橢圓例題分類匯總

1、例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況例2已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即滿足條件的或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)榕c9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上，也可能在軸上故必須進(jìn)行討論例3 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件

2、的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓例4 已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點(diǎn)在軸上，知， (3)求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件例5 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等

3、于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例1 已知橢圓，、為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)，使到左準(zhǔn)線的距離是與的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得，左準(zhǔn)線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或另一方面則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)不存在例2已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，

4、不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故例1橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上故所以說明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理事實(shí)上，如圖，即是到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)，使到的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值例2已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的

5、距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的距離，即到左準(zhǔn)線的距離為解法二：，為到右準(zhǔn)線的距離，又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生誤解橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義例3已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(1)求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)

6、函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為到右準(zhǔn)線距離為此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)說明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧用焦點(diǎn)半

7、徑與點(diǎn)準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)問題的重要手段例1求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時(shí)，說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程例2 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題解：(1)(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為

8、12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡(jiǎn)便例3橢圓與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍分析：、為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，即，解得或，（舍去），又，又，說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使如何證明？例1已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程解：（1）把

9、直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得 ：解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長(zhǎng)問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程例2已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解因?yàn)?，所以因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸

10、上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出點(diǎn)差法的應(yīng)用例1已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率

11、問題例2已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”有

12、關(guān)二次曲線問題也適用例3已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得：

13、， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例4已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式

14、相減得，即又直線，即。又點(diǎn)在直線上，。由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式例5已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直