第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(答案)

1、第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)(一1區(qū)間表示不等式( B A B C D2若，則( D A B C D3設(shè)函數(shù)的定義域是( C A B C D4下列函數(shù)與相等的是( A A， B， C， D ，5下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( A A B C D6若函數(shù)，則的值域為( B A B C D7設(shè)函數(shù)(，那么為( B A B C D 8已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞減區(qū)間是( C A B C D不存在 9函數(shù)與其反函數(shù)的圖形對稱于直線( C A B C D10函數(shù)的反函數(shù)是( D A B C D 11設(shè)函數(shù)，則( B A當(dāng)時，是無窮大 B當(dāng)時，是無窮小C當(dāng)時，是無窮大 D當(dāng)時，是無窮小12設(shè)在上有定義，函數(shù)在

2、點左、右極限都存在且相等是函數(shù)在點連續(xù)的( C A充分條件 B充分且必要條件 C必要條件 D非充分也非必要條件 13若函數(shù)在上連續(xù)，則的值為( D A0 B1 C-1 D-2 14若函數(shù)在某點極限存在，則( C A 在的函數(shù)值必存在且等于極限值B在函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值C在的函數(shù)值可以不存在D如果存在的話，必等于極限值15數(shù)列，是( B A以0為極限 B以1為極限 C以為極限 D不存在在極限16( C A B不存在 C1 D017( A A B C0 D18無窮小量是( C A比零稍大一點的一個數(shù) B一個很小很小的數(shù)C以零為極限的一個變量 D數(shù)零19設(shè)則的定義域為，= 2 ，= 0

3、。20已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是。21若，則， 。22函數(shù)的反函數(shù)為。23函數(shù)的最小正周期 2 。24設(shè)，則。25 。26。27 0 。28。29函數(shù)的不連續(xù)點為 1 。30。31函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是、。32設(shè)，處處連續(xù)的充要條件是 0 。33若，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ，。34若，均為常數(shù)，則 1 ， 1 。35下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1 偶函數(shù)(2 非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(3 偶函數(shù)(4 奇函數(shù)(5 非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(6 偶函數(shù)36若，證明。證：37求下列函數(shù)的反函數(shù)(1解：(2 38寫出圖1-1和圖1-2所示函數(shù)的解析表達(dá)式 2 1 1 -1圖1-

4、1 圖1-2解：(1 (239設(shè)，求。解：故。40設(shè)，求。解：41若，求。解：42利用極限存在準(zhǔn)則證明：。證：且，由夾逼定理知43求下列函數(shù)的間斷點，并判別間斷點的類型(1，(2，(3，(4解：(1當(dāng)為第二類間斷點；(2均為第二類間斷點；(3，為第一類斷點；(4，均為第一類間斷點。44設(shè)，問：(1 存在嗎？解：存在，事實上，故。(2 在處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說明是哪類間斷？若可去，則補充定義，使其在該點連續(xù)。解：不連續(xù)，為可去間斷點，定義：，則在處連續(xù)。 0 1 45設(shè)，(1求出的定義域并作出圖形。解：定義域為(2當(dāng)，1，2時，連續(xù)嗎？解：，時，連續(xù)，而時，不連續(xù)。(3寫出的連續(xù)區(qū)間。解：的連續(xù)

5、區(qū)間、。46設(shè)，求出的間斷點，并指出是哪一類間斷點，若可去，則補充定義，使其在該點連續(xù)。解：(1由，故為可去間斷點，改變在的定義為，即可使在連續(xù)。(2由，故為第一類間斷點。(3類似地易得為第一類間斷點。47根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗證方程至少有一個根介于1和2之間。驗證：設(shè)，易知在上連續(xù)，且，故，使。48驗證方程至少有一個小于1的根。驗證：設(shè)，易知在上連續(xù)，且，故，使。(二1在函數(shù)的可去間斷點處，下面結(jié)論正確的是( C A函數(shù)在左、右極限至少有一個不存在B函數(shù)在左、右極限存在，但不相等C函數(shù)在左、右極限存在相等D函數(shù)在左、右極限都不存在2設(shè)函數(shù)，則點0是函數(shù)的( D A第一類不連續(xù)點 B第二類不連

6、續(xù)點 C可去不連續(xù)點 D連續(xù)點3若，則( C A當(dāng)為任意函數(shù)時，有成立B僅當(dāng)時，才有成立C當(dāng)為有界時，能使成立D僅當(dāng)為常數(shù)時，才能使成立4設(shè)及都不存在，則( D A及一定不存在B及一定都存在C及中恰有一個存在，而另一個不存在D及有可能存在5的值為( D A1 B C不存在 D06( A A B C0 D7按給定的的變化趨勢，下列函數(shù)為無窮小量的是( C A( B (C ( D (8當(dāng)時，下列與同階(不等價的無窮小量是( B A B C D 9設(shè)函數(shù)，則為( B A30 B15 C3 D1 10設(shè)函數(shù)(的值域為，的值域為，則有( D A B C D11在下列函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是( D A，

7、 B， C， D， 12與函數(shù)的圖象完全相同的函數(shù)是( A A B C D 13若，下列各式正確的是( C A B C D 14若數(shù)列有極限，則在的領(lǐng)域之外，數(shù)列中的點( B A必不存在 B至多只有限多個 C必定有無窮多個 D可以有有限個，也可以有無限多個15任意給定，總存在，當(dāng)時，則( A A B C D 16如果與存在，則( C A存在且 B存在，但不一定有C不一定存在D一定不存在17無窮多個無窮小量之和，則( D A必是無窮小量 B必是無窮大量C必是有界量 D是無窮小，或是無窮大，或有可能是有界量18，則它的連續(xù)區(qū)間為( C A BC D19設(shè)，則它的連續(xù)區(qū)間是( B A B (為正整數(shù)

8、處C D及 處20設(shè)要使在處連續(xù)，則( B A2 B1 C0 D-1 21設(shè)，若在上是連續(xù)函數(shù)，則( C A0 B1 C D322點是函數(shù)的( C A連續(xù)點 B第一類非可去間斷點 C可去間斷點 D第二類間斷點23方程至少有一根的區(qū)間是( D A B C D24下列各式中的極限存在的是( C A B C D25( D A1 B0 C-1 D不存在26。27若，則。28函數(shù)的單調(diào)下降區(qū)間為。29已知，則 0 ， 6 。30，則 2 。31函數(shù)的不連續(xù)點是，是第 二 類不連續(xù)點。32函數(shù)的不連續(xù)點是，是第 二類 不連續(xù)點。33當(dāng)時，。34已知，為使在連續(xù)，則應(yīng)補充定義。35若函數(shù)與函數(shù)的圖形完全相同

9、，則的取值范圍是 。36設(shè)，若，則 0或±1 ；若，則 ；若；則。37設(shè)，則。38設(shè)，函數(shù)有意義，則函數(shù)的定義域。39設(shè)數(shù)列的前項和為，那么 。40如果時，要無窮小與等價，應(yīng)等于 2 。41要使，則應(yīng)滿足。42 0 。43函數(shù)，當(dāng) 2 時，函數(shù)連續(xù)。44已知，則 2 ， -8 。45， 0 ；若無間斷點，則 0 。46函數(shù)在點處可可連續(xù)開拓，只須令 0 。47。48 0 。49。50設(shè)，證明：當(dāng)，下列等式成立：(1證：(2 證：51設(shè)，求和。解：，52若，證明：。解：故結(jié)論成立。53根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1 證：，要使，只要，取，則當(dāng)時，恒有，即。(2 證：，因，要使，只要，取，

10、則當(dāng)時，恒有，即。(3 證：，因，要使，只要，即只要。取，則當(dāng)時，恒有，即。(4證：，因，只要。取，當(dāng)時，恒有，即。54根據(jù)函數(shù)極限的定義證明(1 證：，因，要使，只要。，則當(dāng)時，恒有，即。(2 證：，因，要使，要使，取，則當(dāng)時，恒有，即。(3 證：，因，只要，取，則當(dāng)時，恒有，即。(4證：，要使，只要，取，則當(dāng)時，恒有，即。55求下列極限(1 解：原式(2 (，為正整數(shù)，解：原式(3 解：原式(4 解：原式(5 解：原式(6 解：原式(7 解：原式(8 解：原式(9 解：令，原式(10 解：原式(11 解：原式(12 解：原式(13 解：原式(14 (為正整數(shù)解：原式56當(dāng)時，求下列無窮小量

11、關(guān)于的階(1 解：3階(2 解：階(3 解：1階(4 解：3階57試證方程，其中，至少有一個正根，并且不超過。證：令，則，且，故，使。58設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在上至少存在一個，使。證：令，于是在上連續(xù)，由于條件(若，則顯然結(jié)果成立，若，顯然，故使，綜上，使。59設(shè)在上連續(xù)，且，試證：在內(nèi)至少有一點，使得：。證：令，于是在上連續(xù)，且，故，使，即。60設(shè)數(shù)列有界，又，證明。證：由假設(shè)不妨設(shè)，為一正數(shù)，由，故自然數(shù)，當(dāng)時，恒有，故恒有，即。61設(shè)，求。解：原式62設(shè)，求及。解：，故63求。解：原式64求解：原式65求下列極限(1 解：原式(2 解：原式(3 解：原式(4 解：原式(5 解：原式(

12、6 解：原式(7 解：原式(8 解：原式66求。解：原式(三1若存在，對任意，適合不等式的一切，有，則( D A在不存在極限 B在嚴(yán)格單調(diào)C在無界 D對任意，2若存在，對任意，適合不等式的一切，有，則( C A B在上無界 C在上有界 D在上單調(diào)3函數(shù)(，則此函數(shù)( A A 沒有間斷點 B有一個第一類間斷點 C有兩個以上第一類間斷點 D有兩個以上間斷點，但類型不確定4若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是( A A B或 C D5兩個無窮小量與之積仍是無窮小量，且與或相比( A A是高階無窮小 B是同階無窮小 C可能是高階，也可能是同階無窮小 D與階數(shù)較高的那階同階 6試決定當(dāng)時，下列哪一個無窮小是

13、對于的三階無窮小( B A B(是常數(shù)C D 7指出下列函數(shù)中當(dāng)時( D 為無窮大A B C D 8，如果在處連續(xù)，那么( D A0 B2 C D1 9使函數(shù)為無窮小量的的變化趨勢是( C A B C D10設(shè)，若，則=。11若而，則。12若在處連續(xù)，則 0 。13設(shè)有有限極限值，則 4 ， 10  。14( =。15證明不存在。設(shè)，但對，使，但，而1，不能同時落在內(nèi)，故不存在。16求(。解：原式17求。解：（）18設(shè)在處連續(xù)，且，以及，試證：在處連續(xù)。證：，由于在處連續(xù)，所以，當(dāng)時，恒有，由假設(shè)，易知，故當(dāng)時，恒有，即在處連續(xù)。19利用極限存在準(zhǔn)則證明：數(shù)列，的極限存在。證：設(shè)，以

14、下證明有上界；單增（用歸納法證）當(dāng)時，假定時，則當(dāng)時，所以(單調(diào)增加事實上由于，所以，由，據(jù)極限存在準(zhǔn)則知存在。20設(shè)適合(、均為常數(shù)且，試證：。證：由于滿足：(、為常數(shù)故滿足：得：，。21設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，試求。解：由于，且由假設(shè)，故。22設(shè)、都為單調(diào)增加函數(shù)，且對一切實數(shù)均有：，求證。證：，有，由于的單增性，可知，于是得23證明當(dāng)時左右極限不存在。證：不妨設(shè)，對，使，但， ，而1，-1不能同時落在內(nèi)，故，當(dāng)時，極限不存在，同理可證：，當(dāng)時的極限不存在。24設(shè)，證明：當(dāng)時的極限存在。解：25若在上連續(xù)，則在上必有，使。證：令，則中至少有一個，使，至少有一個，使，顯然有 (當(dāng)式中兩個“”中有一個取等號時，則對應(yīng)的(或即為，當(dāng)式中的兩個“”號都不能取符號時。由于閉區(qū)間