靜安區(qū)高三數(shù)學(xué)一模理

1、 （試卷滿分150分 考生注意：本試卷共有23道題，答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上將學(xué)校、班級(jí)、姓名、檢測(cè)編號(hào)等填涂清楚一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分的準(zhǔn)線方程是，則.2.在等差數(shù)列（）中，已知公差，則.3. 設(shè),且，則的取值范圍是.4. 已知球的半徑為24cm，一個(gè)圓錐的高等于這個(gè)球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的表面積，則這個(gè)圓錐的體積是cm3.的解為.關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是.滿足,其中為虛數(shù)單位,則.8.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)等于.(用數(shù)值作答)，常采用抽樣檢查的方法.現(xiàn)在從100件產(chǎn)品(已知其中有3件不

2、合格品)中任意抽出4件檢查，恰好有2件是不合格品的抽法有種. (用數(shù)值作答)10.經(jīng)過(guò)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程是.11.在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)、點(diǎn)，將向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得向量，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.12.在ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若ABC的面積，則. (用數(shù)值作答)13. 已知各項(xiàng)皆為正數(shù)的等比數(shù)列（），滿足，若存在兩項(xiàng)、使得，則的最小值為.14. 在平面直角坐標(biāo)系中，將直線沿軸正方向平移3個(gè)單位, 沿軸正方向平移5個(gè)單位,得到直線.再將直線沿軸正方向平移1個(gè)單位, 沿關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則直線的方程是.二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有

3、且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，填上正確的答案，選對(duì)得5分，否則一律得零分. 15.組合數(shù)恒等于( ) A. B. C. D.16.函數(shù)的反函數(shù)是 ( )ABCD17.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則( ) A B0C2 D不存在18.下列四個(gè)命題中，真命題是 ( )A和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線;B和兩條異面直線都垂直的直線是異面直線的公垂線;C和兩條異面直線都相交于不同點(diǎn)的兩條直線是異面直線;D若a、b是異面直線, b、c是異面直線,則a、c是異面直線.三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.19（本題滿分

4、12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為AB的中點(diǎn). 求：(1)異面直線BD1與CE所成角的余弦值；(2)點(diǎn)A到平面的距離.20（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分10分，第2小題滿分4分.李克強(qiáng)總理在很多重大場(chǎng)合都提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”. 某創(chuàng)客，白手起家，2015年一月初向銀行貸款十萬(wàn)元做創(chuàng)業(yè)資金，每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%.每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額（包括本金和利潤(rùn)）的10%，每月的生活費(fèi)等開(kāi)支為3000元，余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營(yíng).如此每月循環(huán)繼續(xù).(1)問(wèn)到2015年年底(按照12個(gè)月計(jì)算

5、)，該創(chuàng)客有余款多少元？(結(jié)果保留至整數(shù)元)(2)如果銀行貸款的年利率為5%，問(wèn)該創(chuàng)客一年(12個(gè)月)能否還清銀行貸款？21（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.設(shè)P1和P2是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為M，直線P1P2不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O. (1)若直線P1P2和直線OM的斜率都存在且分別為k1和k2，求證:k1k2=；(2)若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，1) ，直線OM的斜率為，求由四點(diǎn)P1、 F1、P2、F2所圍成四邊形P1 F1P2F2的面積.22（本題滿分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分.P20xyAP

6、1P3P4 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸上，其橫坐標(biāo)為，且是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，記，(1)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最大值及相應(yīng)的值23（本小題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分. 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.(1)求與的解析式；(2)若定義在實(shí)數(shù)集R上的以2為最小正周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試求在閉區(qū)間上的表達(dá)式，并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減；(3)設(shè)（其中m為常數(shù)），若對(duì)于恒成立，求m的取值范圍.靜安區(qū)2015學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明1本解答列出試題一種

7、或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分2評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后續(xù)部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，但是原則上不應(yīng)超出后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分3第19題至第23題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題分?jǐn)?shù)4給分或扣分均以1分為單位一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分1.1 22025 3.

8、4.12288p5.6.7.8.9. 13968 10.11.12.13.14.二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，填上正確的答案，選對(duì)得5分，否則一律得零分. 15.D 16.B 三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟 .19如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為AB的中點(diǎn)。（1）求異面直線BD1與CE所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)A到平面的距離。解（1）延長(zhǎng)DC至G，使CG= DC,連結(jié)BG、，四邊形EBGC是平行四邊形.BGEC. 在即異面直線與CE所成角的余弦值是（2）

9、過(guò)作交CE的延長(zhǎng)線于H.連結(jié)AH. 底面ABCD如圖所示.由于AHE=B=90°，AEH=CEB，則AHECBE設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，則由三棱錐體積公式可得：，即。所以，即點(diǎn)A到平面的距離為。20李克強(qiáng)總理在很多重大場(chǎng)合都提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”. 某創(chuàng)客，白手起家，2015年一月初向銀行貸款十萬(wàn)元做創(chuàng)業(yè)資金，每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%.每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額（包括本金和利潤(rùn)）的10%，每月的生活費(fèi)等開(kāi)支為3000元，余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營(yíng).如此每月循環(huán)繼續(xù).(1)問(wèn)到2015年年底(按照12個(gè)月計(jì)算)，該創(chuàng)客有余款多少元？(結(jié)果保留至整數(shù)元)(2

10、)如果銀行貸款的年利率為5%，問(wèn)該創(chuàng)客一年(12個(gè)月)能否還清銀行貸款？解法1：（1）設(shè)個(gè)月的余款為，則，。，=（元），法2：，一般的，構(gòu)造，。（2）194890-100000´1.05=89890（元），能還清銀行貸款。21設(shè)P1和P2是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為M，直線P1P2不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O. (1)若直線P1P2和直線OM的斜率都存在且分別為k1和k2，求證:k1k2=；(2)若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，1) ，直線OM的斜率為，求由四點(diǎn)P1、 F1、P2、F2所圍成四邊形P1 F1P2F2的面積. (1)解法1：設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線P1P2方程為，代

11、入雙曲線方程得：. 設(shè) P1坐標(biāo)為，P2坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為M (x,y),則，所以，k1k2=。另解：設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中點(diǎn)M (x,y),則且（1）-（2）得：。因?yàn)?直線P1P2和直線OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)¹0，等式兩邊同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：即k1k2=。6分（2）由已知得,求得雙曲線方程為，直線P1 P2斜率為，直線P1 P2方程為, 代入雙曲線方程可解得(中點(diǎn)M坐標(biāo)為. 面積. 另解: 線段P1 P2中點(diǎn)M在直線上.所以由中點(diǎn)M(x,y),可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為,代入雙曲線方程可得,即，解得（），所以。面積.2

12、2P20xyAP1P3P4在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸上，其橫坐標(biāo)為，且是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，記，（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最大值及相應(yīng)的值解：（1）設(shè)，根據(jù)題意，由，知，而，所以，解得或故點(diǎn)的坐標(biāo)為或（2）由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立易知在上為增函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，最大，其最大值為23已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.（1）求與的解析式；（2）若定義在實(shí)數(shù)集R上的以2為最小正周期的周期函數(shù),當(dāng)時(shí),試求在閉區(qū)間上的表達(dá)式,并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）設(shè)（其中m為常數(shù)），若對(duì)于恒成立，求m的取值范圍.解：（1）假設(shè)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)所以有，即，