第四章-電力系統(tǒng)潮流計算

1、 電力系統(tǒng)潮流計算是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析與控制的基礎(chǔ)，同時也是安全性分析、穩(wěn)定性分析電磁暫態(tài)分析的基礎(chǔ)（穩(wěn)定性分析和電磁暫態(tài)分析需要首先計算初始狀態(tài)，而初始狀態(tài)需要進行潮流計算）。其根本任務(wù)是根據(jù)給定的運行參數(shù)，例如節(jié)點的注入功率，計算電網(wǎng)各個節(jié)點的電壓、相角以及各個支路的有功功率和無功功率的分布及損耗。潮流計算的本質(zhì)是求解節(jié)點功率方程，系統(tǒng)的節(jié)點功率方程是節(jié)點電壓方程乘以節(jié)點電壓構(gòu)成的。要想計算各個支路的功率潮流，首先根據(jù)節(jié)點的注入功率計算節(jié)點電壓，即求解節(jié)點功率方程。節(jié)點功率方程是一組高維的非線性代數(shù)方程，需要借助數(shù)字迭代的計算方法來完成。簡單輻射型網(wǎng)絡(luò)和環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的潮流估算是以單支路的潮流

2、計算為基礎(chǔ)的。本章主要介紹電力系統(tǒng)的節(jié)點功率方程的形成，潮流計算的數(shù)值計算方法，包括高斯迭代法、牛頓拉夫遜法以及PQ解藕法等。介紹單電源輻射型網(wǎng)絡(luò)和雙端電源環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的潮流估算方法。4-1 潮流計算方程-節(jié)點功率方程1. 支路潮流所謂潮流計算就是計算電力系統(tǒng)的功率在各個支路的分布、各個支路的功率損耗以及各個節(jié)點的電壓和各個支路的電壓損耗。由于電力系統(tǒng)可以用等值電路來模擬，從本質(zhì)上說，電力系統(tǒng)的潮流計算首先是根據(jù)各個節(jié)點的注入功率求解電力系統(tǒng)各個節(jié)點的電壓，當(dāng)各個節(jié)點的電壓相量已知時，就很容易計算出各個支路的功率損耗和功率分布。假設(shè)支路的兩個節(jié)點分別為和，支路導(dǎo)納為，兩個節(jié)點的電壓已知，分別為和，

3、如圖4-1所示。圖4-1 支路功率及其分布那么從節(jié)點流向節(jié)點的復(fù)功率為（變量上面的“”表示復(fù)共扼）：(4-1)從節(jié)點流向節(jié)點的復(fù)功率為：(4-2)功率損耗為：(4-3) 因此，潮流計算的第一步是求解節(jié)點的電壓和相位，根據(jù)電路理論，可以采用節(jié)點導(dǎo)納方程求解各個節(jié)點的電壓。2. 節(jié)點功率方程 根據(jù)電路理論，要想求系統(tǒng)各個節(jié)點的電壓，需要利用系統(tǒng)的節(jié)點導(dǎo)納方程。圖4-2 電網(wǎng)絡(luò)示意圖如圖4-2所示的電網(wǎng)絡(luò)，有N個節(jié)點，假如已知各個節(jié)點的注入電流源的電流，以及各個支路的支路導(dǎo)納，那么可以根據(jù)節(jié)點導(dǎo)納方程求出電網(wǎng)各個節(jié)點的電壓： (4-4)其中為電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣，（）為自導(dǎo)納，是與k節(jié)點所有連接支路

4、導(dǎo)納之和，（）為互導(dǎo)納，等于負(fù)的連接和節(jié)點的所有支路導(dǎo)納之和。為各個節(jié)點的電壓相量，為注入到各個節(jié)點的總電流。2.1 節(jié)點復(fù)功率方程 要想計算各個節(jié)點電壓，除了需要知道系統(tǒng)參數(shù)及節(jié)點導(dǎo)納矩陣以外，還需要知道節(jié)點的注入電流源的電流。然而電力系統(tǒng)中，節(jié)點的注入電流是不知道的，已知的是各個節(jié)點的注入功率。這就需要將節(jié)點電壓方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點功率方程。方程4-4中第（）個節(jié)點的方程可以寫作：(4-5)在方程4-5兩端乘以，得到：(4-6)假如在電力系統(tǒng)中，各個節(jié)點的注入復(fù)功率都已知，那么就可以用方程4-6組成的方程組求解各個節(jié)點的電壓。然而實際情況并非如此，已知的條件是：有的節(jié)點的注入復(fù)功率S是已知的，有

5、的節(jié)點的電壓幅值和注入有功功率是已知的，有的節(jié)點的電壓和相角是已知的。根據(jù)這三種不同的情況，電力系統(tǒng)中各個節(jié)點分為三種類型：PQ節(jié)點、PV節(jié)點和V節(jié)點。所謂PQ節(jié)點，就是該節(jié)點的注入復(fù)功率S是已知的，這樣的節(jié)點一般為中間節(jié)點或者是負(fù)荷節(jié)點。PV節(jié)點，指該節(jié)點已知的條件是注入節(jié)點的有功功率P和該節(jié)點的電壓幅值V，這樣的節(jié)點通常是發(fā)電機節(jié)點。V節(jié)點指的是該節(jié)點的電壓幅值和相角是已知的，這樣的節(jié)點通常是平衡節(jié)點，在每個局部電網(wǎng)中只有一個這樣的節(jié)點。當(dāng)然，PQ節(jié)點和PV節(jié)點在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化，例如，當(dāng)發(fā)電機節(jié)點無法維持該節(jié)點電壓時，發(fā)電機運行于功率極限時，發(fā)電機節(jié)點的有功和無功變成了已知量，而

6、電壓幅值則未知，此時，該節(jié)點由PV節(jié)點轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點。再比如某個負(fù)荷節(jié)點，運行要求電壓不能越限，當(dāng)該節(jié)點的電壓幅值處于極限位置，或者電力系統(tǒng)調(diào)壓要求該節(jié)點的電壓恒定，此時該負(fù)荷節(jié)點就由PQ節(jié)點轉(zhuǎn)化為PV節(jié)點。假如全系統(tǒng)有N個節(jié)點，其中有M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點，每個節(jié)點有四個參數(shù)：電壓幅值、相位角（用極坐標(biāo)表示電壓，如果用直角坐標(biāo)表示電壓相量則是和）注入有功功率和無功功率，任何一個節(jié)點的四個參數(shù)中總有兩個是已知的，因此N個節(jié)點，有2N個未知變量，N個復(fù)數(shù)方程（即2N個實數(shù)方程，實部和虛部各一個），通過解這個復(fù)數(shù)方程就可得到另外2N個參數(shù)。這就是潮流計算的本質(zhì)。但在實際求

7、解過程中，由于我們求解的對象是電壓，因此，實際上不需要2N個功率方程，對于M個PQ節(jié)點，有2M個功率方程（M個實部有功功率方程，M個虛部無功功率方程）；對于N-M-1個PV節(jié)點，由于電壓有效值V已知，因此只有N-M-1個有功功率方程；對于平衡節(jié)點，由于電壓和相角已知，不需要功率方程。因此總計有2M+N-M-1=N+M-1個功率方程。如果電壓相量用極坐標(biāo)表示，即，則M個PQ節(jié)點有2M個未知數(shù)（M個電壓有效值，M個電壓相角），N-M-1個PV節(jié)點有N-M-1個未知數(shù)（電壓有效值已知，未知數(shù)為電壓相角），平衡節(jié)點沒有未知數(shù)，因此未知數(shù)的個數(shù)也是N+M-1個，與方程數(shù)一致。如果復(fù)電壓用直角坐標(biāo)表示，則

8、有2(N-1)個未知數(shù)，還需要增加N-M-1個電壓方程，即。2.2用直角坐標(biāo)表示的電力系統(tǒng)節(jié)點功率方程對于PQ節(jié)點，已知的是注入節(jié)點的功率P和Q，將和帶入節(jié)點功率方程的復(fù)數(shù)表示式中，可以得到有功功率和無功功率兩個方程：(4-7)上式中和為注入到節(jié)點k的凈功率，即注入和消耗的代數(shù)和。、表示注入的功率，和為消耗的功率。對于PV節(jié)點，除了有功功率方程外，因為已知該節(jié)點的電壓幅值，還有一個電壓方程： （4-8）方程4-7可以抽象的表示為：(4-9)方程4-8可以抽象的表示為(4-10)因此，對于一個具有N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，其中M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點，有方程如下： （4-11）

9、N個節(jié)點，平衡節(jié)點的電壓幅值和相角已知，即其橫分量和縱分量已知，因此平衡節(jié)點不參與計算。N-1個節(jié)點的電壓的橫分量和縱分量為未知數(shù)，共2N-2個未知數(shù)。2M個PQ節(jié)點方程，2(N-M-1)個PV節(jié)點方程，共計2N-2個方程。解這個方程組，就可以得到電力系統(tǒng)N個節(jié)點的電壓相量，根據(jù)各個節(jié)點的電壓相量和已知的注入功率，就可以計算出各個支路的潮流分布，及各個支路的功率損耗。2.3 極坐標(biāo)表示的節(jié)點功率方程對于PQ節(jié)點，已知的是注入節(jié)點的功率P和Q，將和帶入節(jié)點功率方程的復(fù)數(shù)表示式中，可以得到實部和虛部兩個方程：(4-12)上式中，代表電壓幅值，。對于PV節(jié)點，由于節(jié)點的電壓幅值已知，因此只有有功功率

10、方程而沒有無功功率方程。同樣，方程4-12可以抽象的表示為：(4-13a)(4-13b)因此，對于一個具有N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，其中M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點，有方程如下：(4-14)除了平衡節(jié)點外，N-1個節(jié)點中，有M個PQ節(jié)點的電壓幅值和相角都是未知數(shù)，N-M-1個PV節(jié)點的相角為未知數(shù)，因此共有2M+N-M-1=N+M-1個未知數(shù)，2M+N-M-1=N+M-1個方程。在方程4-14中，可以把N-1個有功功率方程放在一起，M個無功功率方程放在一起：(4-15)解上述方程組，就可以得到電力系統(tǒng)中各個節(jié)點的電壓幅值和相角，進而可以計算出各個支路的潮流分布和損耗。3. 小結(jié)潮

11、流計算是計算電力網(wǎng)各個支路的功率潮流分布和功率損耗，同時也計算各個支路的電壓損耗。首先要求電力網(wǎng)各個節(jié)點的電壓相量。根據(jù)電網(wǎng)絡(luò)理論，節(jié)點電壓通常采用節(jié)點導(dǎo)納方程來求解，即已知電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣和各個節(jié)點的注入電流源的電流，求解節(jié)點導(dǎo)納方程。然而通常電力系統(tǒng)各個節(jié)點的注入電流是未知的，已知的是各個節(jié)點的注入功率，因此需要將節(jié)點電壓方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點功率方程。實際電力系統(tǒng)的節(jié)點注入功率并非都已知，有的已知注入有功功率P和無功功率Q稱為PQ節(jié)點；有的已知注入有功功率P和節(jié)點電壓有效值V，稱為PV節(jié)點；有的已知節(jié)點電壓V和相角d，稱為平衡節(jié)點或Vd節(jié)點。無論哪種類型節(jié)點，每一個節(jié)點均含有4個參量P、Q、

12、V、d（或e、f）已知的是其中的兩個，故而可以利用節(jié)點功率方程（4-6）求解出另外兩個參量。假設(shè)系統(tǒng)有N個節(jié)點，必然有2N個未知數(shù)，同樣有2N個節(jié)點功率方程（4-17中的實部和虛部各一個）。實際上，我們求解的目標(biāo)是電壓，對于PV節(jié)點和Vd節(jié)點來說，前者電壓有效值已知，后者電壓相量已知，因此不存在2N個未知數(shù)，當(dāng)然也不需要2N個方程。假設(shè)系統(tǒng)有N個節(jié)點，M個PQ節(jié)點，1個平衡節(jié)點，對于直角坐標(biāo)表示的節(jié)點電壓來說，有2(N-1)個未知數(shù)，2M+N-M-1個功率方程，只需要再補充N-M-1個電壓方程就可以了；對于極坐標(biāo)表示的電壓來說，只有N-1個d未知數(shù)，M個V的未知數(shù)，因此只需要N+M-1個功率方

13、程就足夠了。無論怎樣，潮流計算是解決這樣的一組非線性代數(shù)方程組：(4-16)其中，代表系統(tǒng)狀態(tài)，包括電壓V和相角d；C代表參數(shù)，包括電導(dǎo)G和電納B；U表示系統(tǒng)激勵，即注入的功率。求解這樣的多維非線性代數(shù)方程組，需要利用計算機進行輔助迭代計算，即先給定一個初值，然后不斷迭代，逼近真實解。方法有：高斯-賽德爾迭代法，牛頓-拉夫遜法和PQ解耦法。4-2 高斯賽德爾疊代法1基本原理為了方便理解這個n維方程組的疊代求解方法，先從一元非線性方程的求解開始。假設(shè)有一維方程，高斯法的基本原理是，先將方程轉(zhuǎn)化為： （4-17）那么給定一個初值，代入就可以得到一個新值，第k次疊代的值為： （4-18）一直疊代到誤

14、差滿足要求為止，即 （4-19）其中為事先設(shè)定的允許誤差。其計算流程如圖4-3所示。圖4-3 高斯迭代法的計算流程這個解方程的方法稱為高斯疊代法。這個疊代求解的過程可以這樣來理解：的解可以認(rèn)為是兩個曲線和的交點的橫坐標(biāo)，首先給定一個初值，與斜線的交點的橫坐標(biāo)即為疊代后的新解，與斜線的交點的橫坐標(biāo)即為疊代后的新解，如此圍繞交點往復(fù)循環(huán)，不斷地逼近方程的解，如圖4-4所示。圖4-4 高斯迭代法的幾何解釋高斯迭代法可以推廣到n維非線性代數(shù)方程組，假設(shè)n為方程組為： （4-20）首先將方程組4-20轉(zhuǎn)化為： （4-21）給定一組初始值，帶入上式，得到一組新值，不斷疊代，循環(huán)往復(fù)，第k次疊代為： （4-

15、22）其中第j個方程為 （4-23）直到疊代前后的解的最大誤差不超過允許的誤差為止，即 （4-24）為了提高高斯疊代法的收斂速度，賽德爾提出將已經(jīng)疊代出的新值代替舊值參與疊代計算，如在第k次疊代中，第j個方程為 （4-25）第1至j-1個元素已經(jīng)疊代出k+1次的值，因此代替第k次的值參與第j個元素的疊代，就可以提高收斂速度。2. 電力系統(tǒng)潮流計算的高斯賽德爾迭代法電力系統(tǒng)潮流計算需要求解節(jié)點功率方程，其中第m（m=1,2,N）個節(jié)點功率方程為： (4-26)如上式變換為的形式，可以得到如下的方程： （4-27）根據(jù)高斯賽德爾迭代法，首先給定電壓相量的初值，對于PQ節(jié)點，不僅需要給定電壓幅值的初

16、值，還要給出相角的初值（設(shè)為零）。假如第m號節(jié)點為PQ節(jié)點，第k次疊代公式為（第m個節(jié)點以前的節(jié)點第k次疊代已經(jīng)完畢，因此用k+1次的值取代k次的值，而在第m個節(jié)點以后的節(jié)點尚未進行第k次疊代）：（4-28）對于PV節(jié)點，給定的初值的電壓幅值為給定的電壓，相角初值設(shè)為零。可是對于PV節(jié)點來說，注入該節(jié)點的無功功率未知，因此第k次疊代時，首先按照下式計算注入PV節(jié)點（假設(shè)第m個節(jié)點是PV節(jié)點）的無功功率：（4-29）如果在疊代計算過程中，任意節(jié)點的電壓和無功功率必須滿足不等約束條件：如果在疊代過程中，PQ節(jié)點的電壓幅值超出允許的范圍，則該節(jié)點的電壓幅值就固定為允許電壓的上限（如果超出上限）或下限

17、（如果越過下限），PQ節(jié)點就變?yōu)镻V節(jié)點繼續(xù)進行疊代。同樣，對于PV節(jié)點來說，如果在疊代過程中，無功功率Q超出了允許的范圍，則PV節(jié)點就變?yōu)镻Q節(jié)點繼續(xù)參與疊代。高斯賽德爾疊代法的計算過程如下：（1）第一步：設(shè)置初始值，對于PQ節(jié)點，由于其電壓相量的幅值和相角都未知，因此初始的電壓相量的幅值可以設(shè)定為各個點的額定電壓，相角選擇為零；對于PV節(jié)點，由于其電壓相量的幅值已知，因此幅值用已知的設(shè)定電壓，初始相角設(shè)定為零。（2）第二步：對于PQ節(jié)點，直接將設(shè)定的初始值代入，用4-28求得下一次迭代的電壓值，然后判斷是否電壓越限，如果越限，則用其限值（越過上限用上限值，越過下限則用下限值），該節(jié)點在下一

18、次迭代過程中轉(zhuǎn)化為PV節(jié)點；對于PV節(jié)點，則首先利用式4-29求出注入的無功功率，然后校驗無功功率是否越限，如果越限則采用上限值或者下限值，下一次迭代時該節(jié)點轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點，將求得的注入無功功率和已知的有功功率代入4-28求解下一次迭代的電壓相量值。（3）第三步：判斷誤差是否滿足要求，用第k次迭代的結(jié)果和k-1次迭代的結(jié)果進行比較，如果其最大的誤差滿足事先設(shè)定的誤差要求，則輸出計算結(jié)果，如果不滿足要求，則返回第二步繼續(xù)迭代。其計算流程圖如圖4-5所示。圖4-5 高斯賽德爾迭代法求解電力系統(tǒng)潮流的計算流程圖4-3 牛頓拉夫遜法1. 牛頓拉夫遜法的基本原理先考慮一個一元非線性方程的求解問題，假設(shè)是

19、該方程的近似解，與真實解之間的誤差為，那么有： （4-30）將之展開成一階泰勒級數(shù)： （4-31）可以計算出近似解與真實解之間的誤差近似為： （4-32）因此，可以得到這個一元非線性方程的求解步驟為：首先給定解的初值，然后根據(jù)公式4-32求出初始值的修正值，由此可以得到該方程的新的解，如此反復(fù)疊代，直到誤差滿足要求。迭代計算流程如圖4-6所示。圖4-6 牛頓拉夫遜法計算流程其迭代求解過程的幾何意義如圖4-7所示。圖4-7 牛頓拉夫遜法的幾何解釋可以把上述求解一元非線性代數(shù)方程的方法推廣到n維非線性代數(shù)方程（如4-20）的求解。非線性代數(shù)方程組4-20可以表示為矩陣形式： （4-33）同樣假定是

20、該方程組的近似解，與真實解之間的誤差為，在處展開一階泰勒級數(shù)： （4-34）其中： （4-35）被稱為雅克比矩陣。4-34稱為修正方程，修正方程可得到修正值： （4-36）計算過程與一維方程的牛頓法求解類似，首先給定初值，并計算出在初始值處的雅克比矩陣，利用4-36式計算初始值的修正值，根據(jù)這個差值可以得到修正后的解。如此循環(huán)往復(fù)，在第k次疊代時，計算雅克比矩陣，根據(jù)4-34計算修正值，得到第k+1次修正后的解：，重復(fù)上述過程，直到誤差滿足要求為止?？梢姡ｎD拉夫遜法的關(guān)鍵在于求解雅克比矩陣J，由于直角坐標(biāo)表示和極坐標(biāo)表示電壓相量的節(jié)點功率方程有所不同，因此其雅克比矩陣也有很大的差異。2.直角

21、坐標(biāo)節(jié)點功率方程的牛頓拉夫遜法仍然假設(shè)系統(tǒng)有N個節(jié)點，其中M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點。則M個PQ節(jié)點方程為（假設(shè)1號節(jié)點至M號節(jié)點為PQ節(jié)點）： （4-37）。N-M-1個PV節(jié)點的方程為（假設(shè)第M+1號節(jié)點至第N-1號節(jié)點為PV節(jié)點）： （4-38）。其中，只代表一個函數(shù)，并非代表電壓差；和為注入到節(jié)點k的凈功率，即注入到該節(jié)點的發(fā)電功率減去該節(jié)點的負(fù)荷功率。PQ節(jié)點的方程是有功功率和無功功率方程，PV節(jié)點方程有功功率方程和電壓方程，平衡節(jié)點為參考節(jié)點，電壓已知，沒有方程，但其電壓參與節(jié)點功率方程中計算。未知變量是除了平衡節(jié)點外的各個節(jié)點的電壓相量的橫分量和縱分量，共有

22、2(N-1)個未知數(shù)，2(N-1)個方程。其修正方程為： （4-39）其中： （） （） （） （） （） （）基于直角坐標(biāo)的牛頓拉夫遜法求解潮流計算的步驟如下：（1）第一步：設(shè)定初值，對于PQ節(jié)點，其電壓幅值的初值設(shè)定為該點的額定電壓，而相角設(shè)定為零，因此，電壓實部設(shè)定為額定電壓，而虛部設(shè)定為零。對于PV節(jié)點，電壓幅值已知，因此該節(jié)點的電壓相量實部設(shè)定為已知的電壓幅值，虛部也設(shè)定為零。（2）第二步：求出PQ節(jié)點有功功率和無功功率增量、（公式4-37），以及PV節(jié)點的有功功率和電壓幅值的增量和（公式4-38），同時求出雅克比矩陣。（3）第三步：求解修正方程4-39，得到電壓的實部和虛部的修正值

23、和。并根據(jù)修正值修正設(shè)定的電壓初始值。（4）第四步：判斷誤差是否滿足要求，如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則就令，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。3.極坐標(biāo)節(jié)點功率方程的牛頓拉夫遜法仍然假設(shè)系統(tǒng)有N個節(jié)點，其中M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點。則M個PQ節(jié)點方程為（假設(shè)第1號節(jié)點至第M號節(jié)點為PQ節(jié)點）：（4-40）N-M-1個PV節(jié)點只包含有功功率方程（假設(shè)第M+1號節(jié)點至N-1號節(jié)點為PV節(jié)點）： （4-41）其中和為注入到節(jié)點k的凈功率，即注入到該節(jié)點的發(fā)電功率減去該節(jié)點負(fù)荷功率。PQ節(jié)點既有有功功率方程，也有無功功率方程，未知數(shù)為電壓幅值和相角；而PV節(jié)點則只有有功功率方程，未知數(shù)

24、只有電壓的相角。因此，極坐標(biāo)下的節(jié)點功率方程共有2M+(N-1-M)=N+M-1個未知數(shù)和方程。把上述方程調(diào)整一下順序：把N-1個有功功率方程放在一起，M個無功功率方程放在一起，方程可以寫作： （4-42），。其修正方程為： （4-43）上式中，為了使得雅克比矩陣的各個元素具相似性，并為PQ解藕法作鋪墊，將雅克比矩陣中對電壓的偏導(dǎo)元素乘上電壓值，后面電壓增量上除上電壓值，根據(jù)矩陣的知識不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過上述處理后修正方程沒有發(fā)生什么變化。將上面的修正方程中的矩陣分為兩部分： （4-44），并非是矩陣相除；分塊矩陣為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣。上述分塊矩陣的元素分別表示如下： （） ()

25、() ()基于極坐標(biāo)下的牛頓拉夫遜法的潮流計算過程如下：（1）第一步：設(shè)定初值，對于PQ節(jié)點，其電壓幅值的初值設(shè)定為該點的額定電壓，而相角設(shè)定為零；對于PV節(jié)點，電壓幅值已知，因此只設(shè)定相角的初值，設(shè)定為零。（2）第二步：求出PQ節(jié)點有功功率和無功功率增量、(參見式4-40)，以及PV節(jié)點的有功功率和電壓幅值的增量(參見式4-40)，同時求出雅克比矩陣。（3）第三步：求解修正方程4-43，得到電壓幅值和相角的修正量和。并根據(jù)修正值修正設(shè)定的電壓初始值。（4）第四步：判斷誤差是否滿足要求，即、。如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則就令，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。4-4 PQ解藕法通過上面的分析和論述，可

26、以發(fā)現(xiàn)，牛頓拉夫遜法的收斂速度很快，但計算量很大，因為每一次迭代都必須重新計算雅克比矩陣，并求解修正方程。因此，為了減少計算量，根據(jù)基于極坐標(biāo)的牛頓拉夫遜法的特點，建立了PQ解藕法的潮流計算方法。首先，我們來觀察一下基于極坐標(biāo)下的牛頓拉夫遜法潮流計算過程中的電壓修正方程中的雅克比矩陣的情況。根據(jù)電力系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運行時的實際情況，可知，因此，我們可以近似的認(rèn)為：；這就是說，各個節(jié)點電壓相角的變化主要與注入凈有功功率的變化有關(guān)，各個節(jié)點電壓幅值的變化主要與注入的凈無功功率的變化有關(guān)：；，將這兩個修正方程可以表示為：（4-45）上面的方程可以進一步表示為： （4-46）可以簡單的表示為： （4-47）

27、其中，矩陣為全系統(tǒng)除了平衡節(jié)點以外的節(jié)點電納矩陣。注：和表示不是很嚴(yán)謹(jǐn)，它們僅代表由和組成的列向量。同理可得： （4-48）其中，矩陣為所有PQ節(jié)點以外的節(jié)點電納矩陣。注：僅代表由組成的列向量。這樣，我們在求解修正方程449和450的時候，只需要提前將節(jié)點電納矩陣和利用高斯消去法變換成上（或下）三角矩陣，并記錄變換過程就可以了。與牛頓拉夫遜法相比，每一步的迭代過程都大大減少了工作量。PQ解藕法的潮流計算步驟如下：（1）準(zhǔn)備工作，形成全系統(tǒng)（平衡節(jié)點除外）的節(jié)點電納矩陣，以及其子矩陣全部PQ節(jié)點的節(jié)點電納矩陣，然后利用高斯消去法形成上（或者下）三角矩陣并記錄變換過程。（2）賦初值和；將全系統(tǒng)的P

28、Q節(jié)點的電壓V設(shè)置為額定電壓，全系統(tǒng)的節(jié)點的相角（平衡節(jié)點除外）設(shè)置為0。令迭代次數(shù)k=0。（3）根據(jù)設(shè)置的電壓和相角值計算以及，并根據(jù)節(jié)點導(dǎo)納矩陣的上/下三角矩陣求解修正方程4-47和4-48，得到和。并根據(jù)修正值修正設(shè)定的電壓初始值。（4）判斷誤差是否滿足要求，即、。如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則就令，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。PQ解藕法簡化了每一步的迭代的計算量，每一步的迭代出的修正值與牛頓拉夫遜法的修正值相比誤差要大，因此，PQ解藕法雖然每一步的迭代計算量減少了，但換來的代價是增加了迭代次數(shù)。但其最終的計算精確度是不受影響的，因為計算的精度取決于最終的誤差要求和，如果誤差要求和牛頓拉夫遜

29、法是一樣的，那么PQ解藕法最終的計算結(jié)果和牛頓拉夫遜法的計算結(jié)果的精度就是一樣的。4-5 潮流計算的手工估算方法大約半個多世紀(jì)以前，數(shù)字計算機還沒有出現(xiàn)的時候，潮流計算都是采用手工的計算方法。雖然潮流計算的本質(zhì)是解電力系統(tǒng)的節(jié)點功率方程，然而手工的計算方法是不可能用解上述節(jié)點功率方程的方法來進行潮流計算的。手工潮流計算是根據(jù)一個簡單支路的電壓和功率傳輸關(guān)系，將較為復(fù)雜的電力系統(tǒng)分解為若干個簡單支路來進行潮流計算的。因此任何復(fù)雜的潮流計算都是從一個簡單支路的潮流分布和電壓降落的計算開始的。對于環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，首先將其解開為雙端電源網(wǎng)絡(luò)，然后雙端電源從功率分點解開，成為兩個輻射網(wǎng)絡(luò)，進行近似的潮流估算。

30、1. 簡單支路的潮流分布和電壓降落如圖4-8所示的簡單支路，節(jié)點1和2之間的阻抗為已知；兩端的電壓分別為和，從節(jié)點1注入該支路的復(fù)功率為，從節(jié)點2流出的功率為，阻抗消耗的功率為。根據(jù)電路理論，、和、這四個變量，任何兩個變量已知都可以求出另外兩個變量。圖4-8簡單支路示意圖1.1已知一側(cè)的電壓和功率求另一側(cè)的電壓和功率假設(shè)已知節(jié)點2的電壓和流出的功率，可知道流過該支路的電流為： （4-49）如果以作為參考相量，阻抗Z引起的電壓降落和功率損耗分別為： （4-50） （4-51）因此另一端節(jié)點1的電壓為： （4-52）流過節(jié)點1的復(fù)功率為： （4-53）兩端電壓的關(guān)系還可以從如圖4-9所示的相量圖中

31、得到（以為參考相量），為末端電壓和電流的夾角，稱為功率因數(shù)角。從相量圖中，不難得到阻抗Z引起的電壓降落的橫分量和縱分量分別為： （4-54a） （4-54b）可得到首端的電壓幅值和相角分別為： （4-55） （4-56）如果已知首端（節(jié)點1）的電壓和功率，求末端的電壓和功率，其基本原理同上，讀者可以自行推導(dǎo)分析。jdjjj圖4-9 兩端電壓相量示意圖1.2 已知一端的電壓和流過另一端的復(fù)功率假如已知首端電壓和末端的功率，要求首端的功率和末端的電壓，我們可以利用兩端電壓的關(guān)系以及兩端功率的關(guān)系列出如下方程組（以為參考相量）： （4-57） （4-58）直接求解上面這個相量方程組是很麻煩的，可以通

32、過迭代法來求解：先給定一個末端電壓的初值，這個初值可以設(shè)定為該節(jié)點的平均額定電壓，然后將之代入4-57，得到，然后再利用根據(jù)4-58得到，重復(fù)上面的過程，直到誤差滿足要求為止。由于潮流計算通常是在電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行條件下，此時節(jié)點電壓與平均額定電壓差別不大，因此，在手工近似計算中，將上述的迭代過程只進行一次。即先設(shè)定未知的電壓為平均額定電壓，利用4-51式，根據(jù)末端的功率計算支路的功率損耗，然后利用4-53式計算出首端的功率，再利用首端的功率和首端的電壓計算系統(tǒng)的電壓損耗，最后計算出末端的電壓。2. 輻射型網(wǎng)絡(luò)的手工潮流計算方法所謂輻射型網(wǎng)絡(luò)就是單電源供電的非環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)中所有的負(fù)荷都由一個

33、電源供電，輻射型網(wǎng)絡(luò)是由若干個簡單支路樹枝狀串級聯(lián)接而成的。對于輻射型網(wǎng)絡(luò)中的接地支路可以做如下處理：（1）將對電力系統(tǒng)中的接地支路等效為該支路消耗的功率，對地支路的電壓用額定電壓來替代，例如，對地支路的導(dǎo)納為，那么這個對地支路的消耗的功率；（2）將同一節(jié)點消耗的功率進行合并。通過這樣處理，輻射型網(wǎng)絡(luò)就化減為若干簡單支路的級聯(lián)，可以利用簡單支路的潮流和電壓計算方法逐級進行潮流計算。輻射型網(wǎng)絡(luò)的手工潮流計算一般從系統(tǒng)末端開始，因為通常輻射型網(wǎng)絡(luò)的末端的負(fù)荷為已知，首先計算潮流的近似分布，然后再從電源端開始根據(jù)潮流分布計算出各個節(jié)點的電壓。因此，輻射型網(wǎng)絡(luò)的手動潮流估算僅包含三步：第一步，根據(jù)電力

34、系統(tǒng)各個元件的電機參數(shù)，建立電力系統(tǒng)的等值計算電路；然后將對地支路等效為支路消耗的功率，并將各個節(jié)點消耗的功率進行合并。第二步，首先將系統(tǒng)中各個節(jié)點的未知電壓設(shè)為系統(tǒng)平均額定電壓，然后從輻射型網(wǎng)絡(luò)的末端開始，依次計算各個支路的功率損耗，最后得到潮流在輻射型網(wǎng)絡(luò)中的近似分布。第三步，根據(jù)估算出的潮流分布，從電源端開始，根據(jù)前面簡單支路的電壓計算公式依次計算各個節(jié)點的電壓。通過一個實例來說明潮流計算的過程，如圖4-10所示的輻射型單電源的簡單電力系統(tǒng)，已知節(jié)點1（發(fā)電機節(jié)點）的電壓和各個節(jié)點的負(fù)荷、，求該系統(tǒng)的功率和電壓的分布。圖4-10 單電源輻射型電力系統(tǒng)已知電力系統(tǒng)的各個元件的參數(shù)如下所示：

35、變壓器T1：額定容量，額定變比，空載損耗，空載電流百分?jǐn)?shù)，短路損耗，短路電壓百分?jǐn)?shù)；輸電線路L：每公里長的正序阻抗，每公里長的對地電納，線路長度；變壓器T2：額定容量，額定變比，空載損耗，空載電流百分?jǐn)?shù)，短路損耗，短路電壓百分?jǐn)?shù)。第一步作出等效電路及其參數(shù)：首先做電力系統(tǒng)的等值電路，根據(jù)上述各個元件的參數(shù)，我們可以得到各個元件的等效電路及其電路參數(shù)，等效電路如圖4-11所示。在計算等值電路中各個元件參數(shù)之前，先選擇功率和電壓的基準(zhǔn)值，。變壓器T1（根據(jù)等值電路，變壓器參數(shù)都歸算到高壓側(cè)）：；輸電線路：；變壓器T2（根據(jù)等值電路，變壓器參數(shù)都歸算到高壓側(cè)）：；圖4-11 等值電路I第二步，將對地

36、支路簡化為對地功率損耗：如果電壓基準(zhǔn)值的選取與變壓器的實際變比相匹配，那么，如果不匹配，則需要將變壓器的變比的標(biāo)么值等效到電路中，把變壓器的阻抗支路，變?yōu)镻I型等效電路（參見第二章，2.3節(jié)第四部分）。為了說明問題，我們假設(shè)電壓基準(zhǔn)值選取與變壓器實際變比匹配，或者忽略非標(biāo)準(zhǔn)變比的影響。對地支路假設(shè)為對地?fù)p耗功率，其對地支路的損耗用該點的額定電壓來計算，等效電路變?yōu)槿鐖D4-12所示。圖4-12 等值電路II其中：；第三步，節(jié)點功率合并：然后，將1、2、3、4各個節(jié)點上的所有功率合并，如圖4-13所示：圖4-13 等值電路III其中：；，第四步，從末端開始，根據(jù)末端功率計算功率分布：先用各個節(jié)點的額定電壓以及流出支路的功率來計算各個支路損耗以及功率分布：；這樣，就求得了功率的分布和節(jié)點1的注