因子分析法詳解和實(shí)例

1、第 12 章因子分析12.1 因子分析的理論與方法12.1.1 因子分析的基本思想多元統(tǒng)計(jì)分析處理的是多變量問(wèn)題。由于變量較多,增加了分析問(wèn)題的復(fù)雜性。但在實(shí)際問(wèn)題中,變量之間可能存在一定的相關(guān)性,因此,多變量中可能存在信息的重疊。人們自然希望通過(guò)克服相關(guān)性、重疊性,用較少的變量來(lái)代替原來(lái)較多的變量,而這種代替可以反映原來(lái)多個(gè)變量的大部分信息,這實(shí)際上是一種“降維”的思想。因子分析(factor analysis就是一種降維、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系,探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu),并用少數(shù)幾個(gè)“抽象”的變量來(lái)表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)抽象的變量被稱作“因子”,能反映原

2、來(lái)眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測(cè)的顯在變量,而因子一般是不可觀測(cè)的潛在變量。例如,在商業(yè)企業(yè)的形象評(píng)價(jià)中,消費(fèi)者可以通過(guò)一系列指標(biāo)構(gòu)成的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系,評(píng)價(jià)百貨商場(chǎng)的各個(gè)方面的優(yōu)劣。但消費(fèi)者真正關(guān)心的只是三個(gè)方面:商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價(jià)格。這三個(gè)方面除了價(jià)格外,商店的環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量,都是客觀存在的、抽象的影響因素,都不便于直接測(cè)量,只能通過(guò)其它具體指標(biāo)進(jìn)行間接反映。因子分析是一種通過(guò)顯在變量測(cè)評(píng)潛在變量,通過(guò)具體指標(biāo)測(cè)評(píng)抽象因子的統(tǒng)計(jì)分析方法。又比如,在研究區(qū)域社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中,描述社會(huì)與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)很多,過(guò)多的指標(biāo)容易導(dǎo)致分析過(guò)程復(fù)雜化。一個(gè)合適的做法就是從這些關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)

3、雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中提取少數(shù)幾個(gè)主要因子,每一個(gè)主要因子都能反映相互依賴的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)間共同作用,抓住這些主要因素就可以幫助我們對(duì)復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展問(wèn)題進(jìn)行深入分析、合理解釋和正確評(píng)價(jià)。12.1.2 因子分析的數(shù)學(xué)模型因子分析中的公共因子是不可直接觀測(cè)但又客觀存在的共同影響因素,每一個(gè)變量都可以表示成公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和,即1122iiiimmXaFaFaF=+L,(1,2,ip=L式中的,稱為公共因子,1FL,2FmFi稱為的特殊因子。該模型可用矩陣表示為:iXXAF=+這里12pXXXX.=.M,111212122212mmpppmaaaaaaAaaa. .=.LLLLLLL12

4、mFFFF.=.M,12p.=.M且滿足:(1; mp(2(,0CovF=,即公共因子與特殊因子是不相關(guān)的;(3101(01FmDDFI.=.O,即各個(gè)公共因子不相關(guān)且方差為1;(4212220(0pDD.=.O,即各個(gè)特殊因子不相關(guān),方差不要求相等。模型中的矩陣A稱為因子載荷矩陣,稱為因子“載荷”,是第i個(gè)變量在第ijaj個(gè)因子上的負(fù)荷,如果把變量iX看成維空間中的一個(gè)點(diǎn),則表示它在坐標(biāo)軸上的投影。 mijajF 12.1.3 因子載荷陣的求解因子載荷陣的求解方法有很多,這里僅介紹最為常用的主成分分析法。為了節(jié)省篇幅,不加證明地給出使用主成分分析法求解因子載荷陣的一般步驟:1. 計(jì)算原始數(shù)據(jù)

5、的協(xié)差陣。2. 計(jì)算協(xié)差陣的特征根為,相應(yīng)的單位特征向量為。 10pL12,pTTTL3. 利用的特征根和特征向量計(jì)算因子載荷陣:1122(,ppATTT=L由于因子分析的目的是減少變量個(gè)數(shù),因此,因子數(shù)目m應(yīng)小于原始變量個(gè)數(shù)p。所以在實(shí)際應(yīng)用中,僅提取前個(gè)特征根和對(duì)應(yīng)的特征向量,構(gòu)成僅包含個(gè)因子的因子載mm1122(,mmATTT=L12.1.4 因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義1. 因子載荷對(duì)于因子模型1122iiiijjimmXaFaFaFaF=+LL 1,2,ip=L 我們可以得到,iX與的協(xié)方差為: jF(,(,mijikkijkmikkjijkijCovXFCovaFFCovaFFCovFa=

6、+=+=如果對(duì)iX作了標(biāo)準(zhǔn)化處理,iX的標(biāo)準(zhǔn)差為1,且的標(biāo)準(zhǔn)差為1,因此 jF,(,(,(ijijXFijijijCovXFrCovDXDF=那么,從上面的分析,我們知道對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化后的iX,是ijaiX與的相關(guān)系數(shù),它一方面表示jFiXjF對(duì)的依賴程度,絕對(duì)值越大,密切程度越高;另一方面也反映了變量jFiX對(duì)公共因子的相對(duì)重要性。了解這一點(diǎn)對(duì)我們理解抽象的因子含義,即因子命名,有非常重要的作用。2. 變量共同度設(shè)因子載荷矩陣為A,稱第i行元素的平方和2211,2,miijjhai=L為變量iX的共同度。由因子模型,知22211222221222(iiiimmiiiimiiiDXaDFaDFaD

7、FDaaaVarh=+=+=+LL上式說(shuō)明,變量iXi的方差由兩部分組成:第一部分為共同度,它描述了全部公共因子對(duì)變量2ihiX的總方差所作的貢獻(xiàn),反映了變量iX的方差中能夠被全體因子解釋的部分。第二部分為特殊因子對(duì)變量iX的方差的貢獻(xiàn),也就是變量iX的方差中沒(méi)有被全體因子解釋的部分。變量共同度越高,說(shuō)明該因子分析模型的解釋能力越高。3. 因子的方差貢獻(xiàn)設(shè)因子載荷矩陣為A,稱第j列元素的平方和2211,2,pjijigaj=L為因子對(duì)jFX的貢獻(xiàn),即表示同一因子對(duì)各變量所提供的方差貢獻(xiàn)之總和,它是衡2jgjF量每一個(gè)因子相對(duì)重要性的一個(gè)尺度。由12.1.3節(jié)因子載荷陣的表達(dá)式:1122(,mm

8、ATTT=L可知,A中第j列元素的平方和為(jjjjjjjjTTTTjT(是單位特征向量,即有221pjijiag=這說(shuō)明,第j個(gè)公因子的方差貢獻(xiàn)就等于樣本協(xié)差陣的第2jgj大特征根。在實(shí)際應(yīng)用中,有兩種常用的確定因子提取個(gè)數(shù)m的方法。一是僅提取方差貢獻(xiàn)(2jgj大于1的因子;而是利用因子的累積方差貢獻(xiàn)率11pm來(lái)確定公因子提取的個(gè)數(shù),也就是尋找一個(gè)使得11pmjjj=達(dá)到較大百分比的自然數(shù)。 m12.1.5 因子命名與因子旋轉(zhuǎn)因子分析的目標(biāo)之一就是要對(duì)所提取的抽象因子的實(shí)際含義進(jìn)行合理解釋,即對(duì)因子進(jìn)行命名。有時(shí)直接根據(jù)特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如,可能同一個(gè)

9、變量在多個(gè)公共因子上都有較大的載荷,也可能多個(gè)變量在同一個(gè)公共因子上都有較大載荷,說(shuō)明該因子對(duì)多個(gè)變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而很難對(duì)因子的實(shí)際背景進(jìn)行合理的解釋。這時(shí)需要通過(guò)因子旋轉(zhuǎn)的方法,使每個(gè)變量?jī)H在一個(gè)公共因子上有較大的載荷,而在其余的公共因子上的載荷比較小,至多達(dá)到中等大小。這時(shí)對(duì)于每個(gè)公共因子而言(即載荷矩陣的每一列,它在部分變量上的載荷較大,在其它變量上的載荷較小,使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離。這時(shí)就突出了每個(gè)公共因子和其載荷較大的那些變量的聯(lián)系,該公共因子的含義也就能通過(guò)這些載荷較大的變量做出合理的說(shuō)明。因子旋轉(zhuǎn)方法有正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)兩類,這里

10、我們重點(diǎn)介紹正交旋轉(zhuǎn)。對(duì)公共因子作正交旋轉(zhuǎn)就是對(duì)載荷矩陣作一正交變換,右乘正交矩陣A,使得旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣有更鮮明的實(shí)際意義。旋轉(zhuǎn)以后的公共因子向量為BA=*12,FFB*F=,它的各個(gè)分量也是互不相關(guān)的公共因子。根據(jù)正交矩陣*,mFL的不同選取方式,將構(gòu)造出不同的正交旋轉(zhuǎn)的方法。實(shí)踐中常用的方法是最大方差旋轉(zhuǎn)法,其原理是使得旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣的每一列元素的方差之和達(dá)到最大,從而實(shí)現(xiàn)使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離的目的。值得說(shuō)明的是,旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣B與旋轉(zhuǎn)前的因子載荷陣相比,各因子的方差貢獻(xiàn)發(fā)生了變化,已經(jīng)不再等于樣本協(xié)差陣的第A2jgj大特征根,但提取出的全部個(gè)因子m的

11、總方差貢獻(xiàn)率211pmjjjg=卻不會(huì)改變,仍然等于11pmjjj=另外,因子旋轉(zhuǎn)在改變因子載荷陣的同時(shí),也改變了因子得分。12.1.6 因子得分因子得分是因子分析的最終體現(xiàn)。當(dāng)因子載荷陣確定以后,便可以計(jì)算各因子在每個(gè)樣本上的具體數(shù)值,稱為因子得分。得到了因子得分之后,就可以像主成分分析那樣,用因子得分來(lái)代替原始變量,從而達(dá)到降維的效果。在因子分析模型XAF=+F中,如果不考慮特殊因子的影響,當(dāng)且mp=FA可逆時(shí),我們可以非常方便地從每個(gè)樣品的指標(biāo)取值X計(jì)算出其在因子上的相應(yīng)取值:,即該樣品在因子上的“得分”情況,簡(jiǎn)稱為該樣品的因子得分。 1FAX.=但是因子分析模型在實(shí)際應(yīng)用中要求mp&l

12、t;,因此,不能精確計(jì)算出因子的得分情況,只能對(duì)因子得分進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)因子得分的方法也有很多,常用的方法包括回歸法(Regression、巴特萊特法(Bartlett、安德森-魯賓法(Anderson-Rubin等?？梢宰C明,如果使用回歸法,則因子得分可以由下面的式子給出:1FAX.=其中,為樣本協(xié)差陣。稱mp×的矩陣1WA.=為因子得分系數(shù)矩陣。應(yīng)該注意,如果因子載荷陣經(jīng)過(guò)了旋轉(zhuǎn),則上式中的因子載荷陣應(yīng)該是旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。A12.1.7 因子分析的出發(fā)點(diǎn)從前面的介紹我們知道,因子分析的一切計(jì)算都是從樣本協(xié)差陣出發(fā)的,其結(jié)果受變量單位的影響。不同的變量往往有不同的單位,對(duì)同一變量

13、單位的改變會(huì)產(chǎn)生不同的因子分析結(jié)果。為使因子分析能夠均等地對(duì)待每一個(gè)原始變量,消除由于單位的不同可能帶來(lái)的影響,我們常常先將各原始變量作標(biāo)準(zhǔn)化處理,即令*(iiiXEXXDX.= 1,ip=L可以證明,經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)*1(,pXXX=L的協(xié)方差矩陣就是X的相關(guān)系數(shù)矩陣R。也就是說(shuō),如果因子分析的一切計(jì)算都直接從樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R而不是協(xié)差陣出發(fā)的話,就等價(jià)于先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,然后再?gòu)膮f(xié)差陣出發(fā)進(jìn)行因子分析。12.2 因子分析的實(shí)例本例中采用的是2003年滬、深兩市證券交易所48家上市公司的13個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)數(shù)據(jù)。13個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)分別為:流動(dòng)比率(X1、速動(dòng)比率(X2、總資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率(X3、存貨周轉(zhuǎn)

14、率(X4、營(yíng)運(yùn)資本(X5、每股收益(X6、凈利潤(rùn)增長(zhǎng)率(X7、每股收益增長(zhǎng)率(X8、主營(yíng)業(yè)務(wù)毛利率(X9、主營(yíng)業(yè)務(wù)利潤(rùn)率(X10、成本費(fèi)用利潤(rùn)率(X11、凈資產(chǎn)收益率(X12、總資產(chǎn)利潤(rùn)率(X13。這些指標(biāo)有些之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性,如果利用所有的13個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)對(duì)這50家公司進(jìn)行財(cái)務(wù)分析,難免出現(xiàn)信息的重疊,而利用因子分析可以解決這個(gè)問(wèn)題。12.2.1 SPSS操作步驟1. 選擇菜單項(xiàng)AnalyzeData ReductionFactor,打開(kāi)Factor Analysis對(duì)話框,如圖 12-1。將原始變量x1x13移入Variables列表框框中。如果不想使用全部的樣本進(jìn)行分析,且數(shù)據(jù)文件中存

15、在一個(gè)選擇變量的話,將該選擇變量移入Selection Variable 框中,并單擊右邊的Value按鈕,在跳出的窗口中輸入一個(gè)篩選值,這樣,只有選擇變量的值等于輸入的篩選值的觀測(cè)才能參與因子分析。圖 12-1 Factor Analysis對(duì)話框2. 點(diǎn)擊Descriptives按鈕,打開(kāi)Descriptives子對(duì)話框,如圖 12-2。該對(duì)話框共有兩個(gè)選項(xiàng)欄,用于設(shè)置輸出的結(jié)果。Statistics選項(xiàng)欄中,Univariate descriptives表示輸出原始變量的基本描述統(tǒng)計(jì)量; Initialsolution表示輸出因子分析的初始解,包括樣本協(xié)差陣(相關(guān)系數(shù)矩陣的全部p個(gè)特征根

16、、方差貢獻(xiàn)率以及累積貢獻(xiàn)率。這里選擇Initial solution復(fù)選項(xiàng)。Correlation Matrix選項(xiàng)欄用于指定輸出衡量原始變量之間相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)量和統(tǒng)計(jì)表。如前所述,因子分析的目的是從眾多的原始變量中綜合出少數(shù)具有代表性的因子,這里就有一個(gè)潛在的前提,即原始變量之間應(yīng)該具有較強(qiáng)的相關(guān)性,否則因子分析就失去了必要性。Correlation Matrix選項(xiàng)欄中各選項(xiàng)的含義如下:. Coefficients:給出原始變量之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)矩陣;. Significance levels:給出每個(gè)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn),檢驗(yàn)的原假設(shè)是相關(guān)系數(shù)等于0;. Determinant:給出相關(guān)系

17、數(shù)矩陣的行列式;. Inverse:給出相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣;. Reproduced:再生相關(guān)陣,此項(xiàng)給出因子分析后的的相關(guān)陣,還給出殘差,即原始相關(guān)與再生相關(guān)之間的差值;. Anti-image:給出反映像相關(guān)矩陣,如果原始變量之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性,則反映像相關(guān)矩陣對(duì)角線上元素的值接近于1,其他元素絕對(duì)值均較小;. KMO and Bartletts test of sphericity:給出KMO檢驗(yàn)和Bartlett球形檢驗(yàn)。KMO統(tǒng)計(jì)量的取值在0和1之間,KMO值越接近于0表明原始變量相關(guān)性越弱,越接近于1表明原始變量相關(guān)性越強(qiáng),通常認(rèn)為KMO的度量標(biāo)準(zhǔn)是:0.9以上表示非常適合進(jìn)行

18、因子分析,0.8以上表示比較適合,0.7表示一般,0.6表示不太適合,0.5以下表示極不適合。Bartlett球形檢驗(yàn)的原假設(shè)是:原始變量的相關(guān)系數(shù)矩陣是單位陣,即主對(duì)角線元素為1,其他元素均為0。在本例中,我們選擇Coefficients、Significance levels和KMO and Bartletts test of sphericity三個(gè)選項(xiàng)。圖 12-2 Descriptives子對(duì)話框3. 點(diǎn)擊Extraction按鈕,打開(kāi)Extraction子對(duì)話框,如圖 12-3,設(shè)置有關(guān)因子提取的選項(xiàng)。在Principal components,即“主成分法”。在Analyze選項(xiàng)

19、欄中指定用于提取因子的分析矩陣,分別為相關(guān)系數(shù)矩陣(ix和協(xié)方差矩陣(Covariance matrix。如果選擇相關(guān)系數(shù)矩陣,則表示首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,然后再進(jìn)行因子分析;如果選擇協(xié)方差矩陣,則表示直接對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析。這里我們選擇默認(rèn)的相關(guān)系數(shù)矩陣。在Display選項(xiàng)欄中指定與因子提取有關(guān)的出旋轉(zhuǎn)前的因子方差貢獻(xiàn)表和旋轉(zhuǎn)前的因子載荷陣;Scree Plot表示輸出因子碎石圖。因子碎石圖其實(shí)就是樣本協(xié)差陣的特征根按大小順序排列的折線圖,可以用來(lái)幫助確定提取多少個(gè)因子。典型的碎石圖會(huì)有一個(gè)明顯的拐點(diǎn),拐點(diǎn)之前是較大特征根連接形成的陡峭折線,拐點(diǎn)之后是較小特征根連接形成的平緩折線,

20、一般選擇拐點(diǎn)之前的特征根數(shù)目為提取因子的數(shù)目。這里我們將兩個(gè)選項(xiàng)都選中。在Extract選項(xiàng)欄中指定因子提取的數(shù)輸入框中設(shè)置提取的因子對(duì)應(yīng)的特征值的范圍,系統(tǒng)默認(rèn)值為1,即要求提取那些特征值大于1的因子;第二種設(shè)置方法是直接在Number of factors后的輸入框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們保持默認(rèn)選項(xiàng)。圖 12-3 Extraction子對(duì)話框4. 點(diǎn)擊Rotation按鈕,打開(kāi)Rotation子對(duì)話框,如圖 12-4,設(shè)置有關(guān)因子旋轉(zhuǎn)的選項(xiàng)。Method選項(xiàng)欄用于設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法,可供選擇的方法包括方差最大旋轉(zhuǎn)法(Varimax、直接斜交旋轉(zhuǎn)法(Direct Oblimi

21、n、四次方最大正交旋轉(zhuǎn)法(Quartmax、平均正交旋轉(zhuǎn)法(Equamax、斜交旋轉(zhuǎn)法(Promax,如果選擇None選項(xiàng),則不進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。Display選項(xiàng)欄用于設(shè)置與因子旋轉(zhuǎn)有關(guān)的輸出項(xiàng)。其中,Rotated factor solutions表示輸出旋轉(zhuǎn)后的因子方差貢獻(xiàn)表和旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣;Loading plots表示輸出旋轉(zhuǎn)后的因子載荷散點(diǎn)圖圖,旋轉(zhuǎn)后因子散點(diǎn)圖是以因子為坐標(biāo)軸,以旋轉(zhuǎn)后因子載荷為坐標(biāo)的散點(diǎn)圖,從該散點(diǎn)圖中可以直觀地觀察因子載荷在各因子上的分布狀況。這里我們?cè)贛ethod選項(xiàng)欄中選擇Varimax(方差最大旋轉(zhuǎn),并選擇Display欄中的Rotated solution

22、復(fù)選框。圖 12-4 Rotation子對(duì)話框5. 點(diǎn)擊Scores按鈕,打開(kāi)Factor Scores子對(duì)話框,如圖 12-5,設(shè)置有關(guān)因子得分的選項(xiàng)。選因子則會(huì)在數(shù)據(jù)文件中保存幾個(gè)因子得分變量,變量名為“facm_n”,其中,m表示第m個(gè)因子,n表示進(jìn)行第n次因子分析的結(jié)果。選中Display factor score coefficient matrix復(fù)選數(shù)矩陣。圖 12-5 Factor Scores子對(duì)話框6. 點(diǎn)擊Options按鈕,打開(kāi)Options子對(duì)話框,如圖 12-6,設(shè)置對(duì)缺失值的處理方法和因子載荷陣的顯示方法。Missing values選項(xiàng)欄用于設(shè)置對(duì)缺失值的處理方

23、法。其中,Exclude case listwise表示如果某個(gè)觀測(cè)的所有分析變量中只要由一個(gè)帶有缺失值,則這個(gè)觀測(cè)就不參與分析;Exclude case pairwise表示在計(jì)算兩個(gè)變量的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)時(shí),只把這兩個(gè)變量中帶有缺失值的觀測(cè)刪除,即如果一個(gè)觀測(cè)在正在進(jìn)行相關(guān)系數(shù)計(jì)算的變量中沒(méi)有缺失值,則即使其它變量中有缺失值,也不影響它參與計(jì)算;Replace with mean表示如果某變量存在缺失值,則用該變量的均值替代缺失值。Coefficient Display Format選項(xiàng)欄用于設(shè)置因子載荷陣的顯示方式。其中,Sorted by size 表示因子載荷陣按照因子載荷的大小順序

24、排列,使同一因子上具有較大載荷的變量排在一起,便于觀察;Suppress absolute values less than表示不顯示絕對(duì)值太小的因子載荷,如果提取的因子很多,則該選項(xiàng)可以突出載荷較大的變量,便于觀察。圖 12-6 Options子對(duì)話框7. 在主對(duì)話框中單擊OK按鈕,執(zhí)行因子分析命令。12.2.2 實(shí)例結(jié)果分析2-1和表 12-2給出了原始變量之間的相關(guān)性檢驗(yàn)結(jié)果。2-1的上半部分是原始變量的相關(guān)系數(shù)矩陣,可以看到,矩陣中存在許多比較高的相關(guān)系數(shù);表 12-1的下半部分是相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的p值,其中存在大量的小于0.05的值,這些都說(shuō)明原始變量之間存在著較強(qiáng)的相關(guān)性,具有進(jìn)

25、行因子分析的必要性。2-2給出了KMO檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與Bartlett球形檢驗(yàn)結(jié)果。KMO統(tǒng)計(jì)量等于0.718,Bartlett球形檢驗(yàn)的p值為0.000,這些也都說(shuō)明本例中的數(shù)據(jù)比較適合進(jìn)行因子分析。表 12-1 相關(guān)系數(shù)矩陣及相關(guān)顯著性檢驗(yàn)CorrelationMatrix1.000.861-.05-.2.733.127.112.153.084.158.240.177.172.8611.0.105.082.917.35 1.261.263.233.345.427.378.409-.054.1051.0.746.136.602.327.337.0.357.397.587.581-.166.082

26、.7461.0.121.522.306.319.009.318.408.538.541.733.917.136.1211.0.354.266.2 42.192.307.367.348.393.127.351.602.522.3541.0.598.560.470.777.777.933.952.112.26 1.327.306.266.5981.0.958.197.363.464.625.565.153.263.337.319.242.560.9581.0.223. 293.533.633.546.084.233-.02.009.192.470.197.2231.0.499.643.530.55

27、3.158.345.357.318.307.777.363. 293.4991.0.819.834.819.240.427.397.408.367.777.464.533.643.8191.0.906.867.177.37 8.587.538.348.933.625.633.530.834.9061.0.965.172.409.581.541.393.952.565.546.553 .819.867.9651.0.000.359.130.000.194.224.150.285.142.050.114.121.000.240.289.000. 007.036.036.055.008.001.00

28、4.002.359.240.000.178.000.012.010.455.006.003.000.000. 130.289.000.206.000.017.014.477.014.002.000.000.000.000.178.206.007.034.049.095. 017.005.008.003.194.007.000.000.007.000.000.000.000.000.000.000.224.036.012.017. 034.000.000.090.006.000.000.000.150.036.010.014.049.000.000.064.022.000.000.000. 28

29、5.055.455.477.095.000.090.064.000.000.000.000.142.008.006.014.017.000.006.022. 000.000.000.000.050.001.003.002.005.000.000.000.000.000.000.000.114.004.000.000. 008.000.000.000.000.000.000.000.121.002.000.000.003.000.000.000.000.000.000.000X 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13

30、CorrelationSig.X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13表 12-2 KMO檢驗(yàn)與Bartlett球形檢驗(yàn)KMO and Bartlett's Test.718839.69378.000Kaiser-Meyer-Olkin Measure of SamplingAdequacy.Approx. Chi-SquaredfSig.Bartlett's Test ofSphericity2-3給出了13個(gè)原始變量的變量共同度。變量共同度反映每個(gè)變量對(duì)提取出的所有公共因子的依賴程度。從表 12-3來(lái)看,幾乎所有的變量共同度都在80%甚至90%以上,說(shuō)明

31、提取的因子已經(jīng)包含了原始變量的大部分信息,因子提取的效果比較理想。表 12-3 變量共同度Communalities1.000.8771.000.9651.000.8581.000.8251.000.8781.000.8901.000.9731.00 0.9801.000.7841.000.8091.000.8851.000.9741.000.956X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13 InitialExtractionExtraction Method: Principal Component Analysis.2-4給出了因子分析各個(gè)階段的特征根與方差貢獻(xiàn)表。其中,

32、Initial Eigenvalues欄給出初始的樣本相關(guān)系數(shù)矩陣或協(xié)差陣的特征根,用于確定哪些因子應(yīng)該被提取,共有三項(xiàng): Total列為各因子對(duì)應(yīng)的特征根,本例中共有4個(gè)因子對(duì)應(yīng)的特征根大于1,因此應(yīng)提取相應(yīng)的四個(gè)公因子;% of Variance列為各因子的方差貢獻(xiàn)率; Cumulative %列為各因子的累積方差貢獻(xiàn)率。Extraction Sums of Squared Loadings欄給出提取出的因子方差貢獻(xiàn)表,提取出的4個(gè)因子按方差貢獻(xiàn)的大小自上而下列出。同時(shí)可以看出,前四個(gè)因子已經(jīng)可以解釋原始變量89.651%的方差,已經(jīng)包含了大部分的信息。Rotation Sums of S

33、quared Loadings欄給出提取出的公因子經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻(xiàn)情況。從中可以看到,由于經(jīng)過(guò)了旋轉(zhuǎn),4個(gè)因子的方差貢獻(xiàn)已經(jīng)發(fā)生了變量,但是4個(gè)因子總的累積方差貢獻(xiàn)率并沒(méi)有改變,依然是89.651%。表 12-4 特征根與方差貢獻(xiàn)表Total Variance Explained6.64451.10651.1066.64451.10651.1064.16432.03232.0322.39318.40569.5112.3 9318.40569.5112.76721.28253.3141.41110.85380.3641.41110.85380.3642.45618.89372.2 071.2

34、079.28789.6511.2079.28789.6512.26817.44389.651.4433.41093.061.2862.20495.26 5.2632.02297.287.1491.14598.432.106.81999.252.044.33699.588.031.23999.827.017.12 799.954.006.046100.000Component12345678910111213Total%ofVarianceCumulative%Total% ofVarianceCumulative%Total% ofVarianceCumulative% Initial Eig

35、envaluesExtraction Sums of SquaredLoadingsRotation Sums of SquaredLoadingsExtraction Method: Principal Component Analysis.2-7給出了因子的碎石圖。圖中橫坐標(biāo)為因子的序號(hào),縱坐標(biāo)為相應(yīng)特征根的值。從圖中可以看到,第4個(gè)因子以前的特征根普遍較高,連接成了陡峭的折線,而第4個(gè)因子之后的特征根普遍較低,連接成了平緩的折線,這進(jìn)一步說(shuō)明提取4個(gè)因子是比較適當(dāng)?shù)?。Scree PlotComponent Number13121110987654321Eigenvalue76543210

36、圖 12-7 因子碎石圖2-5給出旋轉(zhuǎn)前的因子載荷陣,根據(jù)該表可以寫(xiě)出每個(gè)原始變量的因子表達(dá)式:11232123312340.3090.8690.1480.0550.5430.7930.1550.1310.5810.4060.4190.424XFFFXFF FXFFF=+=+=.+從表 12-5可以看出,每個(gè)因子在不同原始變量上的載荷沒(méi)有明顯的差別,為了便于對(duì)因子進(jìn)行命名,還需要對(duì)因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。表 12-5 旋轉(zhuǎn)前的因子載荷陣ComponentMatrixa.970-.155-.096.008.957-.126-.126.088.924-.174-.055.056.894-.016-.2

37、91.006. 802-.053-.374.151.678-.112.364-.606.676-.103.366-.614.581-.406.419.424.542-.450. 393.418.309.869.148.055.543.793.155.131.519.735.206.160.529.062-.687-.168X12X13X 6X11X10X7X8X3X4X1X2X5X91234ComponentExtraction Method: Principal Component Analysis.4 components extracted.a.2-6給出旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣,從表中可以看

38、出,經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后的載荷系數(shù)已經(jīng)明顯地兩極分化了。第一個(gè)公共因子在指標(biāo)X6、X9、X10、X11、X12、X13上有較大載荷,說(shuō)明這6個(gè)指標(biāo)有較強(qiáng)的相關(guān)性,可以歸為一類,從財(cái)務(wù)指標(biāo)類型來(lái)看這六個(gè)指標(biāo)屬于公司獲利能力指標(biāo),因此可以把第一個(gè)因子命名為“獲利因子”;第二個(gè)公共因子在指標(biāo)X1、X2、X5上有較大載荷,同樣可以歸為一類,這三個(gè)指標(biāo)同屬于公司變現(xiàn)能力指標(biāo),因此可以把第二個(gè)因子命名為“變現(xiàn)因子”;同理,X3和X4歸到第三類,屬于公司運(yùn)營(yíng)能力指標(biāo),因此把第三個(gè)因子命名為“運(yùn)營(yíng)因子”;X7和X8歸到第四類,屬于公司成長(zhǎng)能力指標(biāo),因此可以把第四個(gè)因子命名為“成長(zhǎng)因子”。表 12-6 旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣

39、Rotated Component Matrixa.848.214.235.254.845.157.255.069.843.032-.267.049.793.193.445.302.782.163 .431.387.724.150.470.350.221.950.051.104.047.925-.130.050.174.909.109.101.183.01 3.895.152.176-.046.880.134.232.110.157.943.236.104.166.938X11X10X9X13X12X6X2X1X5 X3X4X8X71234ComponentExtraction Method:

40、 Principal Component Analysis.Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization.Rotation converged in 5 iterations.a.2-7給出了使用正交旋轉(zhuǎn)法對(duì)因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)使用的正交矩陣。若用A表示旋轉(zhuǎn)前的因子載荷陣,用B表示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣,則有:BA=表 12-7 因子旋轉(zhuǎn)中的正交矩陣Component Transformation Matrix.724.334.423.430-.089.891-.428-.121-.683.246.529.440.028.185.598-.7

41、79Compo nent12341234Extraction Method: Principal Component Analysis.Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization.2-8給出了因子得分系數(shù)矩陣W,根表中的因子得分系數(shù)和原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值就可以計(jì)算每個(gè)觀測(cè)值的各因子的得分。本例中旋轉(zhuǎn)后的因子得分表達(dá)式可以寫(xiě)成:120.06910.04220.11530.10540.06750.13560.11270.11480.38490.274100.239110.158120.1 72130.37410.37020.01630.008

42、40.36050.02060.03770.03580.09690.021100.011FXXXXXXXXX XXXXFXXXXXXXXXX=.+.+=+.+.110.025120.00713XXX.由于我們?cè)贔actor Scores子對(duì)話框中選擇了Save as variables復(fù)選框,所以,在數(shù)據(jù)文件中會(huì)生成4個(gè)因子得分變量,變量名分別為:fac1_1、fac2_1、fac3_1、fac4_1。這里有兩點(diǎn)值得注意的地方:(1由于我們是以相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行因子分析,所以,因子得分表達(dá)式中的各變量X1-X13應(yīng)該是經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換后的標(biāo)準(zhǔn)變量,均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1。(2由于因子載荷陣經(jīng)過(guò)

43、了旋轉(zhuǎn),所以,因子得分是不是利用初始的因子載荷陣,而是利用旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣計(jì)算得到的。表 12-8 因子得分系數(shù)矩陣WComponent Score Coefficient Matrix-.069.374-.053-.013-.042.370.016-.041-.115.016.477-.085-.105-.008.469-.090 -.067.360.058-.042.135-.020.097.015-.112-.037-.100.554-.114-.035-.106.560.384-.0 96-.318-.075.274-.021-.005-.160.239-.011-.046-.036.158-.025.058.035.172-.007.080 -.028X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X131234ComponentExtraction Method: Principal Comp