高中數(shù)學(xué)必修5知識點(diǎn)總結(jié)50456

1、1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，為的外接圓的半徑，則有2、正弦定理的變形公式：，；，；（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想DbsinAAbaC畫出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無交點(diǎn)：當(dāng)無交點(diǎn)則B無解、當(dāng)有一個交點(diǎn)則B有一解、當(dāng)有兩個交點(diǎn)則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當(dāng)a<bsinA，則B無解當(dāng)bsinA&l

2、t;ab,則B有兩解當(dāng)a=bsinA或a>b時，B有一解注：當(dāng)A為鈍角或是直角時以此類推既可。3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推論：，(余弦定理主要解決的問題：1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角)6、如何判斷三角形的形狀：設(shè)、是的角、的對邊，則：若，則；CABD若，則；若，則正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的C、D兩點(diǎn)，并測得ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O, ADB=45O(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。本題解答過程略附：三角形的五個“心”；重心：三角形

3、三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個數(shù)9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列10、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1<an）13、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列（即：an+1=an）14、擺動數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列15、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系的

4、公式16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式17、如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差符號表示:。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：2() (為常數(shù)18、由三個數(shù)，組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)若，則稱為與的等差中項(xiàng)19、若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則20、通項(xiàng)公式的變形：；21、若是等差數(shù)列，且（、），則；若是等差數(shù)列，且（、），則22、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：；23、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：若項(xiàng)數(shù)為，則，且，若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）24、如果一個數(shù)

5、列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比符號表示：（注：等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；同號位上的值同號）注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：(，)(為非零常數(shù)).正數(shù)列成等比的充要條件是數(shù)列（）成等比數(shù)列.25、在與中間插入一個數(shù)，使，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項(xiàng)若，則稱為與的等比中項(xiàng)（注：由不能得出，成等比，由，）26、若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則27、通項(xiàng)公式的變形：；28、若是等比數(shù)列，且（、），則；若是等比數(shù)列，且（、），則29、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：30、對任意的數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：注： （可為零也可不為零為

6、等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.等差前n項(xiàng)和可以為零也可不為零為等差的充要條件若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件. 非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項(xiàng)公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前n項(xiàng)和公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我

7、們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數(shù)列中，則.分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點(diǎn)共線，所以利用每兩點(diǎn)形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，n為何值時最大？分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，是拋物線=上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，則因?yàn)橛笞畲笾?，故其對?yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為，

8、即當(dāng)時，最大。例題：3遞增數(shù)列，對任意正整數(shù)n，恒成立，求分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列遞增得到：對于一切恒成立，即恒成立，所以對一切恒成立，設(shè)，則只需求出的最大值即可，顯然有最大值，所以的取值范圍是：。構(gòu)造二次函數(shù)，看成函數(shù)，它的定義域是，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸在的左側(cè)也可以（如圖），因?yàn)榇藭rB點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，得如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和. 例如：兩個等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成

9、一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個數(shù)列的第一個相同項(xiàng)，公差是兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù).2. 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立。3. 在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問題：(1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值. (2)當(dāng)<0,d>0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。附：數(shù)列求和的常用方法1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中 是各項(xiàng)不為0的等差

10、數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。例題：已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=,求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=3.錯位相減法:適用于其中 是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，求這個數(shù)列的前n項(xiàng)之和。解：由題設(shè)得： =即=把式兩邊同乘2后得=用-，即：=得4.倒序相加法: 類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.用結(jié)論1）: 1+2+3+.+n = 2）1+3+5+.+(2n-1) =3）4） 5）6） 31、；32、不等式的性質(zhì)：；，；33、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法

11、及延伸 1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零點(diǎn)分段法）求解不等式：解法：將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)求根，并將根按從小到大的在數(shù)軸上從左到右的表示出來；由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過，奇次根一穿而過），經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.+XX1X2X3Xn-2Xn-1Xn+（自右向左正負(fù)相間）例題：求不等式的解集。解：將原不等式因式分解為：

12、 由方程：解得 將這三個根按從小到大順序在數(shù)軸上標(biāo)出來，如圖+-214x由圖可看出不等式的解集為：例題：求解不等式的解集。解：略一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式ax>b解的討論；一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的討論. 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根 無實(shí)根 R對于a<0的不等式可以先把a(bǔ)化為正后用上表來做即可。2.分式不等式的解法（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為>0(或<0)；0(或0)的形式，（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）例題：求解不等式：解：略例題：求不等式的解集。：基本形式：型如：|x|a (a0) 的不等式

13、的解集為：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集為：變型：解得。其中-c<ax+b<c等價于不等式組 在解-c<ax+b<c得注意a的符號型的不等式的解法可以由來解。對于含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論來解.絕對值不等式解法中常用幾何法：即根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.例題：求解不等式解：略例題：求解不等式：32x解：零點(diǎn)分類討論法： 分別令 解得： 在數(shù)軸上，-3和2就把數(shù)軸分成了三部分，如右上圖當(dāng)時，（去絕對值符號）原不等式化為：當(dāng)時，（去絕對值符號）原不等式化為：當(dāng)時，（去絕對值符號）原不等式化為：5=10yo2x由

14、得原不等式的解集為：（注：是把的解集并在一起）函數(shù)圖像法：令則有：在直角坐標(biāo)系中作出此分段函數(shù)及的圖像如圖由圖像可知原不等式的解集為：2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為，f(x)=ax2+bx+c,那么：對稱軸x=yox若兩根都大于0，即，則有對稱軸x=oxy若兩根都小于0，即，則有oyx若兩根有一根小于0一根大于0，即，則有X=nxmoy若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間，即，則有X=yomtnx若兩個根在三個實(shí)數(shù)之間，即，則有常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)例如：若方程有兩個正實(shí)數(shù)根，求的取值范圍。解：由型得所以方程

15、有兩個正實(shí)數(shù)根時，。又如：方程的一根大于1，另一根小于1，求的范圍。解：因?yàn)橛袃蓚€不同的根，所以由35、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序數(shù)對，所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)若，則點(diǎn)在直線的上方若，則點(diǎn)在直線的下方39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線（一）由B確定：若，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域若，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域（二）由A的符號來確定：先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：若是“>”號，則所表示的區(qū)域?yàn)橹本€l:的右邊部分。若是“<”號，則所表示的區(qū)域?yàn)橹本€l:的左邊部分。（三）確定不等式組所表示區(qū)域的步驟：畫線：畫出不等式所對應(yīng)的方程所表示的直線定測：由上面（一）（二）來確定求交：取出滿足各個不等式所表示的區(qū)域的公共部分。例題：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域。解：略40、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或