【分析】根據(jù)題意,分別求出甲、乙的平均數(shù)與方差,比較可得S甲2S乙2,則乙的成績較為穩(wěn)定;即可得答案【解答】解:根據(jù)題意,對于甲,其平均數(shù)甲=75

11、,其方差S甲2=(6575)2+(8075)2+(7075)2+(8575)2+(7575)2=50;對于乙,其平均數(shù)乙=75,其方差S乙2=(8075)2+(7075)2+(7575)2+(8075)2+(7075)2=20;比較可得:S甲2S乙2,則乙的成績較為穩(wěn)定;故答案為:208如圖,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=3cm,AA1=1cm,則三棱錐D1A1BD的體積為cm3【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】三棱錐D1A1BD的體積=,由此能求出結(jié)果【解答】解:在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=3cm,AA1=1cm,三棱錐D1A1BD的體積:=(cm3)故答案

12、為:9在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線2x+y=0為雙曲線=1(a0,b0)的一條漸近線,則該雙曲線的離心率為【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】利用雙曲線的漸近線方程得到a,b關(guān)系,然后求解雙曲線的離心率即可【解答】解:直線2x+y=0為雙曲線=1(a0,b0)的一條漸近線,可得b=2a,即c2a2=4a2,可得=故答案為:10九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則該竹子最上面一節(jié)的容積為升【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【分析】設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組,能求出結(jié)果【解答

13、】解:設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1,由題設(shè)知,解得故答案為:11在ABC中,若+2=,則的值為【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;正弦定理【分析】根據(jù)題意,利用平面向量的數(shù)量積,結(jié)合余弦定理和正弦定理,即可求出的值【解答】解:在ABC中,設(shè)三條邊分別為a、b,c,三角分別為A、B、C,由+2=,得accosB+2bccosA=bacosC,由余弦定理得:(a2+c2b2)+(b2+c2a2)=(b2+a2c2),化簡得=2,=,由正弦定理得=故答案為:12已知兩曲線f(x)=2sinx,g(x)=acosx,相交于點(diǎn)P若兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直,則實(shí)數(shù)a的值為【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【

14、分析】聯(lián)立兩曲線方程,可得tanx=,a0,設(shè)交點(diǎn)P(m,n),分別求出f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為1,再由同角基本關(guān)系式,化弦為切,解方程即可得到a的值【解答】解:由f(x)=g(x),即2sinx=acosx,即有tanx=,a0,設(shè)交點(diǎn)P(m,n),f(x)=2sinx的導(dǎo)數(shù)為f(x)=2cosx,g(x)=acosx的導(dǎo)數(shù)為g(x)=asinx,由兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直,可得2cosm(asinm)=1,且tanm=,則=1,分子分母同除以cos2m,即有=1,即為a2=1+,解得a=故答案為:13已知函數(shù)f(x)=|x|+|x4|,則

15、不等式f(x2+2)f(x)的解集用區(qū)間表示為【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法【分析】令g(x)=f(x2+2)f(x)=x2+2+|x22|x|x4|,通過討論x的范圍,求出各個區(qū)間上的不等式的解集,取并集即可【解答】解:令g(x)=f(x2+2)f(x)=x2+2+|x22|x|x4|,x4時,g(x)=2x22x+40,解得:x4;x4時,g(x)=2x240,解得:x或x,故x4;0x時,g(x)=00,不合題意;x0時,g(x)=2x0,不合題意;x時,g(x)=2x2+2x40,解得:x1或x2,故x2,故答案為:14在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn),點(diǎn)A(1

16、,1),且ABAC,則線段BC的長的取值范圍為,【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用【分析】畫出圖形,當(dāng)BCOA時,|BC|取得最小值或最大值,求出BC坐標(biāo),即可求出|BC|的長的取值范圍【解答】解:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),且ABAC,如圖所示當(dāng)BCOA時,|BC|取得最小值或最大值由,可得B(,1)或(,1),由,可得C(1,)或(1,)解得BCmin=,BCmax=故答案為:,二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分15如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以x軸正半軸為始邊作銳角,其終邊與單位圓交于點(diǎn)A以O(shè)A為始邊作銳角,其終邊與單位圓交于點(diǎn)B,AB

17、=(1)求cos的值;(2)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,求點(diǎn)B的坐標(biāo)【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義【分析】(1)由條件利用余弦定理,求得cos的值(2)利用任意角的三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和差的正弦、余弦公式,求得點(diǎn)B的坐標(biāo)【解答】解:(1)在AOB中,由余弦定理得,AB2=OA2+OB22OAOBcosAOB,所以,=,即 (2)因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,由三角函數(shù)定義可得,因?yàn)闉殇J角,所以 所以,即點(diǎn)16如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),OP=OC,PAPD求證:(1)直線PA平面BDE;(2)平面BDE平面PCD【

18、考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定;直線與平面平行的判定【分析】(1)連結(jié)OE,說明OEPA然后證明PA平面BDE(2)證明OEPDOEPC推出OE平面PCD然后證明平面BDE平面PCD【解答】證明:(1)連結(jié)OE,因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn),所以O(shè)為AC中點(diǎn)又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),所以O(shè)EPA 4分又因?yàn)镺E平面BDE,PA平面BDE,所以直線PA平面BDE 6分(2)因?yàn)镺EPA,PAPD,所以O(shè)EPD 8分因?yàn)镺P=OC,E為PC的中點(diǎn),所以O(shè)EPC 10分又因?yàn)镻D平面PCD,PC平面PCD,PCPD=P,所以O(shè)E平面PCD 12分又因?yàn)镺E平面BDE,所以平面BDE平面PCD 14

19、分17如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓(ab0)的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P為橢圓上的一點(diǎn),過點(diǎn)O作OP的垂線交直線于點(diǎn)Q,求的值【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】(1)由已知條件可得,然后求解橢圓的方程(2)由題意知OP的斜率存在當(dāng)OP的斜率為0時,求解結(jié)果;當(dāng)OP的斜率不為0時,設(shè)直線OP方程為y=kx聯(lián)立方程組,推出OQ2=2k2+2然后求解即可【解答】解:(1)由題意得,2分解得,c=1,b=1所以橢圓的方程為 4分(2)由題意知OP的斜率存在當(dāng)OP的斜率為0時,所以 6分當(dāng)OP的斜率不為0時,設(shè)直線OP方程為y=kx

20、由得(2k2+1)x2=2,解得,所以,所以 9分因?yàn)镺POQ,所以直線OQ的方程為由得,所以O(shè)Q2=2k2+2 12分所以綜上,可知 14分18如圖,某機(jī)械廠要將長6m,寬2m的長方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C,D分別落在直線BC下方點(diǎn)M,N處,F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P),再沿直線PE裁剪(1)當(dāng)EFP=時,試判斷四邊形MNPE的形狀,并求其面積;(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大,請給出裁剪方案,并說明理由【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用【分析】(1)當(dāng)EFP=時,由條件得EFP=EFD=FEP=可得FN

21、BC,四邊形MNPE為矩形即可得出(2)解法一:設(shè),由條件,知EFP=EFD=FEP=可得,四邊形MNPE面積為=,化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出解法二:設(shè)BE=tm,3t6,則ME=6t可得PE=PF,即,NP=3T+,四邊形MNPE面積為=,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解:(1)當(dāng)EFP=時,由條件得EFP=EFD=FEP=所以FPE=所以FNBC,四邊形MNPE為矩形3分所以四邊形MNPE的面積S=PNMN=2m25分(2)解法一:設(shè),由條件,知EFP=EFD=FEP=所以, 8分由得所以四邊形MNPE面積為=12分當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”14分此時,(*)成立答:當(dāng)時,沿直線P

22、E裁剪,四邊形MNPE面積最大,最大值為m2 16分解法二:設(shè)BE=tm,3t6,則ME=6t因?yàn)镋FP=EFD=FEP,所以PE=PF,即所以, 8分由得所以四邊形MNPE面積為=12分=當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=” 14分此時,(*)成立答:當(dāng)點(diǎn)E距B點(diǎn)m時,沿直線PE裁剪,四邊形MNPE面積最大,最大值為m2 16分19已知函數(shù)f(x)=ax2xlnx,aR(1)當(dāng)時,求函數(shù)f(x)的最小值;(2)若1a0,證明:函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn);(3)若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用;根的存在性及根的個數(shù)判斷;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】(1

23、)當(dāng)時,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到極值點(diǎn),然后判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值(2)由f(x)=ax2xlnx,得當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上最多有一個零點(diǎn),當(dāng)1a0時,f(1)=a10,推出結(jié)果(3)由(2)知,當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上最多有一個零點(diǎn)說明a0,由f(x)=ax2xlnx,得,說明函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減;在(x0,+)上單調(diào)遞增要使得函數(shù)f(x)在(0,+)上有兩個零點(diǎn),只需要通過函數(shù)h(x)=2lnx+x1在(0,+)上是增函數(shù),推出0a1驗(yàn)證當(dāng)0a1時,函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)證明:lnxx1設(shè)t(x)=x1lnx,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可【解答】解:(

24、1)當(dāng)時,所以,(x0) 2分令f'(x)=0,得x=2,當(dāng)x(0,2)時,f'(x)0;當(dāng)x(2,+)時,f'(x)0,所以函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增所以當(dāng)x=2時,f(x)有最小值4分(2)由f(x)=ax2xlnx,得所以當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上最多有一個零點(diǎn)6分因?yàn)楫?dāng)1a0時,f(1)=a10,所以當(dāng)1a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上有零點(diǎn)綜上,當(dāng)1a0時,函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn) 8分(3)由(2)知,當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上最多有一個零點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù)f

25、(x)有兩個零點(diǎn),所以a0 9分由f(x)=ax2xlnx,得,令g(x)=2ax2x1因?yàn)間(0)=10,2a0,所以函數(shù)g(x)在(0,+)上只有一個零點(diǎn),設(shè)為x0當(dāng)x(0,x0)時,g(x)0,f'(x)0;當(dāng)x(x0,+)時,g(x)0,f'(x)0所以函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減;在(x0,+)上單調(diào)遞增要使得函數(shù)f(x)在(0,+)上有兩個零點(diǎn),只需要函數(shù)f(x)的極小值f(x0)0,即又因?yàn)?,所?lnx0+x010,又因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=2lnx+x1在(0,+)上是增函數(shù),且h(1)=0,所以x01,得又由,得,所以0a1 13分以下驗(yàn)證當(dāng)0a1時,函數(shù)

26、f(x)有兩個零點(diǎn)當(dāng)0a1時,所以因?yàn)?,且f(x0)0所以函數(shù)f(x)在上有一個零點(diǎn)又因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)閘nxx1),且f(x0)0所以函數(shù)f(x)在上有一個零點(diǎn)所以當(dāng)0a1時,函數(shù)f(x)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1) 16分下面證明:lnxx1設(shè)t(x)=x1lnx,所以,(x0)令t'(x)=0,得x=1當(dāng)x(0,1)時,t'(x)0;當(dāng)x(1,+)時,t'(x)0所以函數(shù)t(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增所以當(dāng)x=1時,t(x)有最小值t(1)=0所以t(x)=x1lnx0,得lnxx1成立20已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且,(

27、k1k2kn)成等比數(shù)列,公比為q(1)若k1=1,k2=3,k3=8,求的值;(2)當(dāng)為何值時,數(shù)列kn為等比數(shù)列;(3)若數(shù)列kn為等比數(shù)列,且對于任意nN*,不等式恒成立,求a1的取值范圍【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合;等比數(shù)列的性質(zhì)【分析】(1)由已知得:a1,a3,a8成等比數(shù)列,從而4d2=3a1d,由此能求出的值(2)設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列,則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而由此得到當(dāng)時,數(shù)列kn為等比數(shù)列(3)由數(shù)列kn為等比數(shù)列,a1=d,得到,恒成立,再證明對于任意的正實(shí)數(shù)(01),總存在正整數(shù)n1,使得要證,即證lnn1n1lnq+ln由此能求出a1的取值范圍【解答】解:(1)由已知可得:

28、a1,a3,a8成等比數(shù)列,所以,2分整理可得:4d2=3a1d因?yàn)閐0,所以 4分(2)設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列,則又因?yàn)椋傻缺葦?shù)列,所以整理,得因?yàn)椋詀1(2k2k1k3)=d(2k2k1k3)因?yàn)?k2k1+k3,所以a1=d,即6分當(dāng)時,an=a1+(n1)d=nd,所以又因?yàn)?,所以所以,?shù)列kn為等比數(shù)列綜上,當(dāng)時,數(shù)列kn為等比數(shù)列8分(3)因?yàn)閿?shù)列kn為等比數(shù)列,由(2)知a1=d,an=a1+(n1)d=na1因?yàn)閷τ谌我鈔N*,不等式恒成立所以不等式,即,恒成立10分下面證明:對于任意的正實(shí)數(shù)(01),總存在正整數(shù)n1,使得要證,即證lnn1n1lnq+ln因?yàn)?,則,解不等

29、式,即,可得,所以不妨取,則當(dāng)n1n0時,原式得證所以,所以a12,即得a1的取值范圍是2,+) 16分南通市2017屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(附加題)選做題本題包括四小題,請選2題作答若多做,則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟選修4-1:幾何證明選講21已知圓O的直徑AB=4,C為AO的中點(diǎn),弦DE過點(diǎn)C且滿足CE=2CD,求OCE的面積【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段【分析】由相交弦定理,得CD,DE中點(diǎn)H,則OHDE,利用勾股定理求出OH,即可求出OCE的面積【解答】解:設(shè)CD=x,則CE=2x因?yàn)镃A=1,CB=3,由相交弦定理,得CACB=CDCE,所以1

30、5;3=x2x=2x2,所以2分取DE中點(diǎn)H,則OHDE因?yàn)?,所?分又因?yàn)?,所以O(shè)CE的面積 10分選修4-2:矩陣與變換22已知向量是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻'(3,3),求矩陣A【考點(diǎn)】特征值與特征向量的計(jì)算【分析】設(shè),根據(jù)矩陣變換,列方程組,即可求得a、b、c和d的值,求得A【解答】解:設(shè),因?yàn)橄蛄渴蔷仃嘇的屬于特征值1的一個特征向量,所以所以4分因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻'(3,3),所以所以8分解得a=1,b=2,c=2,d=1,所以10分選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方

31、程23在極坐標(biāo)系中,求直線被曲線=4sin所截得的弦長【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程【分析】極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立,求出A,B的坐標(biāo),即可求直線被曲線=4sin所截得的弦長【解答】解:以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系直線的直角坐標(biāo)方程為y=x,3分曲線=4sin的直角坐標(biāo)方程為x2+y24y=0 6分由得或8分所以A(0,0),B(2,2),所以直線被曲線=4sin所截得的弦長AB= 10分選修4-5:不等式選講24求函數(shù)的最大值【考點(diǎn)】柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用;三角函數(shù)的最值【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式,利用柯西不等式求解函數(shù)的最值即可【解答】解:2分由柯西不等式得

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