計量經(jīng)濟學聯(lián)立方程

1、 1、如果我們將“供給”與“需求”寫成如下的聯(lián)立方程的形式：其中，、為外生變量。 （1）若或，解釋為什么存在的簡化式？若、，寫出的簡化式。 （2）若、，且，求的簡化式。這時，有簡化式嗎？ （3）在“供給-需求”的模型中，的條件有可能滿足嗎？請解釋。解答：（1）若，則由第1個方程得：，這就是一個的簡化式； 若，則由第2個方程得：，這也是一個的簡化式。若、，則將代入第1個方程得：整理得： （2）由第二個方程得：代入第一個方程得：整理得這就是的簡化式。也有簡化式，由兩個方程易得：整理得（3）在“供給-需求”模型中，的條件可以滿足。例如，如果第一個方程是供給方程，而第二個方程是需求方程，則這里的就代表

2、供給量或需求量，而就代表這市場價格。于是，應有，。2一個由兩個方程組成的聯(lián)立模型的結(jié)構(gòu)形式如下（省略t-下標）（1）指出該聯(lián)立模型中的內(nèi)生變量與外生變量。（2）分析每一個方程是否為不可識別的，過度識別的或恰好識別的？（3） 有與相關(guān)的解釋變量嗎？有與相關(guān)的解釋變量嗎？（4）如果使用OLS方法估計，會發(fā)生什么情況？（5）可以使用ILS方法估計嗎？如果可以，推導出估計值。對回答同樣的問題。（6）逐步解釋如何在第2個方程中使用2SLS方法。解答： （1）內(nèi)生變量：P、N；外生變量：A、S、M（2）容易寫出聯(lián)立模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣 P N 常量 S A M 對第1個方程，因此，即等于內(nèi)生變量個數(shù)減1，模

3、型可以識別。進一步，聯(lián)立模型的外生變量個數(shù)減去該方程外生變量的個數(shù)，恰等于該方程內(nèi)生變量個數(shù)減1，即4-3=1=2-1，因此第一個方程恰好識別。對第二個方程，因此，即等于內(nèi)生變量個數(shù)減1，模型可以識別。進一步，聯(lián)立模型的外生變量個數(shù)減去該方程外生變量的個數(shù)，大于該方程內(nèi)生變量個數(shù)減1，即4-2=2>=2-1，因此第二個方程是過渡識別的。該模型對應于13.3屆中的模型4。我們注意到該模型為過渡識別的。綜合兩個方程的識別狀況，該聯(lián)立模型是過渡識別的。 （3）S,A,M為外生變量，所以他們與，都不相關(guān)。而P,N為內(nèi)生的，所以他們與，都相關(guān)。具體說來，N與P同期相關(guān)，而P與同期相關(guān)，所以N與同期

4、相關(guān)。另一方面，N與v同期相關(guān)，所以P與v同期相關(guān)。（4）由（3）知，由于隨機解釋變量的存在，與的OLS估計量有偏且是不一致的。（5）對第一個方程，由于是恰也識別的，所以間可用接最小二乘法（ILS）進行估計。對第二個方程，由于是過渡識別的，因此ILS法在這里并不適用。（6）對第二個方程可采用二階段最小二乘法進行估計，具體步驟如下：第1階段，讓P對常量，S,M,A回歸并保存預測值；同理，讓N對常量，S,A,M回歸并保存預測值。第2階段，讓對常量、作回歸求第2個方程的2SLS估計值。三、習題6-1解釋下列概念：1) 聯(lián)立問題2) 行為方程3) 間接最小二乘法4) 識別問題5) 二階段最小二乘法6)

5、 三階段最小二乘法7) 簡化式模型8) 不可識別9) 恰度識別10) 過度識別11) 結(jié)構(gòu)式模型12) 遞歸系統(tǒng)模型13) 先決變量14) 參數(shù)關(guān)系體系6-2為什么要建立聯(lián)立方程模型，聯(lián)立方程模型適用于什么樣的經(jīng)濟現(xiàn)象？6-3聯(lián)立方程模型中的變量可以分為幾類？其含義各是什么？6-4聯(lián)立方程模型中的方程可以分為幾類？其含義各是什么？6-5聯(lián)立方程模型可以分為幾類？其含義各是什么？6-6聯(lián)立方程模型的識別狀況可以分為幾類？其含義各是什么？6-7結(jié)構(gòu)方程可識別和不可識別的等價定義是什么？6-8簡述結(jié)構(gòu)方程識別的階條件和秩條件的步驟。6-9聯(lián)立方程模型的估計有哪些方法？其適用條件、統(tǒng)計性質(zhì)各是什么？6

6、-10聯(lián)立方程計量經(jīng)濟模型中結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)為什么不能直接應用OLS估計？6-11已知一個聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型的完備的結(jié)構(gòu)式模型，如何確定其中的內(nèi)生變量、先決變量、外生變量？6-12如何對不可識別的方程進行簡單的修改使之可以識別？6-13為什么說ILS、IV、2SLS方法都可以認為是工具變量方法？它們在工具變量的選取上有什么區(qū)別？6-14證明對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程ILS、IV、2SLS的參數(shù)估計量是等價的。6-153SLS的方法步驟是什么？為什么3SLS的參數(shù)估計量比2SLS的參數(shù)估計量更有效？6-16理解聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法的概念。6-17寫出結(jié)構(gòu)模型的一般

7、形式和結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣。6-18寫出簡化模型的一般形式和參數(shù)關(guān)系式的表達式。6-19已知簡單的Keynesian收入決定模型如下： （消費方程） （投資方程） （定義方程）要求：（1）導出簡化型方程；（2）試證明：簡化型參數(shù)是用來測定外生變量變化對內(nèi)生變量所起的直接與間接的總影響（以投資方程的簡化型為例來加以說明）。（3）試用階條件與秩條件確定每個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)；整個模型的識別狀態(tài)如何？6-20為什么間接最小二乘法（ILS）只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)模型？ 6-21簡述二階段最小二乘法（2SLS）的兩個階段6-22在聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型Y+X=U 中，每個結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項具有0均值、同方差且

8、存在一階序列相關(guān)，每個結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項之間具有同期相關(guān)。要求：寫出該聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型隨機誤差項的方差協(xié)方差矩陣。6-23某聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型有3個方程、3個內(nèi)生變量（，）、3個外生變量（，）和樣本觀測值始終為1的虛變量C，樣本容量為n。其中第2個方程：為恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。要求：（1）寫出用IV法估計該方程參數(shù)的正規(guī)方程組；（2）用ILS方法估計該方程參數(shù)，也可以看成一種工具變量方法，指出工具變量是如何選取的，并寫出參數(shù)估計量的矩陣表達式；（3）用2SLS方法估計該方程參數(shù)，也也可以看成一種工具變量方法，指出的工具變量是什么，并寫出參數(shù)估計量的矩陣表達式；6-24下列為一完備的聯(lián)

9、立方程計量經(jīng)濟學模型：其中：M為貨幣供給量，Y為國內(nèi)生產(chǎn)總值，P為價格總指數(shù)。要求：（1）指出模型的內(nèi)生變量、外生變量、先決變量；（2）寫出簡化式模型，并導出結(jié)構(gòu)式參數(shù)與簡化式參數(shù)之間的關(guān)系；（3）用結(jié)構(gòu)式條件確定模型的識別狀態(tài)；（4）從方程之間的關(guān)系出發(fā)確定模型的識別狀態(tài)；（5）如果模型不可識別，試作簡單的修改使之可以識別；（6）指出ILS、IV、2SLS中哪些可用于原模型第1、2個方程的參數(shù)估計。6-25獨立建立一個包含34個方程的中國宏觀經(jīng)濟模型，并完成模型的識別和估計（可以采取本章中第五節(jié)的例子，將樣本觀測值擴大到2000年之后，自己獨立完成）。四、習題解答6-11) 聯(lián)立問題：經(jīng)濟現(xiàn)

10、象是極為復雜的，其中諸因素之間的關(guān)系，在很多情況下，不是單一方程所能描述的那種簡單的單向因果關(guān)系，而是相互依存，互為因果的，這時，就必須用聯(lián)立的計量經(jīng)濟學方程才能描述清楚。聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型以經(jīng)濟系統(tǒng)為研究對象，揭示經(jīng)濟系統(tǒng)中各部分、各因素之間的數(shù)量關(guān)系和系統(tǒng)的數(shù)量特征。2) 行為方程：行為方程描述經(jīng)濟系統(tǒng)中變量之間的行為關(guān)系，主要是因果關(guān)系，例如用收入作為消費的解釋變量建立的方程。3) 間接最小二乘法：先對關(guān)于內(nèi)生解釋變量的簡化式方程采用普通最小二乘法估計簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計量。4) 識別問題：聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型是由多個方程

11、組成，對方程之間的關(guān)系有嚴格的要求，否則模型就可能無法估計。所以在進行模型估計之前首先要判斷它是否可以估計，這就是模型的識別。如果聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是可以識別的。反過來，如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是不可以識別的。5) 二階段最小二乘法：估計聯(lián)立方程模型中的某個結(jié)構(gòu)式方程時，先用普通最小二乘法對其中內(nèi)生解釋變量的簡化式進行估計，得到內(nèi)生解釋變量的估計值，用此估計值代替原結(jié)構(gòu)式方程中的內(nèi)生解釋變量，再對變換了的結(jié)構(gòu)式方程用普通最小二乘法

12、進行估計。6) 三階段最小二乘法：三階段最小二乘法是估計聯(lián)立方程模型全部結(jié)構(gòu)方程的系統(tǒng)估計方法，基本思路是3SLS=2SLS+GLS，即首先用兩階段最小二乘法估計模型系統(tǒng)中的每一個結(jié)構(gòu)方程，然后再用廣義最小二乘法估計模型系統(tǒng)。7) 簡化式模型：將聯(lián)立方程模型的每個內(nèi)生變量表示成所有先決變量和隨機誤差項的函數(shù)，即用所有先決變量作為每個內(nèi)生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模型。8) 不可識別：如果聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯(lián)立方程系統(tǒng)是不可識別的。9) 恰度識別：如果某一個隨機方程具有一組參數(shù)估

13、計量，稱其為恰度識別。10) 過度識別：如果某一個隨機方程具有多組參數(shù)估計量，稱其為過度識別。11) 結(jié)構(gòu)式模型：根據(jù)經(jīng)濟理論和行為規(guī)律建立的描述經(jīng)濟變量之間直接關(guān)系結(jié)構(gòu)的計量經(jīng)濟學方程系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)式模型。結(jié)構(gòu)式模型中的每一個方程都是結(jié)構(gòu)方程，將一個內(nèi)生變量表示為其它內(nèi)生變量、先決變量和隨機誤差項的函數(shù)形式，被稱為結(jié)構(gòu)方程的正規(guī)形式。12）遞歸系統(tǒng)模型：聯(lián)立方程模型，如果即在第1個方程中被解釋變量為，解釋變量全部為先決變量；在第2個方程中被解釋變量為，解釋變量中除了作為第1個方程被解釋變量的內(nèi)生變量外，全部為先決變量；第3個方程，依次類推。這類模型稱為遞歸系統(tǒng)模型。13）先決變量：外生變量與滯

14、后內(nèi)生變量統(tǒng)稱為先決變量。14）參數(shù)關(guān)系體系：簡化式參數(shù)與結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的關(guān)系，稱為參數(shù)關(guān)系體系。6-2經(jīng)濟現(xiàn)象是極為復雜的，其中諸因素之間的關(guān)系，在很多情況下，不是單一方程所能描述的那種簡單的單向因果關(guān)系，而是相互依存，互為因果的，這時，就必須用聯(lián)立的計量經(jīng)濟學方程才能描述清楚。所以與單方程適用于單一經(jīng)濟現(xiàn)象的研究相比，聯(lián)立方程模型適用于描述復雜的經(jīng)濟現(xiàn)象，即經(jīng)濟系統(tǒng)。6-3對于聯(lián)立方程模型系統(tǒng)而言，將變量分為內(nèi)生變量和外生變量兩大類，外生變量與滯后內(nèi)生變量又被統(tǒng)稱為先決變量。內(nèi)生變量是具有某種概率分布的隨機變量，它是由模型系統(tǒng)決定的，同時也對模型系統(tǒng)產(chǎn)生影響，內(nèi)生變量一般都是經(jīng)濟變量。外生

15、變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量。外生變量影響系統(tǒng)，但本身不受系統(tǒng)的影響。外生變量一般是經(jīng)濟變量、條件變量、政策變量、虛變量。6-4聯(lián)立方程模型中，結(jié)構(gòu)式模型中的每一個方程都是結(jié)構(gòu)方程，簡化式模型中每個方程稱為簡化式方程，結(jié)構(gòu)方程的方程類型如下：其中，行為方程描述經(jīng)濟系統(tǒng)中變量之間的行為關(guān)系，主要是因果關(guān)系，例如用收入作為消費的解釋變量建立的方程；技術(shù)方程描述由技術(shù)決定的變量之間的關(guān)系，例如用總產(chǎn)值作為凈產(chǎn)值的解釋變量建立的方程；制度方程描述由制度決定的變量之間的關(guān)系，例如用進口總額作為關(guān)稅收入的解釋變量建立的方程；統(tǒng)計方程描述由數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性決定的變量之間的關(guān)系，例如

16、描述城鎮(zhèn)居民收入與農(nóng)村居民收入之間關(guān)系的方程。定義方程是由經(jīng)濟學或經(jīng)濟統(tǒng)計學的定義決定的，例如國內(nèi)生產(chǎn)總值等于第一、二、三產(chǎn)業(yè)增加值之和；平衡方程是由變量所代表的指標之間的平衡關(guān)系決定的，例如政府消費等于消費總額減去居民消費。經(jīng)驗方程僅描述由經(jīng)驗得到的數(shù)據(jù)之間的確定性關(guān)系，沒有什么實質(zhì)性意義。6-5聯(lián)立方程模型可以分為結(jié)構(gòu)式模型和簡化式模型。根據(jù)經(jīng)濟理論和行為規(guī)律建立的描述經(jīng)濟變量之間直接關(guān)系結(jié)構(gòu)的計量經(jīng)濟學方程系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)式模型。結(jié)構(gòu)式模型中的每一個方程都是結(jié)構(gòu)方程，將一個內(nèi)生變量表示為其它內(nèi)生變量、先決變量和隨機誤差項的函數(shù)形式，被稱為結(jié)構(gòu)方程的正規(guī)形式。將聯(lián)立方程模型的每個內(nèi)生變量表示成

17、所有先決變量和隨機誤差項的函數(shù)，即用所有先決變量作為每個內(nèi)生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模型。6-6聯(lián)立方程模型的識別狀況可以分為可識別和不可識別，可識別又分為恰好識別和過度識別。如果聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別，或者根據(jù)參數(shù)關(guān)系體系，在已知簡化式參數(shù)估計值時，如果不能得到聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程的確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，稱該方程為不可識別。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是可以識別的。反過來，如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是不可以識別的。如果某一個隨機方程具有一組參數(shù)

18、估計量，稱其為恰好識別；如果某一個隨機方程具有多組參數(shù)估計量，稱其為過度識別。6-7定義一：如果聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。定義二：如果聯(lián)立方程模型中某些方程的線性組合可以構(gòu)成與某一個方程相同的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。定義三：根據(jù)參數(shù)關(guān)系體系，在已知簡化式參數(shù)估計值時，如果不能得到聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程的確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，則稱該方程為不可識別。6-8聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型的結(jié)構(gòu)式中的第i個方程中包含個內(nèi)生變量（含被解釋變量）和個先決變量（含常數(shù)項），模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量和先決變量的數(shù)目用和表示，矩陣表示第i個方程中未包含的變量（包括內(nèi)生變

19、量和先決變量）在其它個方程中對應系數(shù)所組成的矩陣。于是，判斷第i個結(jié)構(gòu)方程識別狀態(tài)的結(jié)構(gòu)式條件為：如果，則第i個結(jié)構(gòu)方程不可識別；如果，則第i個結(jié)構(gòu)方程可以識別，并且如果，則第i個結(jié)構(gòu)方程恰好識別，如果，則第i個結(jié)構(gòu)方程過度識別。其中符號R表示矩陣的秩。一般將該條件的前一部分稱為秩條件，用以判斷結(jié)構(gòu)方程是否識別；后一部分稱為階條件，用以判斷結(jié)構(gòu)方程恰好識別或者過度識別。6-9單方程估計方法有：狹義的工具變量法（IV），間接最小二乘法(ILS)，兩階段最小二乘法（2SLS）；系統(tǒng)估計方法有：三階段最小二乘法（3SLS），完全信息最大或然法（FIML）。狹義的工具變量法（IV）和間接最小二乘法(I

20、LS)只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計。兩階段最小二乘法（2SLS）、三階段最小二乘法（3SLS）、完全信息最大或然法（FIML）既適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié)構(gòu)方程。工具變量法參數(shù)估計量，一般情況下，在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是漸近無偏的。如果選取的工具變量與方程隨機誤差項完全不相關(guān)，那么其參數(shù)估計量是無偏性估計量。對于間接最小二乘法，對簡化式模型應用普通最小二乘法得到的參數(shù)估計量具有線性、無偏性、有效性。通過參數(shù)關(guān)系體系計算得到結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。采用二階段最小二乘法得到結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量在小樣本下是有偏的，在大

21、樣本下是漸近無偏的。3SLS估計量的統(tǒng)計性質(zhì)主要有：如果聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中所有結(jié)構(gòu)方程都是可以識別的，并且非奇異，則3SLS估計量是一致性估計量。為了保證非奇異，必須將模型系統(tǒng)中的恒等式排除在外，不參加估計過程。因為恒等式的隨機誤差項為0，將使矩陣中出現(xiàn)0行和0列，使之成為奇異矩陣。 3SLS估計量比2SLS估計量更有效，但是這是對大樣本而言。對于有限樣本情況下3SLS估計量和2SLS估計量的有效性比較，無法從數(shù)學上加以證明，可以通過Monte Carlo試驗進行統(tǒng)計上的說明。如果是對角矩陣，即模型系統(tǒng)中不同結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項之間無相關(guān)性，那么可以證明3SLS估計量與2SLS估計量是等價的。

22、在大樣本時，一般情況下，3SLS與FIML具有相同的漸近有效性。但是，在特殊情況下，例如，如果在開始估計之前已經(jīng)知道方程系統(tǒng)隨機誤差項的方差、協(xié)方差信息，F(xiàn)IML就可以充分利用這些信息，因而比3SLS更有效。6-10第一，結(jié)構(gòu)方程解釋變量中的內(nèi)生解釋變量是隨機解釋變量，不能直接用OLS來估計；第二，損失變量信息問題：在估計聯(lián)立方程系統(tǒng)中某一個隨機方程參數(shù)時，必須考慮沒有包含在該方程中的變量的數(shù)據(jù)信息；第三，聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中每個隨機方程之間往往存在某種相關(guān)性，表現(xiàn)于不同方程隨機誤差項之間，如果采用單方程模型方法估計某一個方程，是不可能考慮這種相關(guān)性的，造成信息的損失。6-11內(nèi)生變量：內(nèi)生變量

23、是具有某種概率分布的隨機變量，它的參數(shù)是聯(lián)立方程系統(tǒng)估計的元素，內(nèi)生變量是由模型系統(tǒng)決定的，同時也對模型系統(tǒng)產(chǎn)生影響。內(nèi)生變量一般都是經(jīng)濟變量。一般情況下，內(nèi)生變量滿足：即因為外生變量：外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量，其參數(shù)不是模型系統(tǒng)研究的元素。外生變量影響系統(tǒng)，但本身不受系統(tǒng)的影響。外生變量一般是經(jīng)濟變量、條件變量、政策變量、虛變量。外生變量一般滿足：外生變量與滯后內(nèi)生變量統(tǒng)稱為先決變量。6-12修改方程使得其余每一個方程中都包含至少1個該方程所未包含的變量，并且互不相同，那么所有方程的任意線性組合都不能構(gòu)成與該方程相同的統(tǒng)計形式，則該方程變?yōu)榭梢宰R別的方程。6

24、-13狹義工具變量法用結(jié)構(gòu)方程中未包含的先決變量作為的工具變量，用結(jié)構(gòu)方程中包含的先決變量作為自己的工具變量；而間接最小二乘法則將先決變量按自己的順序作為的工具變量；二階段最小二乘法選取的線性組合作為結(jié)構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量的工具變量，選取作為自己的工具變量。6-14分別采用三種單方程估計方法得到的參數(shù)估計量如下： (1) (2) (3)可以看到，三種結(jié)果是用不同的工具變量方法估計得到的，區(qū)別僅在于工具變量選取不同。比較狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量(1)與(2)，它們選取了同樣一組變量作為結(jié)構(gòu)方程中解釋變量的工具變量，只是次序不同。狹義工具變量法用結(jié)構(gòu)方程中未包含的先決變量作為的工

25、具變量，用結(jié)構(gòu)方程中包含的先決變量作為自己的工具變量；而間接最小二乘法則將先決變量按自己的順序作為的工具變量，這就使得結(jié)構(gòu)方程中包含的先決變量也選擇了其它先決變量作為工具變量，而不是自身，這兩種不同的選取只影響正規(guī)方程組中方程的次序，并不影響方程組的解。所以狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。比較二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量(3)與(2)。間接最小二乘法選取作為結(jié)構(gòu)方程中解釋變量的工具變量，二階段最小二乘法選取的線性組合作為結(jié)構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量的工具變量，選取作為自己的工具變量。這樣使得關(guān)于二者參數(shù)估計量的正規(guī)方程組是不同的，分別為比較該兩個正規(guī)方程組發(fā)現(xiàn)，后

26、者可以由前者經(jīng)過初等線性變換得到。而根據(jù)代數(shù)知識，初等線性變換不影響方程組的解。所以二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。也可以對此進行嚴格證明。假設即兩邊同時左乘，有兩邊同時右乘，有該式顯然成立。所以兩種參數(shù)估計量是等價的的假設成立。結(jié)論是，對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，狹義工具變量法、間接最小二乘法和二階段最小二乘法三種方法是等價的。6-15三階段最小二乘法的步驟1 用兩階段最小二乘法估計結(jié)構(gòu)方程（1）得到方程隨機誤差項的估計值。首先采用OLS估計結(jié)構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量的簡化式模型得到于是用替換(1)中的，進行2SLS的第二階段估計，得到的2SLS估計量和的2SLS估計量計算殘差

27、估計值為2 求的估計量根據(jù)計算公式計算得到：對方程系統(tǒng) (2)其中應用廣義最小二乘法，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的3SLS估計量為：至此，完成了三階段最小二乘法估計，同時得到所有方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量。3SLS估計量比2SLS估計量更有效。3SLS方法主要優(yōu)點是考慮了模型系統(tǒng)中不同結(jié)構(gòu)方程的隨機誤差項之間的相關(guān)性。將3SLS估計量和2SLS估計量的分布進行比較，并根據(jù)Gauss-Markov定理，即可清楚看到這點。但是這是對大樣本而言。對于有限樣本情況下3SLS估計量和2SLS估計量的有效性比較，無法從數(shù)學上加以證明，可以通過Monte Carlo試驗進行統(tǒng)計上的說明。6-16聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型的估計方法

28、分為兩大類：單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法。所謂單方程估計方法，指每次只估計模型系統(tǒng)中的一個方程，依次逐個估計。單方程估計方法主要解決的是聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中每一個方程中的隨機解釋變量問題，同時盡可能地利用單個方程中沒有包含的、而在模型系統(tǒng)中包含的變量樣本觀測值的信息，沒有考慮模型系統(tǒng)方程之間的相關(guān)性對單個方程參數(shù)估計量的影響。所謂系統(tǒng)估計方法，指同時對全部方程進行估計，同時得到所有方程的參數(shù)估計量，利用了模型系統(tǒng)的全部信息。顯然，從模型估計的性質(zhì)來講，系統(tǒng)估計方法必然優(yōu)于單方程方法，但從方法的復雜性來講，單方程方法又優(yōu)于系統(tǒng)估計方法。6-17一個完備的結(jié)構(gòu)式模型可以寫成：或其中用n表示樣本容量，

29、則參數(shù)矩陣為：為結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣。6-18簡化式模型的矩陣形式為： (1)其中表示簡化式參數(shù)矩陣。將結(jié)構(gòu)式模型作如下變換：與(1)比較，可以得到： (2)該式描述了簡化式參數(shù)與結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的關(guān)系，稱為參數(shù)關(guān)系體系。6-19（1）將題中結(jié)構(gòu)式模型進行變量連續(xù)替代后得到（2）例如表示對的影響，即增加1個單位時對的影響。這種影響被分成兩部分，其中前一項正是結(jié)構(gòu)式方程中反映對的直接影響的參數(shù)，后一項反映對的間接影響。（3）結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為：模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量的數(shù)目為g=3，先決變量的數(shù)目為=3。首先判斷第1個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)。對于第1個方程，有又因為有：所以，第1個結(jié)構(gòu)方程為過度識別的結(jié)構(gòu)方程。再看第2

30、個結(jié)構(gòu)方程，有所以，該方程可以識別。并且所以，第2個結(jié)構(gòu)方程為恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。第3個方程是平衡方程，不存在識別問題。綜合以上結(jié)果，該聯(lián)立方程模型是可以識別的。6-20間接最小二乘法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計，因為只有恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，才能從參數(shù)關(guān)系體系中得到唯一一組結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計量。6-21對于聯(lián)立方程模型的第1個結(jié)構(gòu)方程(1)由于內(nèi)生解釋變量是隨機變量，不能直接采用普通最小二乘法。但是對于的簡化式方程，即簡化式模型中的每個方程，不存在隨機解釋變量問題，可以直接采用普通最小二乘法估計其參數(shù)，并得到關(guān)于的估計值：這就是二階段最小二乘法的第一階段，即對簡化式方程第一次使用普通最小二

31、乘法。用的估計量替換(1)中的，得到新的方程顯然，該方程中不存在隨機解釋變量問題，可以直接采用普通最小二乘法估計其參數(shù)，得到：這就是二階段最小二乘法的第二階段，即對變換了的結(jié)構(gòu)式方程使用普通最小二乘法。得到的參數(shù)估計量即為原結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的二階段最小二乘估計量。6-22 j=1,2g其中g(shù)為內(nèi)生變量數(shù)目，n為每個結(jié)構(gòu)方程樣本數(shù)目。6-23（1）將方程寫成標準形式：（2）用ILS方法估計方程參數(shù)，用（C，）依次作為（，C，）的工具變量參數(shù)估計量的矩陣表達式為其中 j=1，2，3 j=2，3 （3）用2SLS方法估計方程參數(shù)，的工具變量為C，的線性組合其中X= C 參數(shù)估計量的矩陣表達式為6-24（

32、1）內(nèi)生變量為，；外生變量為和常數(shù)項；先決變量為和常數(shù)項。（2）簡化式模型為結(jié)構(gòu)式參數(shù)與簡化式參數(shù)之間的關(guān)系體系為（3）用結(jié)構(gòu)式條件確定模型的識別狀態(tài)；結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為：模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量的數(shù)目為g=2，先決變量的數(shù)目為=2（包括常數(shù)項）。首先判斷第1個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)。對于第1個方程，有所以，第1個結(jié)構(gòu)方程為不可識別的結(jié)構(gòu)方程。再看第2個結(jié)構(gòu)方程，有所以，該方程可以識別。并且所以，第2個結(jié)構(gòu)方程為恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。綜合以上結(jié)果，該聯(lián)立方程模型是不可識別的。（4）第一個結(jié)構(gòu)方程包含了第二個結(jié)構(gòu)方程所未包含的變量，這使得這兩個方程的任意線性組合都不能構(gòu)成與第二個方程相同的統(tǒng)計形式，所以第二個方

33、程是可以識別的；而第二個結(jié)構(gòu)方程沒有包含第一個方程中所未包含的變量，這使得這兩個方程的某些線性組合能構(gòu)成與第一個方程相同的統(tǒng)計形式，導致第一個方程不可識別。例如，將兩個方程相加并整理，得到：這與方程一有相同的統(tǒng)計形式。當我們收集了、和的樣本觀測值進行參數(shù)估計后，很難判斷得到的是第一個方程的參數(shù)估計量還是新組合方程的參數(shù)估計量。（5）為了使模型可以識別，需要第二個方程包含一個第一個方程所未包含的變量，所以引入滯后一期的國內(nèi)生產(chǎn)總值，模型變?yōu)榭梢耘袆e，此時兩個結(jié)構(gòu)方程都是恰好識別的，這樣模型是可以識別的。（6）如前所述，第一個方程式不可識別的，第二個方程是恰好識別的，所以可以用以上三種方法來估計第二個方程。6-25下面為一個包含3個方程的中國宏觀經(jīng)濟