車輪為什么做成圓形

1、姓名：_主備教師：管紅芳 審核：數(shù)學教研組內(nèi)容：車輪為 什么做成圓形 課型：新授 時間年 月日教學目標(一)教學知識點1理解圓的概念2理解點與圓的位置關(guān)系(二)能力訓練要求1經(jīng)歷通過實例歸納出圓的定義的過程2會利用點到圓心的距離和圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判定點和圓的位置關(guān)系(三)情感與價值要求通過對圓的圖形的認識，使學生認識新的幾何圖形的對稱美，體會所體現(xiàn)出的完美性，培養(yǎng)學生美的感受，激發(fā)學習興趣教學重點點和圓的三種位置關(guān)系教學難點用集合的觀點研究圓的概念教學方法指導探索法教具準備自制兩個車輪模具(一個圓形，一個方形)教學過程創(chuàng)設現(xiàn)實情境，引入新課前面我們已經(jīng)學習過兩種常見的幾何圖形，三角形、四

2、邊形大家回憶一下我們是通過一些什么方法研究了它們的性質(zhì)？可以通過折疊、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等方法大家總結(jié)得很詳細，今天我們繼續(xù)運用這些方法來學習和研究小學已接觸過的另一種常見的幾何圖形圓和三角形、四邊形一樣，圓的性質(zhì)與應用同樣需要通過折疊、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等方法去學習和探究下面我們來學習第一節(jié)：車輪為什么做成圓形講授新課日常生活中同學們經(jīng)常見到的汽車、摩托車、自行車等一些交通運輸工具的車輪是什么形狀的？請同學們思考一個問題，為什么車輪要做成圓形呢？能否做成長方形或正方形？我這里有兩個車輪模具，一個是圓形，一個是正方形我們一起觀察一下這兩個車輪在行進中有些什么特點？大家討論討論如下圖：圓形車

3、輪行進時，較平穩(wěn)；方形車輪運轉(zhuǎn)不方便，顛簸較大，行走不平穩(wěn)通過我們平常乘坐汽車，或騎自行車感受到，圓形的車輪只要路面平整，車子就不會上下顛簸，人坐在車上就感到平穩(wěn)、舒服假如車輪是方形的，那么車子在行進中，就會對人產(chǎn)生一種上下顛簸，坐著不舒服的感覺下面我們一起來探討一下，是什么原因?qū)е萝囕喴龀蓤A形，不能做成方形看P83圖，A、B表示車輪邊緣上的兩點，點O表示車輪的軸心，A、O之間的距離與B、O之間的距離有什么關(guān)系？用什么方法可以判斷，大家動手做一做同學們做得很好大家通過不同的方法，得到的結(jié)果是什么？OAOB剛才是兩個特殊點，現(xiàn)在我們在車輪邊緣上任意取一點C，要使車輪能夠平穩(wěn)地滾動，C、O之間的

4、距離與A、O之間的距離應有什么關(guān)系？COAO這樣才能保證車輪平穩(wěn)地滾動同學們以前畫過圓，畫一個圓很簡單將圓規(guī)的一個腳固定，另一個帶有鉛筆頭的腳轉(zhuǎn)一圈，一個圓就畫出來了固定的那一點稱為圓心所畫得的圓圈叫圓周從畫圓的過程中可以看到，圓規(guī)兩個腳之間的長度始終保持不變，也就是說圓心到圓周上任意一點的距離都相等這是圓的一個重要而又最基本的性質(zhì)人們就是用圓的這種性質(zhì)來制造車輪的，車軸總是安裝在車輪的圓心位置上，這樣，車軸到車輪邊緣的距離處處相等也就是說，車子在行進中，車軸離路面的距離總是一樣的車子在平路上行走較平穩(wěn)，假如是方形的，車軸到路面的距離時大時小，車子就會產(chǎn)生顛簸下面我們再看一個游戲隊形一些學生正

5、在做投圈游戲，他們呈“一”字排開這樣的隊形對每個人都公平嗎？你認為他們應當排成什么樣的隊形？1排成方形的2你的說法不對，排成方形的，頂點處的同學還是吃虧，我覺得應當豎著排成一行3我覺得今天學的是圓，應當排成圓形或圓弧形較合適大家討論得很好，每個人都說出了各自的想法就這個問題，如果單純從隊形來考慮，排成圓形或圓弧形比較公平因為每個同學離要投的目標一樣遠近這樣我們就得到了圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓(circle)其中，定點稱為圓心(Centre of a circle)，定長稱為半徑(radius)的長(通常也稱為半徑)以點O為圓心的圓記作O，讀作“圓O”注意：確

6、定一個圓需要兩個要素，一是位置，二是大小圓心確定其位置，半徑確定其大小只有圓心沒有半徑，雖圓的位置固定，但大小不定，因而圓不確定；只有半徑而沒有圓心，雖圓的大小固定，但圓心的位置不定，因而圓也不確定只有圓心和半徑都固定，圓才被唯一確定鞏固練習：課本P85隨堂練習！1體育教師想利用一根3m長的繩子在操場上畫一個半徑為3m的圓，你能幫他想想辦法嗎？答：將繩子的一端A固定，然后拉緊繩子的另一端B，并繞A在地上轉(zhuǎn)一圈，B所經(jīng)過的路徑就是所希望的圓接下來我們研究點和圓的位置關(guān)系請同學們在練習本上畫一個圓，大家想一想這個圓把平面分成了幾部分？互相討論一下兩部分，圓的內(nèi)部和外部三部分，還有一部分在圓上同學們

7、討論得很好一個圓應該將平面分成三部分：圓的內(nèi)部、圓、圓的外部下面我們看書P84想一想，圖33由圖可以看出A、C在O內(nèi)，點B在O上，點D、E在O外，如果我們把這個靶看成一個以O為圓心，以r為半徑的圓，飛鏢落的位置看成點，那么我們可以發(fā)現(xiàn)點和圓的位置有三種情況：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外若設O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d當點P與圓心的距離由小于半徑變到等于半徑再變到大于半徑時，點和圓的位置關(guān)系就由圓內(nèi)變到圓上再變到圓外這說明由點和圓的位置關(guān)系可以得到d與r之間的關(guān)系，反過來，由d與r的數(shù)量關(guān)系也可以判定點和圓的位置關(guān)系注意：點與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系；反過

8、來，也可以通過這種數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系2做一做設AB3cm，作圖說明滿足下列要求的圖形(1)到點A和點B的距離都等于2cm的所有點組成的圖形(2)到點A和點B的距離都小于2cm的所有點組成的圖形提示：解決這類題的關(guān)鍵是明確用集合的觀點定義的圓、圓的內(nèi)部、外部的含義向?qū)W生滲透一種常用的數(shù)學方法交集法注意(2)的圖形不包括重疊部分的邊界可先讓學生思考：滿足條件的點分別與OA、OB有怎樣的位置關(guān)系？解：(1)到點A和點B的距離都等于2cm的點組成的圖形為A和B的交點C、D(2)到點A、B距離都小于2cm的點組成的圖形為A和B的公共部分(不包括公共部分的兩條弧)課時小結(jié)通過這節(jié)課的學習，同學們

9、談一下你有何收獲和體會我們知道了車輪為什么做成圓形以及圓的定義和確定一個圓的兩個條件我還學會了如何確定點和圓的三種位置關(guān)系課后作業(yè)課本P86，習題31，14題活動與探究已知O的半徑為10cm，圓心O至直線l的距離OD6cm，在直線l上有A、B、C三點，并且有AD10cm，BD8cm，CD6cm，分別指出點A、B、C和O的位置關(guān)系過程讓學生畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)勾股定理，分別求得OAcm，OB10cm，OCcm，再分別比較OA、OB、OC與半徑的大小即可結(jié)果A點在O外，B點在O上，C點在O內(nèi)板書設計§31 車輪為什么做成圓形一、圓的定義：圓心：半徑：圓的表示法：二、點和圓的位置關(guān)系：

10、1點在圓外，即dr2點在圓上，即dr3點在圓內(nèi)，即d<r三、做一做四、小結(jié)五、作業(yè)§321圓的對稱性姓名：_主備教師：管紅芳 審核：數(shù)學教研組 內(nèi)容：圓的對稱性 課型：新授 時間 年 月 日教學目標(一)教學知識點1圓的軸對稱性2垂徑定理及其逆定理3運用垂徑定理及其逆定理進行有關(guān)的計算和證明(二)能力訓練要求1經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法2培養(yǎng)學生獨立探索、相互合作交流的精神(三)情感與價值觀要求通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，使學生領(lǐng)會數(shù)學的嚴謹性和探索精神，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和積極參與的主動精神（四）.教學重難點：垂徑

11、定理及其逆定理垂徑定理及其逆定理的證明指導探索和自主探索相結(jié)合投影片兩張：第一張：做一做(記作§321A)第二張：想一想(記作§321B)教學過程創(chuàng)設問題情境，引入新課前面我們已探討過軸對稱圖形，哪位同學能敘述一下軸對稱圖形的定義？如果一個圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸我們是用什么方法研究了軸對稱圖形？折疊今天我們繼續(xù)用前面的方法來研究圓的對稱性講授新課同學們想一想：圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，有無數(shù)條對稱軸是嗎？你是用什么方法解

12、決上述問題的？大家互相討論一下我們可以利用折疊的方法，解決上述問題把一個圓對折以后，圓的兩半部分重合，折痕是一條過圓心的直線，由于過圓心可以作無數(shù)條直線，這樣便可知圓有無數(shù)條對稱軸板書：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線下面我們來認識一下弧、弦、直徑這些與圓有關(guān)的概念1圓?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc)2弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord)3直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑(diameter)如下圖，以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”；線段AB是O的一條弦，弧CD是O的一條直徑注意：1弧包括優(yōu)弧(major arc)和劣弧(minor arc)

13、，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧如上圖中，以A、D為端點的弧有兩條：優(yōu)弧ACD(記作)，劣弧ABD(記作)半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫半圓弧，簡稱半圓半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧2直徑是弦，但弦不一定是直徑下面我們一起來做一做：(出示投影片§321A)按下面的步驟做一做：1在一張紙上任意畫一個O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合2得到一條折痕CD3在O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足4將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，如上圖大家一起動手(教師敘述步

14、驟，師生共同操作)通過第一步，我們可以得到什么？可以知道：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的??？我發(fā)現(xiàn)了，AMBM，為什么呢？因為折痕AM與BM互相重合，A點與B點重合還可以怎么說呢？能不能利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？如下圖示，連接OA、OB得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM與OBM都是Rt，又OM為公共邊，所以兩個直角三角形全等，則AMBM又O關(guān)于直徑CD對稱，所以A點和B點關(guān)于CD對稱，當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合因此AMBM，=，=在上述操作過程中，你會得出什么結(jié)論？垂直于弦的直徑平分

15、這條弦，并且平分弦所對的弧同學們總結(jié)得很好這就是利用圓的軸對稱性得到的與圓相關(guān)的一個重要性質(zhì)垂徑定理在這里注意；條件中的“弦”可以是直徑結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弦下面，我們一起看一下定理的證明：如上圖，連結(jié)OA、OB，則OAOB在RtOAM和RtOBM中，OAOB，OMOM，RtOAMRtOBM，AMBM點A和點B關(guān)于CD對稱O關(guān)于直徑CD對稱，當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合=，=為了運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，易于記憶，可將原定理敘述為：一條直線若滿足：(1)過圓心；(2)垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧，平分弦所對的劣弧即垂徑定理的條件有

16、兩項，結(jié)論有三項用符號語言可表述為：如圖37，在O中，下面，我們通過求解例1，來熟悉垂徑定理：例1如下圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心)，其中CD600m，E為上一點，且OECD，垂足為F，EF90m，求這段彎路的半徑要求彎路的半徑，連結(jié)OC，只要求出OC的長便可以了因為已知OECD，所以CFCD300cm，OFOEEF，此時就得到了一個RtCFO，哪位同學能口述一下如何求解？連結(jié)OC，設彎路的半徑為R m，則OF(R90)m，OECD，CFCD×600300(m)據(jù)勾股定理，得OC2CF2OF2，即R23002(R90)2解這個方程，得R545這段彎路的半徑

17、為545m在上述解題過程中使用了列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問題，這種思想應在今后的解題過程中注意運用隨堂練習：P921略下面我們來想一想(出示投影片§321B)如下圖示，AB是O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M上圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？它是軸對稱圖形，其對稱軸是直徑CD所在的直線很好你是用什么方法驗證上述結(jié)論的？大家互相交流討論一下，你還有什么發(fā)現(xiàn)？通過折疊的方法，與剛才垂徑定理的探索方法類似，在一張紙上畫一個O，作一條不是直徑的弦AB，將圓對折，使點A與點B重合，便得到一條折痕CD與弦AB交于點MCD就是O的對稱軸，A點、B點關(guān)于直徑

18、CD對稱由軸對稱可知，ABCD，=，=大家想想還有別的方法嗎？互相討論一下如上圖連接OA、OB便可得到一個等腰OAB，即OAOB，又AMMB，即M點為等腰OAB底邊上的中線由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知CDAB，又CD是O的對稱軸，當圓沿CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合在上述的探討中，你會得出什么結(jié)論？平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧為什么上述條件要強調(diào)“弦不是直徑”？因為圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的我們把上述結(jié)論稱為垂徑定理的一個逆定理同學們，你能寫出它的證明過程嗎？如上圖，連結(jié)OA、OB，則OAOB在等腰OAB中，AMMB，CDAB(等

19、腰三角形的三線合一)O關(guān)于直徑CD對稱當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合=，=接下來，做隨堂練習：P922如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？答：相等理由：如下圖示，過圓心O作垂直于弦的直徑EF，由垂徑定理設=，=，用等量減等量差相等，得=，即=，故結(jié)論成立符合條件的圖形有三種情況：(1)圓心在平行弦外，(2)在其中一條線弦上，(3)在平行弦內(nèi)，但理由相同課時小結(jié)1本節(jié)課我們探索了圓的對稱性2利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理3垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題課后作業(yè)(一)課本P93，習題32，1、2

20、(二)1預習內(nèi)容：P94972預習提綱：(1)圓是中心對稱圖形(2)圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理活動與探究1銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道如圖所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問修理人員應準備內(nèi)徑多大的管道？過程讓學生在探究過程中，進一步把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理基本結(jié)構(gòu)圖，進而發(fā)展學生的思維結(jié)果如下圖示，連結(jié)OA，過O作OEAB，垂足為E，交圓于F，則AEAB30cm令O的半徑為R，則OAR，OEOFEFR10在RtAEO中，OA2AE2OE2，即R2302(R10)2解得R50cm修理人員應準備內(nèi)徑為1

21、00cm的管道板書設計§321 圓的對稱性一、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直徑二、與圓有關(guān)的概念：1圓弧2弦3直徑注意：弧包括優(yōu)弧、劣弧、半圓三、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧例1：略四、垂徑定理逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧注意；弦不是直徑五、課堂練習六、課時小結(jié)七、課后作業(yè)§322圓的對稱性(二) 姓名：_主備教師：管紅芳 審核：數(shù)學教研組 內(nèi)容：圓的對稱性(二) 課型：新授 時間 年 月 日教學目標 (一)教學知識點(二) 1圓的旋轉(zhuǎn)不變性 2圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理 (二)能力訓練要求 1通過

22、觀察、比較、操作、推理、歸納等活動，發(fā)展空間觀念、推理能力以及概括問題的能力 2利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性，研究圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理 (三)情感與價值觀要求 培養(yǎng)學生積極探索數(shù)學問題的態(tài)度及方法教學重點 圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理教學難點“圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理”中的“在同圓或等圓”條件的理解及定理的證明教學方法 指導探索法教具準備 投影片兩張 第一張：做一做(記作§322 A) 第二張：舉反例圖(記作§322B)教學過程創(chuàng)設問題情境，引入新課 我們研究過中心對稱圖形，我們是用什么方法來研究它的，它的定義是什么?哪位同學知道? 用旋轉(zhuǎn)的方法中心對稱圖形是指把一個圖形繞

23、某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫中心對稱圖形這個點就是它的對稱中心 師圓是一個特殊的圓形，通過前面的學習，同學們已經(jīng)了解到圓既是一個軸對稱圖形又是一個中心對稱圖形那么，圓還有其他特性嗎?下面我們繼續(xù)來探討講授新課 同學們請觀察老師手中的兩個圓有什么特點? 大小一樣現(xiàn)在老師把這兩個圓疊在一起，使它倆重合，將圓心固定 將上面這個圓旋轉(zhuǎn)任意一個角度，兩個圓還重合嗎? 通過旋轉(zhuǎn)的方法我們知道：圓具有旋轉(zhuǎn)不變的特性即一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合圓的中心對稱性是其旋轉(zhuǎn)不變性的特例即圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心 我們一起

24、來做一做(出示投影片§322 A) 按下面的步驟做一做：1在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的O和O，沿圓周分別將兩圓剪下2在O和O，上分別作相等的圓心角AOB和AOB(如下圖示)，圓心固定注意：在畫AOB與AOB時，要使OB相對于OA的方向與OB相對于OA的方向一致，否則當OA與OA重合時，OB與OB不能重合3將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度使得OA與OA重合 教師敘述步驟，同學們一起動手操作 通過上面的做一做，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系?同學們互相交流一下，說一說你的理由 由已知條件可知AOBAOB 由兩圓的半徑相等，可以得到OABOBAOAB=OBA 由AOBAOB，可得到ABAB 由旋轉(zhuǎn)法可

25、知弧AB弧AB 大家說得思路很清晰，其實剛才丁同學說到弧AB弧AB的理由是一種新的證明弧相等的方法疊合法 我們在上述做一做的過程中發(fā)現(xiàn)，固定圓心，將其中一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度，使半徑OA與OA重合時，由于AOBAOB這樣便得到半徑OB與OB重合因為點A和點A重合，點B和點B重合，所以弧AB和弧AB重合，弦AB與弦AB重合，即=弧AB=弧AB，AB=AB 在上述操作過程中，你會得出什么結(jié)論? 在等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等 同學做得很好，這就是我們通過實驗利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性探索到的圓的另一個特性：圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理 下面，我們一起來看一看命題的證明 如上圖所示，已知：O

26、和O是兩個半徑相等的圓，AOBAOB 求證：弧AB弧AB，ABAB 證明：將O和O疊合在一起，固定圓心，將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)，一個角度，使得半徑OA與OA重合，AOB=AOB，半徑OB與OB重合 點A與點A重合，點D與點B重合，弧AB與弧AB重合，弦AB與弦AB重合弧AB=弧AB，AB=AB 上面的結(jié)論，在同圓中也成立于是得到下面的定理， 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等 注意：在運用這個定理時，一定不能忘記“在同圓或等圓中”這個前提否則也不一定有所對的弧相等、弦相等這樣的結(jié)論 (通過舉反例強化對定理的理解)請同學們畫一個只能是圓心角相等的這個條件的圖(出示投影片§

27、;322 B)如下圖示，雖然AOB=AOB，但ABAB，弧AB=弧AB 下面我們共同想一想 如果我們把兩個圓心角用表示；兩條弧用表示：兩條弦用表示我們就可以得出這樣的結(jié)論： 在同圓或等圓中 也相等相等 如果在同圓或等圓這個前提下，將題設和結(jié)論中任何一項交換一下，結(jié)論正確嗎?你是怎么想的?請你說一說(同學們互相交流、討論) 如果將上述題設和結(jié)論換一下，結(jié)論仍正確可以通過旋轉(zhuǎn)法或疊合法得到證明 如果將上述題設和結(jié)論互換一下，結(jié)論也正確，可以通過證明全等或疊合法得到， 好，通過上面的探索，你得到了什么結(jié)論? 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分

28、別相等 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等 注意：(1)不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，否則，丟掉這個前提，雖然圓心角相等，但所對的弧、弦、弦心距不一定相等 (2)此定理中的“弧”一般指劣弧 (3)要結(jié)合圖形深刻體會圓心角、弧、弦、弦心距這四個概念和“所對”一詞的含義否則易錯用此關(guān)系 (4)在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，擇其有關(guān)部分如“在同圓中，等弧所對的圓心角相等”“在等圓中，弦心距相等的弦相等”等等例如，右圖中的1=2，有的同學認為1對AD，2對BC，就推出了AD=BC，顯然這是錯誤的，因為

29、AD、BC不是“等圓心角對等弦”的弦 下面我們通過練習鞏固本節(jié)課的內(nèi)容 課本P97 隨堂練習1、2、3課時小結(jié) 通過這一節(jié)的學習，在得出本節(jié)結(jié)論的過程中，回憶一下我們使用了哪些研究圖形的方法?(同學們之間相互討論、歸納) 本節(jié)采用的方法有多種，利用折疊法研究了圓是軸對稱圖形，利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理；利用旋轉(zhuǎn)的方法得到了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，由圓的旋轉(zhuǎn)不變性，我們探究了圓心角、弧、弦、弦心距之間相等關(guān)系定理課后作業(yè) 課本P98 習題33：1、2活動與探究(略)板書設計§322 圓的對稱性(二)一、圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心二、圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定

30、理證明：略三、隨堂練習四、課時小結(jié)五、課后作業(yè)§331圓周角和圓心角的關(guān)系姓名：_主備教師：管紅芳 審核：數(shù)學教研組內(nèi)容：圓周角和圓心角的關(guān)系 課型：新授 時間年 月 日教學目標(一)教學知識點1了解圓周角的概念2理解圓周角定理的證明(二)能力訓練要求經(jīng)歷探索圓周角和圓心角的關(guān)系的過程，學會以特殊情況為基礎(chǔ)，通過轉(zhuǎn)化來解決一般性問題的方法，滲透分類的數(shù)學思想(三)情感與價值觀要求通過觀察、猜想、驗證推理，培養(yǎng)學生探索數(shù)學問題的能力和方法教學重點圓周角概念及圓周角定理教學難點認識圓周角定理需分三種情況證明的必要性教學方法指導探索法教具準備投影片兩張第一張：射門游戲(記作§33

31、1A)第二張：補充練習1(記作§331B)教學過程創(chuàng)設問題情境，引入新課前面我們學習了與圓有關(guān)的哪種角？它有什么特點？請同學們畫一個圓心角學習了圓心角，它的頂點在圓心圓心是圓中一個特殊的點，當角的頂點在圓心時，就有圓心角這樣角與圓兩種不同的圖形產(chǎn)生了聯(lián)系，在圓中還有比較特殊的點嗎？如果有，把這樣的點作為角的頂點，會是怎樣的圖形？講授新課1圓周角的概念同學們請觀察下面的圖(1)(出示投影片331A)這是一個射門游戲，球員射中球門的難易與他所處的位置B對球門AC的張角(ABC)有關(guān)圖中的ABC，頂點在什么位置？角的兩邊有什么特點？ABC的頂點B在圓上，它的兩邊分別和圓有另一個交點(通過學

32、生觀察，類比得到定義)圓周角(angle in a circular segment)定義：頂點在圓上，并且角的兩邊和圓相交的角請同學們考慮兩個問題：(1)頂點在圓上的角是圓周角嗎？(2)圓和角的兩邊都相交的角是圓周角嗎？請同學們畫圖回答上述問題通過畫圖，相互交流，討論認清圓周角概念的本質(zhì)特征，從而總結(jié)出圓周角的兩個特征：(1)角的頂點在圓上；(2)兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦2補充練習1(出示投影片§331B)判斷下列圖示中，各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由答：由圓周角的兩個特征知，只有C是圓周角，而A、B、D、E都不是3研究圓周角和圓心角的關(guān)系在圖(1)中，當球員在B、D、E

33、處射門時，他所處的位置對球門AC分別形成三個張角ABC，ADC，AEC這三個角的大小有什么關(guān)系？我們知道，在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等那么，在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角有什么關(guān)系？請同學們動手畫出O中所對的圓心角和圓周角觀察所對的圓周角有幾個？它們的大小有什么關(guān)系？你是通過什么方法得到的？所對的圓心角和所對的圓周角之間有什么關(guān)系？所對的圓周角有無數(shù)個通過測量的方法得知：所對的圓周角相等，所對的圓周角都等于它所對的圓心角的一半對于有限次的測量得到的結(jié)論，必須通過其論證，怎么證明呢？說說你的想法，并與同伴交流互相討論、交流，尋找解題途徑能否考慮從特殊情況入手試一下圓周角一邊經(jīng)過

34、圓心由下圖可知，顯然ABCAOC，結(jié)論成立如上圖，已知：O中，所對的圓周角是ABC，圓心角是AOC求證：ABCAOC證明：AOC是ABO的外角，AOCABOBAOOAOB，ABOBAOAOC2ABO即ABCAOC如果ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心(如下圖)，那么結(jié)果怎樣？特殊情況會給我們什么啟發(fā)嗎？你能將下圖中的兩種情況分別轉(zhuǎn)化成上圖中的情況去解決嗎？(學生互相交流、討論)如圖(1)，點O在ABC內(nèi)部時，只要作出直徑BD，將這個角轉(zhuǎn)化為上述情況的兩個角的和即可證出由剛才的結(jié)論可知：ABDAOD，CBDCOD，ABDCBD(AODCOD)，即ABCAOC在圖(2)中，當點O在ABC外部時，仍然是作出直

35、徑BD，將這個角轉(zhuǎn)化成上述情形的兩個角的差即可由前面的結(jié)果，有ABDAOD，CBDCODABDCBD(AODCOD)，即ABCAOC還會有其他情況嗎？請思考不會有經(jīng)過剛才我們一起探討，得到了什么結(jié)論？一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半這一結(jié)論稱為圓周角定理在上述經(jīng)歷探索圓周角和圓心角的關(guān)系的過程中，我們學到了什么方法？由“特殊到一般”的思想方法，轉(zhuǎn)化的方法，分類討論的方法，好，同學們總結(jié)得很好由此我們可以知道，當解決一問題有困難時，可以首先考慮其特殊情形，然后再設法解決一般問題，這是解決問題時常用的策略今后我們在處理問題時，注意運用4課本P103，隨堂練習1、2課時小結(jié)到目前為止，我們

36、學習到和圓有關(guān)系的角有幾個？它們各有什么特點？相互之間有什么關(guān)系？和圓有關(guān)系的角有圓心角和圓周角圓心角頂點在圓心，圓周角頂點在圓上，角的兩邊和圓相交一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半這節(jié)課我們學會了什么定理？是如何進行探索的？我們學會了圓周角定理通過分類討論的思想方法，滲透了由特殊到一般的轉(zhuǎn)化方法對定理進行了研究和證明好，同學們今后在學習中，要注意探索問題方法的應用注意：(1)定理的條件是同一條弧所對的圓周角和圓心角，結(jié)論是圓周角等于圓心角的一半(2)不能丟掉“一條弧所對的”而簡單說成“圓周角等于圓心角的一半”課后作業(yè)習題34活動與探究同學們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角，叫

37、圓周角，因為一條弧所對的角圓周角等于它所對的圓心角的一半，而圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)，所以圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半類似地，我們定義：頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角如下圖中，DPB是圓外角，那么DPB的度數(shù)與它所夾的兩段弧和的度數(shù)有什么關(guān)系？類似地可定義圓內(nèi)角及其度量(1)你的結(jié)論用文字表述為(不準出現(xiàn)字母和數(shù)學符號)：_；(2)證明你的結(jié)論過程讓學生通過思考討論，想辦法把圓外角轉(zhuǎn)化成和已學過的圓周角聯(lián)系起來，借助圓周角把DPB的度數(shù)轉(zhuǎn)化成它所夾的兩段弧和的度數(shù)差的一半結(jié)果(1)圓外角的度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)差的一半(2)證明：連結(jié)BCDCBDPBABC，DPB

38、DCBABC而DCB的度數(shù)ABC的度數(shù)DPB(的度數(shù)的度數(shù))板書設計§331 圓周角和圓心角的關(guān)系(一)一、1探究圓周角的定義及其特征2探究圓周角定理及其證明二、課堂練習三、課時小結(jié)四、課后作業(yè)§332 圓周角和圓心角的關(guān)系(二)姓名：_主備教師：管紅芳 審核：數(shù)學教研組 內(nèi)容：圓周角和圓心角的關(guān)系(二) 課型：新授 時間 年 月 日教學目標 (一)教學知識點 1掌握圓周角定理幾個推論的內(nèi)容 2會熟練運用推論解決問題 (二)能力訓練要求 1培養(yǎng)學生觀察、分析及理解問題的能力 2在學生自主探索推論的過程中，經(jīng)歷猜想、推理、驗證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學習方式 (三)情感與價值觀要求

39、 培養(yǎng)學生的探索精神和解決問題的能力.教學重點 圓周角定理的幾個推論的應用教學難點 理解幾個推論的“題設”和“結(jié)論”教學方法 指導探索法教具準備 投影片三張 第一張：引例(記作§332 A) 第二張：例題(記作§332 B) 第三張：做一做(記作§332 C)教學過程創(chuàng)設問題情境，引入新課 請同學們回憶一下我們前幾節(jié)課學習了哪些和圓有關(guān)系的角?它們之間有什么關(guān)系? 學習了圓心角和圓周角、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即圓周角定理 我們在分析、證明上述定理證明過程中，用到了些什么數(shù)學思想方法? 分類討論、化歸、轉(zhuǎn)化思想方法 同學們請看下面這個問題：(出示

40、投影片§332 A)已知弦AB和CD交于O內(nèi)一點P，如下圖求證：PA·PB=PC·PD要證PA·PBPC·PD，可證由此考慮證明以PA、PC為邊的三角形與以PD、PB為邊的三角形相似由于圖中沒有這兩個三角形，所以考慮作輔助線AC和BD要證PACPDB由已知條件可得APC與DPB相等，如能再找到一對角相等如AD或CB便可證得所求結(jié)論如何尋找A=D或C=B.要想解決這個問題我們需先進行下面的學習講授新課 請同學們畫一個圓，以A、C為端點的弧所對的圓周角有多少個?(至少畫三個)它們的大小有什么關(guān)系?你是如何得到的? 弧AC所對的圓周角有無數(shù)個，它們的

41、大小相等，我是通過度量得到的 大家想一想，我們能否用驗證的方法得到上圖中的ABCADCAEC?(同學們互相交流、討論) 由圖可以看出，ABC、ADC和AEC是同弧(弧AC)所對的圓周角，根據(jù)上節(jié)課我們所學的圓周角定理可知，它們都等于圓心角AOC的一半，所以這幾個圓周角相等 通過剛才同學的學習，我們上面提出的問題A=D或CB找到答案了嗎? 找到了，它們屬于同弧所對的圓周角由于它們都等于同弧所對圓心角的一半，這樣可知AD或CB 如果我們把上面的同弧改成等弧，結(jié)論一樣嗎? 一樣，等弧所對的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半，這樣，我們便可得到等弧所對的圓周角相等 通過我們剛才的探討，我們可以得到一

42、個推論 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等 若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論成立嗎?請同學們互相議一議 如右圖，結(jié)論不成立因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在弦不是 直徑的情況下是不相等的. 注意：(1)“同弧”指“同一個圓” (2)“等弧”指“在同圓或等圓中” (3)“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦” 接下來我們看下面的問題： 如右圖，BC是O的直徑，它所對的圓周角是銳角、直角，還是鈍角?你是如何判斷的?(同學們互相交流，討論) 直徑BC所對的圓周角是直角，因為一條直徑將圓分成了兩個半圓，而半圓所對的圓心角是BOC=180°，所以BAC=90

43、6;反過來，在右圖中，如果圓周角BAC=90°，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心O嗎?為什么? 弦BC經(jīng)過圓心O，因為圓周角BAC=90°連結(jié)OB、OC，所以圓心角BOC=180°，即BOC是一條線段，也就是BC是O的一條直徑 通過剛才大家的交流，我們又得到了圓周角定理的又一個推論： 直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑 注意：這一推論應用非常廣泛，一般地，如果題目的已知條件中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角直角：如果需要直角或證明垂直時，往往作出直徑即可解決問題 為了進一步熟悉推論，我們看下面的例題(出示投影片§332 B) 例如圖

44、示，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系?為什么? 由于AB是O的直徑，故連接AD由推論直徑所對的圓周角是直角，便可得ADBC，又因為ABC中，ACAB，所以由等腰三角形的二線合一，可證得BD=CD 下面哪位同學能敘述一下理由? 生BD=CD理由是： 連結(jié)ADAB是O的直徑，ADB=90° 即ADBC 又ACAB,BDCD 通過我們學習圓周角定理及推論，大家互相交流，討論一下，我們探索上述問題時，用到了哪些方法?試舉例說明 在得出本節(jié)的結(jié)論過程中，我們用到了度量與證明的方法，比如說在研究同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；還學到了

45、分類與轉(zhuǎn)化的方法比如說在探索圓周角定理過程中，定理的證明應分三種情況，在這三種情況中，第一種情況是特殊情況，是證明的基礎(chǔ)，其他兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況來解決，再比如說，學習圓周角定義時，可由前面學習列的圓心角類比得出圓周角的概念.P107 隨堂練習 1為什么有些電影院的坐位排列(橫排)呈圓弧形？說一說這種設計的合理性 答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等2如下圖，哪個角與BAC相等?答：BDCBAC 3. 如下圖，O的直徑AB10 cm，C為O上的一點，ABC30°，求AC的長 解：AB為O的直徑ACB=90° 又ABC=30&

46、#176;，AC=AB=×10=5(cm) 4小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形，根據(jù)下圖，你能判斷哪個是半圓形?為什么?答：圖(2)是半圓形、理由是：90°的圓周角所對的弦是直徑下面我們一起來看一個問題：做一做(出示投影片§ 332 C)船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁，如下圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點，ACB就是“危險角”當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁；當船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，就能避免觸礁(1)當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，船位于哪個

47、區(qū)域?為什么?(2)當船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域?為什么? 分析：這是一個有實際背景的問題，由題意可知：“危險角”ACB實際上就是圓周角，船P與兩個燈塔的夾角為，P有可能在O外，P有可能在O內(nèi)，當C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當C時，船位于暗礁區(qū)域外，我們可采用反證法進行論證 解：(1)當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)(即O內(nèi))，理由是： 連結(jié)BE，假設船在(O上，則有=C，這與C矛盾，所以船不可能在O上；假設船在O外，則有AEB，即C，這與C矛盾，所以船不可能在O外因此船只能位于O內(nèi) (2)當船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”C時，船位于暗礁區(qū)域外(即

48、O外)理由是： 假設船在O上，則有C，這與<C矛盾，所以船不可能在O上；假設船在O內(nèi)，則有>AEB，即>C這與<C矛盾，所以船不可能在O內(nèi)，因此，船只能位于O外 注意：用反證法證明命題的一般步驟： (1)假設命題的結(jié)論不成立； (2)從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾 (3)山矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確課時小結(jié) 本節(jié)課我們學習了圓周角定理的2個推論，結(jié)合我們上節(jié)課學到的圓周角定理，我們知道，在同圓或等圓中，根據(jù)弦及其所對的圓心角，弧，弦、弦心距之間的關(guān)系，實現(xiàn)了圓中這些量之間相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化，而圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實現(xiàn)了

49、圓中的角(圓心角和圓周角)，線段(弦、弦心距)、弧等量與量之間相等關(guān)系的相等相互轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法.課后作業(yè) 課本P108 習題35活動與探究1 如下右圖，BC為O的直徑，ADBC于D，P是弧AC上一動點，連結(jié)PB分別交AD、AC于點E、F (1)當弧PA=弧AB時，求證：AE=EB； (2)當點P在什么位置時，AF=EF，證明你的結(jié)論 過程(1)連結(jié)AB證AE=EB需證ABEBAE (2)執(zhí)果索因?qū)l件：要AF=EF，即要AAEF，而AEF=BED，而要A=BED，只需BC，從而轉(zhuǎn)化為弧PC=弧AB 結(jié)果(1)證明：延長AD交O于點M，連結(jié)AB、BMBC為O的直徑

50、，ADBC于D弧AB=弧BMBADBMD 又弧AB=弧AP，ABP=BMDBADABPAEBE (2)當弧PC=弧AB時，AF=EF 證明：弧PC=弧AB，PBC=ACB 而AEFBED90°-PBC，EAF=90°-ACBAEF=EAFAF=EF板書設計§ 332 圓周角和圓心角的關(guān)系(二)一、推論一： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等二、推論二： 直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑三、例題四、隨堂練習五、做一做(反證法)六、課時小結(jié)七、課后作業(yè)備課資料 參考練習 1若O是ABC的外接圓，ODBC于D，且BOD=48°則BAC_ 2ABC是半徑為2 cm的圓內(nèi)接三角形，若BC=2 cm，則A的度數(shù)為. 3在O中，直徑AB10cm，弦AC=6cm，ACB的平分線交O于D，則BC=cm，AD=cm，BD=cm 參考答案：148°或132° 260°或120° 38 5