氣體動(dòng)理論基礎(chǔ)

1、氣體動(dòng)理論基礎(chǔ)（二）上節(jié)課回顧:一、 理想氣體的狀態(tài)方程：PV RT，適用條件1）、理想氣體；2）、 平衡態(tài)理想氣體的狀態(tài)方程也可表示為P nKT，因此，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下（P 1atm,T 273.15K），任何氣體（不管結(jié)構(gòu)如何）的分子數(shù)密度 n相同。二、 理想氣體的壓強(qiáng)公式：P=-n_。1）、式中=丄口,為氣體分子平32均平動(dòng)動(dòng)能，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值；2）、壓強(qiáng)具有統(tǒng)計(jì)平均意義。三、 溫度與平均平動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系：一 = |kt , 1）、T也有統(tǒng)計(jì)平均的意 義。2）、 與氣體分子的種類無關(guān)，只與T有關(guān)。3）、對(duì)單原子分子k =（只有平動(dòng)）；對(duì)二原子以上氣體分子，只是:的一部分。四、方均根速率：JV

2、2 J（3KT f3RT 1.73、旦。1）、對(duì)同類氣體分 m 斗 M moi m子，方均根速率之比就是JT之比；2）、在T 一定的情況下，方均根速率之 比就是一1 之比。:<M mol五、能量按自由度均分原理：在平衡狀態(tài)下，由于氣體分子無規(guī)則運(yùn) 動(dòng)的結(jié)果，任何一種可能的運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)等）都不比其它運(yùn)動(dòng) 更占優(yōu)勢(shì)，且無論哪一種運(yùn)動(dòng)來說，相應(yīng)于每一個(gè)可能的自由度平均動(dòng)能都相等，且為1 KT。對(duì)理想氣體分子而言，氣體分子的平均總動(dòng)能一二丄kT2 2對(duì)單原子氣體分子："=3kT=_2對(duì)雙原子氣體分子："=5kT2對(duì)三原子或三原子以上氣體分子：-=6kT = 3kT2

3、思考題：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，總質(zhì)量為M= 0.5kg的氧氣的平均平動(dòng)動(dòng)能是多少？平均總動(dòng)能又是多少？(在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，P=1atm, T=273.15K)解：注意區(qū)分氧氣和氧氣分子。氧氣的總分子數(shù)N=M；N0 ;總平均平 動(dòng)動(dòng)能W N 3kT ；平均總能量E = N5kT。)2 2六、理想氣體的內(nèi)能實(shí)驗(yàn)證實(shí)，一般氣體中，分子與分子之間存在著一定的相互作用力， 因此具有一定的勢(shì)能。氣體分子的動(dòng)能量及分子與分子間的勢(shì)能構(gòu)成氣體 內(nèi)部的總能量。稱為氣體的內(nèi)能。對(duì)理想氣體來說，不計(jì)分子與分子之間 的相互作用力，故理想氣體的內(nèi)能只是分子各種運(yùn)動(dòng)能量的總和。根據(jù)理想氣體內(nèi)能的定義：每一個(gè)理想氣體分子的平均總動(dòng)能量

4、-二丄KT，因此2單位體積內(nèi)理想氣體分子的內(nèi)能En n丄KT(8 1)21mol理想氣體分子的內(nèi)能 Emol No-KT丄RT; (82)2 2卩mol理想氣體分子的內(nèi)能E二卩丄RT。(83)2(8 )式表明：理想氣體的內(nèi)能在溫度一定時(shí)，與分子結(jié)構(gòu)有關(guān)(T C,E(i);而對(duì)于給定的某種理想氣體(,i 一定),其內(nèi)能完全取決于 氣體的熱力學(xué)溫度E仃)。這一結(jié)論是與“不計(jì)氣體分子之間的相互作用力” 的假設(shè)一致的。所以，有時(shí)把“理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)”這一 性質(zhì)，視為理想氣體的另一定義。在理解氣體內(nèi)能時(shí)應(yīng)注意的問題：氣體的內(nèi)能與力學(xué)中的機(jī)械能的區(qū)別：氣體的內(nèi)能是分子熱運(yùn)動(dòng)的能 量，它是物質(zhì)

5、的微觀運(yùn)動(dòng)形式，機(jī)械能是大量氣體分子組成的宏觀物體與外界物體發(fā)生宏觀的相對(duì)位移時(shí)的能量。是物質(zhì)的宏觀運(yùn)動(dòng)形式。例: 裝有大量氣體分子的容器靜止在地球表面上時(shí)，大量氣體分子構(gòu)成的物體 的機(jī)械能為零（選勢(shì)能零點(diǎn)在地球表面）。但物體內(nèi)部的分子仍然在運(yùn)動(dòng)著 和相互作用著，內(nèi)能永遠(yuǎn)不會(huì)為零。4022、在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，若氧氣（視為剛性雙原子分子的理想氣體）和氦氣的體積比V 1，求其內(nèi)能之比。V22解：注意是求氧氣和氦氣的內(nèi)能之比，氧氣和氦氣是大量氣體分子構(gòu)成的宏觀物體。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下意為兩氣體的P,T相同，由理想氣體的狀態(tài)方程PV RT，誥舞，所以V； 土 1。故有：E；2瀘5063、當(dāng)氫氣和氦氣的壓強(qiáng)、體積

6、和溫度都相等時(shí)，求它們的質(zhì)量比 和內(nèi)能比。解：由理想氣體的狀態(tài)方程PV RT ， H2 He，HeH 2 M mol (H 2)He M mol (He)2 2；所以質(zhì)量比等于摩爾質(zhì)量比-RT2知:EH 2EHei H 25i He3七、Maxwell分子速率分布定律處于平衡狀態(tài)下的一種氣體，各個(gè)分子各以不同的速率沿各個(gè)方向運(yùn) 動(dòng)著，前面提到的.v2及V只是分子速率的一種統(tǒng)計(jì)平均值，且由于互相 碰撞，每個(gè)分子的速度大小和方向也不斷地變化， 有時(shí)v . v2，有時(shí)v < . v2，因此，個(gè)別分子的運(yùn)動(dòng)情況完全是偶然的，是不容易且不必要掌握的，然而，從大量分子的整體來看，在平衡狀態(tài)下，分子速

7、率卻遵循著一個(gè)完全確定的統(tǒng)計(jì)性分布規(guī)律。有關(guān)規(guī)律是 1859年由Maxwell應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念首先 導(dǎo)出的。怎樣研究平衡狀態(tài)下氣體分子速率分布情況呢？可把速率分成若干 相等的區(qū)間，如0 100m/s;100m/s-200m/s，所謂研究分子速率的分布情 況，就是要知道，氣體在平衡狀態(tài)下，分布在各個(gè)速率區(qū)間之內(nèi)的分子數(shù)， 各占分子總數(shù)的百分率是多少。為了便于比較，將各區(qū)間取的相等，從而 知道，大部分分子分布在哪一個(gè)區(qū)間之內(nèi)，所取得速率區(qū)間愈小，有關(guān)分 布的知識(shí)就愈詳細(xì)，對(duì)分布情況的描述也就愈精確。現(xiàn)約定：N氣體總分子數(shù)N 具有v v v速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)（在平衡狀態(tài)下,v取不同值，N不同，因此 N（

8、v）丄 具有v v v速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分N比。（也可理解為某一分子具有的速率值恰好在 V V V區(qū)間內(nèi)的幾率）一一某單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。這一 N v百分比可用來說明氣體分子按速率分布的規(guī)律。不同的速率區(qū)間，N不同,故一巴也不同。N vMaxwell指出：在熱力學(xué)溫度T時(shí)，處于平衡態(tài)的給定氣體中，某單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比N，可用下式表示:N v2Nm m 竺=4 （）2e 2kT v2（9）N v2 .kT給定氣體意味著m為定值，平衡態(tài)意為T 一定，因此3 mv24 (卄討嚴(yán)2中只有v為變量即4m2 .kT3mv22 2kT 2)e v =

9、 f(v)因此，不同的v，f(v)不一樣，就表明v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占 總分子數(shù)的百分比不一樣。上式稱為Maxwell分子速率分布函數(shù)。由此看出，f (v)實(shí)質(zhì)就是單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分 率。所以，f(v)的數(shù)值是大是小，就表示在這一單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù) 是多是少。例：f (50) < f (200)就表明N個(gè)分子中，具有200m/s速率的分子數(shù)占總 分子數(shù)的比率大于具有50 m/s速率的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。f (v)定量 地反映了給定氣體的分子在溫度 T時(shí)按速率分布的具體情況。若以v為橫坐標(biāo)，f(v)為縱坐標(biāo)，由(9)式可得平衡態(tài)下氣體分子 速率分布的直觀

10、圖像。教材(趙)P209頁圖6.5(a)、(b)把在平衡狀態(tài)下氣體分子速率的分 布情況通過一個(gè)個(gè)小矩形大致地反映出來了。圖(a)中任一小矩形面積為 f(v) v ，表示在速率區(qū)間v v v內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率N(見a、b圖)。很顯然，根據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)，所有矩形面積的總和且=1。N(即：所有小矩形面積之和)。為了把速率分布更細(xì)致地反映出來，應(yīng)將速率區(qū)間盡可能取小，比如(b)圖取的速率區(qū)間比(a)圖小。當(dāng)v- dv ( dv為一無限小量)，相應(yīng)的分子數(shù)為dN。這時(shí)的速率分布曲線為一條平滑的曲線。如圖6.5 (C)所示。速率分布曲線下的總面積：/f （v）dv就表示分布在0 f o整個(gè)速率區(qū)間內(nèi)

11、的全部百分比之和，應(yīng)有：0 f（v）dv 1。這稱為分布函數(shù)f（v）的歸一 化條件。由P 211頁圖6.7 （本圖（b）知：具有很大速率和很小速率的分子數(shù)較 少，因?yàn)閷?duì)應(yīng)于速率很大或很小時(shí)的f（v）小，表明在v附近單位速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比小。具有中等速率的分子數(shù)百分率卻很高。2、最可幾速率（最概然速率）P211 （趙）圖6.7曲線上（見本圖（b），有一最大值，與其對(duì)應(yīng)的速 率vp稱最可幾速率（教材稱為最概然速率）。其物理意義可從兩個(gè)角度考慮（1）對(duì)大量分子N而言，在一定溫度下，氣體分子在含有 Vp的那個(gè)單 位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。（2）對(duì)個(gè)別分子而言，按概

12、率表述為：某一分子的速率取含有 Vp的那個(gè)速率區(qū)間內(nèi)的值的概率最 大。根據(jù)Maxwell分子速率分布定律，可求得 Vp。Vp為f（v）的極值，令 業(yè)0得：'2kT:2RT 141/m Mmol. VRTpMmoldv(10)v3、不同溫度下分子速率分布情況教材P212圖6.8 （本圖（c）圖）表明的是同一氣體在不同溫度下（73k,273k,1273k）的 Maxwell氣體分子速率的分布情況，我們注意到，當(dāng) 溫度升高時(shí)，氣體分子的速率普遍增大，整個(gè)曲線右移。Vp增大了，f（v）的 最大值減小了【f （V）的最大值減小表明：總分子數(shù)中具有與最可幾速率值 接近的分子數(shù)減少】。但圖中曲線下總

13、面積是不變的。所以，分布曲線在寬 度增大的同時(shí)，高度降低，整個(gè)曲線將顯得平坦些。4、不同質(zhì)量的氣體分子速率分布從Vp的表達(dá)式Vp J2kT知，當(dāng)T 定時(shí)，m，Vp 。趙圖6.9表明，V m在T 一定時(shí)，不同種類的氣體，隨著氣體分子的質(zhì)量增大，速率分布曲線 中的Vp向量值減小的方向遷移，所以，分布曲線寬度變窄，高度增大，即 曲線隨分子質(zhì)量變大而左移。5、比較三種速率按統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)，平均速率v VV2，根據(jù)Maxwell分子速 率分布定律，也可求得v :v °vf(v)dv ：m.8RT 1.60 RT M molMmol量（6）前面介紹的方均根速率.V2，MRmT.3mT焙比較（6）、（

14、 10）、（ 11）知.打最大，V.次之，Vp最小。若在圖中定 性畫出三個(gè)速率值，應(yīng)以Vp為基準(zhǔn)，向右大致畫出V, V2。V這三種速率就不同的問題有各自的應(yīng)用，如在計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)的平均距離時(shí)，要用到V，在討論速率分布時(shí)，要用到 Vp，在計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)，則要用到、孑。4560、圖示為氫分子和氧分子在相同溫度下的Maxwell速率分布曲線,求氫分子和氧分子的最可幾速率。M mol (。2 )VP解：2RT M mol由于Mmol(H2)，在T 一定的情況下，氧分子的最可幾速V率要小于氫分子的最可幾速率所以氧分子的最可幾速率為1000m/s，由Vp2RT可算得氫分子的最可幾M mol八、分子

15、碰撞和平均自由程19世紀(jì)后半期，當(dāng)從理論上揭示氣體分子以每秒幾百米的平均速率運(yùn) 動(dòng)這一結(jié)果時(shí)，曾引起物理學(xué)家很大的懷疑。因?yàn)槔碚撋媳砻?，氣體中的 一切過程應(yīng)進(jìn)行的很快，但事實(shí)并非如此，例打開香水瓶后，香味要經(jīng)過 幾十秒才能傳過幾米的距離。又如：氣體的混合（擴(kuò)散過程）進(jìn)行的相當(dāng) 慢。最后，德國物理學(xué)家可勞修斯指出，氣體分子速度雖很大，但在前進(jìn) 中要與其它分子作很多次碰撞，所走的路徑非常曲折。所以從一處到另一 處需較長(zhǎng)的時(shí)間。研究分子碰撞是氣體分子運(yùn)動(dòng)論的重要問題之一。氣體分子在任意兩次相繼碰撞之間，每個(gè)分子自由走過的路程稱為自由程。對(duì)個(gè)別分子，由慣性支配的自由程時(shí)長(zhǎng)時(shí)短，并沒有一定的量值， 但在給定的氣體狀態(tài)下，由于大量分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，分子自由程遵 從完全確定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。我們可采取統(tǒng)計(jì)平均的方法求出