晶體子的熱振動

1、第一章、第二章中在討論晶體的結(jié)合、固體中結(jié)合力性質(zhì)以及相關(guān)物質(zhì)性質(zhì)（例第二章中的壓縮系數(shù)或體彈性模量、抗張強度等）時曾忽略了晶體中原子熱運動的影響（例當時考慮了T=0K這種最簡單的情況），認為固體中原子是處在平衡位置（即），這時整個晶體的勢能最小，而實際上晶體中原子并非固定不動的，而是在其平衡位置附近或圍繞其平衡位置作振動。這種振動即本章所討論的所謂熱振動，在高于絕于零度以上的任何溫度，這種運動都會發(fā)生，其振動頻率大體在1012-1013次/S，其振幅的數(shù)值決定于溫度和晶體本身的性質(zhì)，其振幅數(shù)量便大體為10-9cm。在較高溫度下，振動原子通過偶然性的統(tǒng)計漲落，可獲得高于平均能量的能量，當這種能

2、量的大小足以擺脫周圍原子束縛時，原子可離開其平衡位置而到達一個新的平衡位置，即產(chǎn)生擴散現(xiàn)象。關(guān)于這方面的問題將在第四章中討論。本章討論原子的熱振動的情況，即在溫度不太高時原子作微小振動的情況。晶體中原子的熱振動同晶體的許多重要宏觀性質(zhì)有關(guān)，例固體的比熱、熱膨脹、熱傳導(dǎo)等熱學性質(zhì)，電阻、超導(dǎo)電性等固體的電學性質(zhì)，紅外吸收與輻射等光學性質(zhì)等。所以，對晶體中原子熱振動的研究和討論是認識和了解固體中許多宏觀性質(zhì)、微觀過程及其機理的重要基礎(chǔ)。本章只著重討論其中的有關(guān)固體熱學性質(zhì)的部分，其它部分在本章最后的小結(jié)及后續(xù)章節(jié)、后續(xù)課程中可能有介紹（例電阻的產(chǎn)生機理、聲子、電子運動等），因為熱學性質(zhì)是原子的振動

3、在宏觀性質(zhì)上最直接的表現(xiàn)，對晶體原子振動的研究，最早是從熱學性質(zhì)開始的。（在“統(tǒng)計熱力學”中將討論有關(guān)配分函數(shù)的處理及熱力學函數(shù)的計算，本章中固體比熱的計算，同上述內(nèi)容有聯(lián)系。）§1設(shè)晶體由N個原子組成，它們相對于平衡位置的位移，分別用（x1，x2，x3）、（x4，x5，x6）、（x3N-2，x3N-1，x3N）來表示，則其動能可表示為： （1）（）其中mi是坐標為x1的原子的質(zhì)量。實際上x1，x2，x3是同一個原子的坐標，故有m1=m2=m3。對于x3，x4，x5x3N-2，x3N-1，x3N等都是如此，采用下列變換： （2）則將（1）式變換寫成： （3）晶體振動的勢能與各原子的相

4、互位置有關(guān)，由（2）式可看出，實際上同坐標gi有關(guān)，因為我們只限于討論微振動，可將勢能V按gi的冪展開： （4）其中，下標中0表示求導(dǎo)在其平衡位置上進行，選擇各原子處于平衡位置時V0=0。此外各原子處于平衡位置時勢能為極小，即，故（4）式中第一項、第二項都為0，若略去高次項，則(g1,g2g3N)可寫成： （5）注意：上式的得到是在只保留gi的二次項而略去其高次項的前提下所作的近似處理，稱為簡諧近似，本章基本都在簡諧近似下處理。（在最后一節(jié)討論與非簡諧處理有關(guān)的問題，例固體的熱膨脹。）將（3）式和（5）式組成拉格朗日函數(shù)L=T-V，代入拉氏方程得到： （6）得到下列運動方程： （7）這個齊次線

5、性微分方程組有如下特解： （8）這個特解意味著，所有圍繞其平衡位置作諧振動的原子，都具有相同的位相和頻率，但其振幅不一定相同。這是晶體中原子最簡單的一種振動方式，稱為簡正振動。（8）式所給出的特解應(yīng)能夠滿足方程（7），則將（8）式代入（7）式，得確定與之間關(guān)系的方程組。 （9）方程組（9）又可改寫成： （10）（10）式表示3N個含有3N個未知數(shù)Ai的齊次線性聯(lián)立方程（高數(shù)中齊次方程，線代中齊次線性方程組），其中。如果Ai有不全為零的非零解，則其導(dǎo)數(shù)行列式應(yīng)為零，即： （11）（11）式表明，只有當（8）式中滿足方程（11）時，（8）式才能代表運動方程的一個特解。（11）式是一個3N次方程，具

6、有3N個根即，3N個可能全不相同或者只有部分相同，故在一般情況下（8）式有3N個特解，即： （12）其中l(wèi)=1,2,3N。對于（10）式中的齊次方程，只能定出的比值，如果令為各個的公因子，則我們可令 （13）在引入外加條件，即，則可求出即的比值，但依然無法確定。將所得到的3N個特解加起來，就得到運動微分方程（7）的近似解。 （14）其中包含6N個任意常數(shù)即3N個振幅公因子和3N個位相。引入新坐標： （15）則（14）式可改寫成：上式說明每個坐標的振動，都可以分解成3N個簡正振動的線性迭加，新坐標稱為簡正坐標，所以，我們可以得出結(jié)論：N個原子組成晶體的任何一種微振動，可看成3N個簡正振動的迭加。

7、（*簡正坐標與原子位移坐標之間的正交變換，實際上是按付氏展開式把坐標系由位置坐標轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間（正格子倒格子）。引入簡正坐標后，可以使（5）式中交叉項消去而變成平方項的和，使T和V的表達式更加簡潔，得到： （16） （17）2將（16）式和（17）式中T和V組成L氏函數(shù)L=T-V，并把（16）式和（17）式代（6）式的拉氏方程，得到： （18）上方程解為： （19）這一解與引入的新坐標（15）式相同。表明把坐標gk變換為簡正坐標Ql后，可能分別用（16）式和（17）式表示晶格振動的動能和勢能。則晶格振動的總能量可寫成： （20）其中任一項都有以下形式： （21）根據(jù)大學物理有關(guān)“振動學基礎(chǔ)”中

8、內(nèi)容可知，這是一個具有振動頻率為的線性諧振子的能量（，）。所以（20）式說明晶格振動的總能量可以表示成3N個獨立諧振子的能量之和。換而言之，N個原子組成的體系，與3N個獨立諧振子是等效的（注意：在簡諧近似的前提下，獨立無相互作用無能量交換各振子均保持原有振動狀態(tài)，這樣處理在解決某些問題時是方便的，但僅是一種近似。在解決某些問題時，需作相應(yīng)修正，例熱傳導(dǎo)、熱平衡、熱膨脹等數(shù)量，見本章最后一節(jié)）。3根據(jù)量子力學，一個諧振子的能量與頻率的關(guān)系為：則得到：說明晶格振動能量是量子化的，以為單位來增減其能量，就稱為晶格振動能量的量子即聲子。晶格振動能量量子化的概念及聲子的概念引入，對于處理與晶格振動有關(guān)的

9、問題時，可有助于我們對問題的理解和解決。 采用“聲子”概念不僅（1）表達簡潔；（2）處理問題方便（例晶格與微觀粒子相互作用）而且（3）包含深刻物理意義，“聲子”不是真實的微觀粒子，稱“準粒子”，它反映的是晶格原子集體運動狀態(tài)的激發(fā)單元，更深入一步說，多體系運動的激發(fā)單元常稱為元激發(fā)，對元激發(fā)的研究是固體物理及凝聚態(tài)物理中重要的和前沿課程，其研究的意義在于可以更加深入詳細地分析固體內(nèi)部的微觀過程，揭示物質(zhì)內(nèi)部的微觀規(guī)律，以更好地對其加以適用。例：電阻的本質(zhì)晶格中原子熱振動對電子傳輸?shù)挠绊懧晫W對電子的相互碰撞（伴隨能量交換），晶格振動對電子的散射量；電場作用下電子被加速聲子與電子相互作用電子在電場

10、中所獲能量大部分傳給晶格電子只獲得平均速度基礎(chǔ)上附加的一個有限的速度（VD浮移速度）不能無限被加速（有阻力）電阻。例：合金電阻值大于純金屬電阻：同時存在雜質(zhì)散射+聲學散射（略）（這方面內(nèi)容在第五章內(nèi)容學習后，可能認識的更清楚，目前，定性或活性認識）§一、固體比熱的經(jīng)典討論（杜隆珀替定律）根據(jù)熱力學，固體比熱（或稱定容比熱、定容熱容CV）的定義為：其中為固體的平衡內(nèi)能，一般條件下，固體內(nèi)能包括晶格振動能量和電子運動能量，在不同的溫度下晶格振動能量及電子振動能量的變化對比熱都有貢獻，在溫度不太低時，電子對比熱的貢獻遠比晶格的貢獻?。ㄔ跇O低溫下情況相反）。所以，在本節(jié)討論中忽略去電子的影響

11、，只考慮晶格振動對比熱的貢獻。根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計的能量均分原理，每一個自由度的平均能量為，其中為平均動能，為平均勢能，KB為玻爾茲曼常數(shù)，若固體中有N個原子，則總的平均能量為（N個原子3N個諧振子（獨立）。當N為1mol原子中的原子數(shù)時，則原子的比熱為，即比熱是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)，這即為有關(guān)固體比熱的杜隆珀替定律（基于經(jīng)典統(tǒng)計經(jīng)典理論Dulong-Petit）。1高溫下Dulong-Petit定律與實驗符合得很好。 絕大多數(shù)固體比熱都符合Dulong-Petit，但有一些Tl、Pb、Al、B元素的固體，在高溫和低溫下都不符合。2低溫下，不適用（實驗表明、低溫下絕緣體的比熱按T3趨近于零，對導(dǎo)體則按

12、T趨近于0）。低溫下Dulong-Petit定律的基礎(chǔ)即能量均分的經(jīng)典統(tǒng)計理論不再適用，下面討論量子理論對這一問題的處理和解決。二、固體比熱的量子理論根據(jù)第一節(jié)討論的基本結(jié)論，晶格振動的能量是量子化的，則N個原子組成的晶體能量為：式中U為原子靜止于平衡位置上時晶體的能量，因晶體可看作N個諧振子組成的體系，且諧振子相互獨立，則可按照統(tǒng)計熱力學中的近獨立子體系計算其比熱等熱力學函數(shù)。如前所述，其關(guān)鍵在于配分函數(shù)的計算。晶體的自由能為：配分函數(shù)為：，由3N個量子數(shù)n1、n2n3N確定。將代入Z中得到：則假設(shè)晶體的形變只有體積的各向同性變化，則式中U和vi只為V的函數(shù)，則F可認為是T和V的函數(shù)F（T、

13、V），下面根據(jù)有關(guān)熱力學關(guān)系推導(dǎo)CV。設(shè)晶體的熱平衡能量為E：（）則 （1）當溫度很高時，將E和按展開（x很小時，），得到：顯然，隨T增大而增大，且趨向于，這與Dulong-Petit相符。（物理意義：當振動能量比其量子大許多時，量子化效應(yīng)可忽略，即可用經(jīng)典理論對問題進行描述）。（2）當溫度很低時，同樣可以得到：（物理意義：時，振動被凍結(jié)在基態(tài)上，很難被熱激發(fā)，故對CV貢獻為零）?？梢奀V隨溫度降低而迅速變小，時，由（1）、（2）中分析和討論后不難得出結(jié)論，采用晶格振動的量子理論可發(fā)現(xiàn)高溫時同實驗結(jié)果相符，低溫時亦同實驗結(jié)果相符，而與之相比，經(jīng)典理論（Dulong-Petit）則只說明了高溫下

14、。顯然采用晶體中原子振動的量子化觀念處理晶體比熱問題是成功的?；仡^看看，根據(jù)已學的統(tǒng)計熱力學知識，計算熱力學參量（包括）主要是基于（配分函數(shù)），其中最為關(guān)鍵的是知道即能級，由（1）、（2）處理中也可看出，其中式中對能級（）仍有待進一步處理。（式中仍包括求和，分析和討論其變化趨勢，具體計算）前面統(tǒng)計熱力學已介紹過這樣的觀念：如果振動能項是密集的（即能項間變化極?。?，則可以認為是連續(xù)的（：能級間隙，某個獨立諧振子的頻率，N個原子晶體，3N個獨立諧振子），則可以用積分來取代加和。故有： 其中引進頻率分布函數(shù)，則表示頻率v與+dv之間的振子數(shù)。為最大頻率。且有（總的振子數(shù)或體系的自由度數(shù)目為3N），在

15、有關(guān)固體比熱的模型中采用了各種近似分法對或進行近似處理，以求出晶體的比熱（計算），（對實際晶體，精確計算出或是困難的，故借助于模型化方法近似式簡化）。1愛因斯坦模型假設(shè)：（1）晶格子原子振動是相互獨立的； （2）所有原子都以相同的頻率振動，即令E=稱為愛因斯坦特征溫度令，為愛因斯坦比熱函數(shù)（1）高溫下，時，與Dulong-Petit定律一致。（2）低溫下，時，（利用洛比塔法則對不定式求導(dǎo)）與實驗相符，但椐前面已述實驗現(xiàn)象即絕緣體按，導(dǎo)體按，則愛因斯坦模型中的速度要快（按指數(shù)規(guī)律），即與實驗現(xiàn)象不符，表明愛因斯坦模型存在缺陷。原因：（1）“所以原子具有相振動頻率”假設(shè)過于簡單（忽略了各原子振動頻

16、率之間差異）（2）v的選擇一般在紅外線范圍（頻率較高），忽略了低頻的作用（這樣選擇目的使在較廣泛的溫度范圍內(nèi)與實驗相符）。2德拜模型（Debye）德拜模型基本觀點：（1） 低頻振動對貢獻很大，不可忽略。（2） 晶體中原子運動是相互影響的（即某一個原子運動會影響到其它原子的運動）同時各原子振動頻率不同，存在著一個0和極大值的可能振動頻率間的分布。（3） 低頻振動產(chǎn)生的波，波長很大，因而晶體可看作各向同性的連續(xù)介質(zhì)，晶格振動看作是在連續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波（借助于宏觀力學方法處理）1）頻率分布函數(shù)的計算取一個邊長為L的立方晶體。根據(jù)Debye模型，可認為是連續(xù)介質(zhì)，在其中傳播的任一彈性波均有一個縱波

17、成份和兩個模波成份。（縱波：振動方向和傳播方向一致；模波：振動方向和傳播方向垂直，有二種振動方式，即垂直于傳播方向的二個相互垂直的振動）。這種縱波和模波的波動方程可寫成：縱波：橫波：其中和分別代表縱波和橫波的傳播速度，上述具有相同形式的二個方程，應(yīng)具有相同形式的解，采用分離變量法（數(shù)理方程解法）令：邊界條件：式中，和分別為縱波和橫波的振幅，和分別為縱波和橫波的頻率，t為時間，為正整數(shù)（=0，1，2）將和的解代回縱波和橫波的波動方程，則得到：彈性波在介質(zhì)中的傳播速度決定于介質(zhì)的性質(zhì)，如密度、彈性模量等對于給定固體為常數(shù)。對于某一給定的和，的整數(shù)與在該給定頻率下所可能有的振動方式數(shù)相對應(yīng)。若以為坐

18、標，則式中方程代表一個半徑為的球，滿足方程的與球的1/8球面上某一點相對應(yīng)（正整數(shù)），則球面的面積即為給定和的振動方式數(shù)，故v和間振動方式數(shù)為半間為R和半徑為之間球殼體積的1/8（根據(jù)所選坐標），平均單位體積內(nèi)有一個點，則：（）（晶體的體積）故 （間縱波的振動方式） （間橫波的振動方式）令 （B為常數(shù)，和已知）則 （：頻率上限）若和已知，則可知B，由可計算出（或）2能量和比熱的計算根據(jù)，代入E和CV的積分表達式：得：其中：，（Deby特征溫度）則令（Deby比熱函數(shù)）則（1）高溫下：，則有（x很小時只取前兩項）（x+11）（2）低濕下D/T很大，故積分式中上限可寫成則且低溫下，很小，則進行下列

19、變換：（泰勒定律，對任意x有：）（低溫下，CV同T3成正比，即Debye定律）Debye模型對原子晶體及部分簡單的離子晶體（例Al、Ag、C、KCl、Al2O3等）在較寬的溫度范圍內(nèi)都與實驗結(jié)果符合，可見比經(jīng)典模型和Einstein模型都有改進，但也有不足。不足：（1）只適用于振動頻率較低的晶體，而不適應(yīng)于包含有較高振動頻率的化合物（彈性質(zhì)、連續(xù)介質(zhì)低頻、長波長、高頻下（波長可短至原子間距數(shù)量級）量子效應(yīng)體現(xiàn)出來不能把晶體作為連續(xù)體處理，g(v)的求法不適用，即Debye的宏觀近似不成立）。（2）D按其定義應(yīng)與T無關(guān)，但實驗表明vD同T有關(guān)。（3）Debye定律（低溫下CVT3）只在D范圍內(nèi)適

20、用。Debye模型也是較好的近似，其后還有人進行過較為精確的計算。例：Born 和Blackman 對Debye模型修正，把原子振動在低頻下看成聲頻振動方式，高頻下看成光頻振動模式，這樣更復(fù)雜（略）。§3.3一維晶格的振動第一節(jié)中我們討論了固體晶格中原子振動的量子化（基本觀念），第二節(jié)固體比熱模型中曾對晶格振動進行了近似處理或描述（例Debye模型認為晶格振動是各向同性質(zhì)介中傳播的彈性波，而Einstein模型認為晶格振動是相互獨立且具有相同頻率的諧振子），由第二節(jié)對固體比熱的計算看，上述處理都不同程度獲得成功，但也都存在局限性，亦即需對晶格振動的基本特征進行進一步認識，為簡單起見，

21、本節(jié)將對一維晶格的振動問題進行研究。一、一維單原子晶格（或布喇菲格子）的振動xnxn+2xn-1xn+1xn-2nn+2n-1n+1n-2nn+2n-1n+1n-21晶格振動譜的推導(dǎo)設(shè)由相同原子組成的一維無限長晶格，如圖示：原子質(zhì)量： m平衡原子間距（晶格常數(shù)）：a離開平衡位置距離：xi設(shè)平衡時，兩個原子間相互作用勢能為U(a),令，則產(chǎn)生相對們移后，相互作用勢能變成，則將在平衡位置附近用Tailor級數(shù)展開，得到：式中為常數(shù)，因很?。ㄎ拥那闆r），只保留到項，略去以上高次項，這叫做簡諧近似，則有恢復(fù)力為：其中為恢復(fù)力常數(shù)（即虎克常數(shù)）。（說明相鄰原子間的彈性恢復(fù)力與相對位移成正比，

22、比例常數(shù)為。）則第n個原子受第n+1和第n-1個原子的作用力分別為：若只考慮相鄰原子的相互作用，則第n個原子所受總的作用力為：則第n個原子的運動方程可寫成：或 對于每個原子都有一類形式如上式類似的運動方程，即方程的個數(shù)與原子個數(shù)相同，故上式實際代表N個方程組成的齊次線性方程組。設(shè)上述方程有前進波形式的解：式中表示第n個原子振動的位相因子，不難發(fā)現(xiàn)第n和第n個原子的位相因子之差，為的整數(shù)倍，即時，可見在這種條件下第n個原子與第n個原子具有相同的位相。進而可看出，晶格中各個原子的振動存在固定的位相關(guān)系（原子振動相互作用，相互聯(lián)系）。這時可認為晶格中存在著角頻率為的平面波，這種波稱為格波（因為是簡諧

23、近似 亦稱簡諧平面波）。格波的波長為：。令表示沿格波傳播方向的單位基矢，則即為格波的波矢，格波的波速（相速）為。 格波：晶格中各原子在其平衡位置附近的振動，以前進波的形式在晶體中傳播，這種波稱為格波。 平面波：波前或波陣面為平面。 波速：波的傳播速度 色散關(guān)系：某種物理量按頻率高低順序展開，稱為色散關(guān)系。例等。將的解形式代入運動方程中得到：最大最小q這種q與的關(guān)系稱為一維單原子晶格（或布喇菲格子）中格波的色散關(guān)系，或稱振動頻譜，如圖所示。2振動頻率的解析與討論（a為晶胞參數(shù)）圖中，可以發(fā)現(xiàn)在內(nèi)，由變化，當時，可產(chǎn)生周期性重復(fù)。為使得為q的單值函數(shù)，將q限制在的范圍內(nèi)。q的這一取值范圍稱為布里淵

24、區(qū)(Brillious)，其中表示與某個方向前進的波相對應(yīng)。則表示與之相反方向前進的波相對應(yīng)。下面對色散關(guān)系進行解析（結(jié)果的討論）：（1）當很小，即長波的條件下，則波速（相速），是一個常數(shù)，在這種情況下晶格可看成連續(xù)介質(zhì)（Debye模型中的情況）。（2）當很大時，即短波情況，由色散關(guān)系得到：可見這時波速（即波的傳播速度）與q有關(guān)，即波速是波長的函數(shù)，這說明晶格中格波不能被認為連續(xù)介質(zhì)的彈性波。綜合（1）、（2）不難理解：Einstein模型假設(shè)過于簡單，而Debye模型中處理只在一定條件下適用。（只符合一定條件下晶格中原子振動基本特征）。3晶格的振動方式數(shù)的確定（周期性邊界條件利用：）設(shè)想一個

25、由N個原子組成的線晶格，在其兩端還有無窮多個相同的線晶格與之相聯(lián)結(jié)而形成無限長線晶格，根據(jù)晶格周期性條件，各段內(nèi)相對應(yīng)原子運動狀態(tài)應(yīng)一樣。即有第一個原子與第N+1個原子振動情況相同（有限長晶格）。（玻恩一卡門條件(Born-Karman)）由于原子間相互作用是短程的，故在原有的線晶格兩端接上許多相同的線晶格而成無限長線晶格后，只有在其二端邊界上的極少數(shù)原子運動受到影響，而內(nèi)部絕大多數(shù)原子則并不受影響?？山撇捎们懊娴牡慕庑问絹硖幚碛邢揲L晶格問題，則將代入得到： （h為整數(shù)）根據(jù)：，故h可能取的數(shù)值為共有N個不同的h值，則也只能取N個不同的值。由于每個q與一個獨立的振動方式相對應(yīng)。則線晶格的獨立

26、振動方式數(shù)為其原子數(shù)N。注意：（1）線晶格中每個原子的振動自由度為1，可以說，晶格的獨立振動方式數(shù)等于晶體的自由度數(shù)。（2）這一結(jié)論可推廣到三維原子晶體，自由度=獨立振動方式數(shù)=3N，這同第一節(jié)中給出結(jié)論是相同的。（N個原子組成的體系與3N個獨立諧振子等效）上述（1）中色散關(guān)系的處理采用了經(jīng)典牛頓力學，目的在于簡明易理解，也可采用分析力學方法，引入簡正坐標，過度到量子理論中處理，但較復(fù)雜，（所學量子力學基礎(chǔ)不足用），故采用第一種方法（第二種方法略）。二、一維雙原子晶格（復(fù)式格子）的振動1一維雙原子晶格振動的振動頻諧為簡單起見，考慮由二種不同原子組成的一維復(fù)式格子，如圖示：Mm2a設(shè)原子質(zhì)量分別

27、為M、m，同種原子間距（晶胞常數(shù)）為2a，（M>m）按照與前面相同的處理方法，有：設(shè)運動方程組的試探解為：將上述試探解代入運動方程組，得到：經(jīng)整理得到（A、B為未知數(shù)的齊次線性方程）：若要A、B有不全為零的解（即有解），則其系數(shù)行列式需等于0。2振動頻率的解析和討論（一維復(fù)式格子的振動特點）（1）由前面所導(dǎo)出的和間色散關(guān)系來看，對于一維雙原子晶格存在二種獨立的格波，這與已討論的一維單原子晶格不同，二種格波各有自己的色散關(guān)系：根據(jù)同樣原因，為確保函數(shù)關(guān)系的單值性，對取值進行限制。， （注意為一維復(fù)式格子的晶體常數(shù)）q+-則得到如圖示和的關(guān)系：聲學支（即）：光學支（即），可見，故恒大于（光學

28、支>聲學支），實際上光學支因需用光來激發(fā)而得名，聲學支用聲頻激發(fā)而得名。（2）光學支與聲學支中相鄰原子振幅比由運動方程得到： ，可得出：（光學支），（聲學支）由 光學支：聲學支：即可推出，由可得到同樣結(jié)論。光學支表明：對光學支而言，相鄰原子振動方向相反，代表2個原子的相對振動，如果所研究晶體為離子晶體，則正、負離子的相反方向的相對運動，必然顯著影響電偶極矩，這對晶體光學性質(zhì)有較大影響。例如離子晶體的紅外吸收和輻射（實際上現(xiàn)有大多數(shù)紅外輻射材料均有氧化物，由其氈性來看可歸于占很大比重的離子鍵或很強的極性其價鍵），在對這些氧化物體系紅外輻射與吸收本質(zhì)起源的分析中都歸于與晶格振動的光學支相聯(lián)系

29、。聲學支則表明，對聲學支而言，相鄰原子振動方向相同，光學支與聲學支的振動特點見右示圖。（3）光學支與聲學支的振動方式數(shù)同樣按照Bcrn-Karman周期性邊界條件，可求得一維復(fù)式格子中的q也只有N個不同值（過程略）。但對一維復(fù)格子而言，根據(jù)其色散關(guān)系，一個q與和相對應(yīng)，故對一維復(fù)格子而言，有2N個，而與格波相對應(yīng)，故格波數(shù)為2N，其中光學支振動方式數(shù)和聲學支振支方式數(shù)各為N。在此作比較和類推（有限長線晶格）：一維布氏格子（N個原子）N個原胞N個自由度N個振動頻率（方式）數(shù)N個振動波矢數(shù)一維復(fù)式格子（2N個原子）N個原胞（2原子/原胞）2N個自由度2N個振動頻率方式N個振動波矢數(shù)晶格振動波矢數(shù)（q）=晶體原胞數(shù)晶體振動頻率數(shù)目（或獨立振動方式數(shù)目）=晶體