2010固體物理復(fù)習(xí)習(xí)題課內(nèi)容

1、第一章 晶體結(jié)構(gòu)習(xí)題 例1、晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體有何區(qū)別和聯(lián)系？ 解：晶體點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)抽象，其中的格點(diǎn)代表基元中某個(gè)原子的位置或基元質(zhì)心的位置，也可以是基元中任意一個(gè)等價(jià)的點(diǎn)。當(dāng)晶格點(diǎn)陣中的格點(diǎn)被具體的基元代替后才形成實(shí)際的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系可總結(jié)為：晶格點(diǎn)陣基元實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)例2、.以二維有心長(zhǎng)方晶格為例，畫出固體物理學(xué)原胞、結(jié)晶學(xué)原胞，并說出它們各自的特點(diǎn)。解：以下給出了了二維有心長(zhǎng)方晶格示意圖：由上圖，我們可給出其固體物理學(xué)原胞如下圖（a）所示，結(jié)晶學(xué)原胞如下圖（b）所示： （a） （b）從上圖（a）和（b）可以看出，在固體物理學(xué)原胞中，只能在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，而在結(jié)晶學(xué)

2、原胞中，既可在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，也可在面心位置上存在結(jié)點(diǎn)。例3、倒格子的實(shí)際意義是什么？一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢是否有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？解：倒格子的實(shí)際意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間（波矢K空間），在晶體的X射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)際上就是倒格子所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子。設(shè)一種晶體的正格基矢為、，根據(jù)倒格子基矢的定義：式中是晶格原胞的體積，即，由此可以唯一地確定相應(yīng)的倒格子空間。同樣，反過來由倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例4、各類晶體的配位數(shù)（最近鄰原子數(shù)）是多少？解：7種典型的晶體結(jié)構(gòu)的配位數(shù)如下表1.1所示：晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)面心

3、立方六角密積12氯化鈉型結(jié)構(gòu)6體心立方8氯化銫型結(jié)構(gòu)8簡(jiǎn)立方6金剛石型結(jié)構(gòu)4例5.在立方晶體中畫出晶面。第二章習(xí)題例題1. 若NaCl晶體的馬德隆常數(shù)=1.75，晶格常數(shù)a=5.64，冪指數(shù)n=9。晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，求：離子間距增加多少？解：當(dāng)2個(gè)原子由相距很遠(yuǎn)而逐漸接近時(shí)，2個(gè)原子間引力和斥力都開始增大，但首先引力大于斥力，總的作用為引力，而相互作用勢(shì)能逐漸減?。划?dāng)2個(gè)原子慢慢接近到平衡距離時(shí)，此時(shí)，引力等于斥力，總的作用為零，而相互作用勢(shì)能達(dá)到最小值；當(dāng)2個(gè)原子間距離繼續(xù)減小時(shí)，由于斥力急劇增大，此時(shí)，斥力開始大于引力，總的作用為斥力，而相互作用勢(shì)能也開始急劇增大。設(shè)該NaCl晶體

4、的含有個(gè)離子，則其相互作用勢(shì)能為 （1）上式中的指NaCl晶體中相鄰兩離子間的距離。又設(shè)NaCl晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為，則有。由平衡條件可知 （2） 由（2）式可得：。當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，此時(shí)相鄰離子間的引力達(dá)到最大值，即有 （3）將代入（3）式可得 因而離子間距增加了例題2、對(duì)于由個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈，設(shè)平均每2個(gè)原子勢(shì)為：。求：（1）原子間的平均距離； （2）每個(gè)原子的平均晶格能； （3）壓縮系數(shù)。解：（1）在平衡時(shí)，有下式成立 （1） 由上式可得（2）設(shè)該個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢(shì)能為，那么有 （2）設(shè)為2個(gè)原子間的最短距離，則

5、有，那么（2）式可化為 （3）其中（3）式中，。那么每個(gè)原子的平均晶格能為 （3）根據(jù)壓縮系數(shù)的定義可知 （4）將（3）式代入（4）式得： 第五章習(xí)題例、金屬自由電子論和布洛赫單電子能帶論的比較。性質(zhì)索末菲自由電子論布洛赫單電子能帶論單電子波函數(shù)波矢k的電子的波函數(shù)帶指標(biāo)n，波矢k的布洛赫波量子數(shù)及其取值范圍量子數(shù)為k取值于整個(gè)k空間，周期邊條件的許可值量子數(shù)n能帶指標(biāo)K波矢，取分立正整數(shù)K獨(dú)立的取值，限在倒格子空間中第一布里淵區(qū)內(nèi)。取周期邊條件的許可值單電子能量E(k)沒有簡(jiǎn)單的形式，但有普遍的規(guī)律，在倒格子空間中的周期性和偶函數(shù)（反演對(duì)稱性）. En(k)是k的多值函數(shù)，形成能帶。電子平均

6、速度準(zhǔn)經(jīng)典近似電子質(zhì)量包含了晶格內(nèi)部周期場(chǎng)的作用，是k的函數(shù)，一般情況是一個(gè)張量。例1、一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為，電子的波函數(shù)為（1）；（2）；（3）（其中為某個(gè)確定的函數(shù)）。試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數(shù)可寫成，其中，或?qū)懗桑?）故 顯然有 故的波矢是。（2）所以 顯然有 故的波矢。（3）故 故的波矢為0。要說明的是，上述所確定的波矢并不是唯一的，這些值加上任一倒格矢都是所需的解。因?yàn)榭臻g中相差任一倒格矢的兩個(gè)值所描述的狀態(tài)是一樣的。例2、已知電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能為其中：，為常數(shù)。（1）畫出勢(shì)能曲線，并求出其平均值；（2）用近自由電子模型求出此晶體的

7、第1及第2個(gè)禁帶寬度。解：（1）該周期場(chǎng)的勢(shì)能曲線如下所示：UO其勢(shì)能平均值為：（2）根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為 其中和表示周期場(chǎng)的展開成傅立葉級(jí)數(shù)的第一和第二個(gè)傅立葉系數(shù)。于是有故此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為 例4、一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng)，。（1）畫出倒格子圖；（2）畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子的費(fèi)米面。解：由題意可取該矩形晶格的原胞基矢為，由此可求得其倒格子基矢為，由此可做出此矩形晶格的倒格子圖如下圖所示：1.571010m-1O 矩形晶格的倒格子（2）該矩形晶格的第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)如下圖所示：矩形晶格的第一和第二布里淵區(qū)（3）設(shè)該二維

8、矩形晶格晶體含有個(gè)電子，由于費(fèi)米面是空間占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面，所以有下式成立 由此得 上式中為該二維晶格晶體的電子密度。于是可求得該二維晶格晶體的費(fèi)米面的半徑為 由此可做出自由電子的費(fèi)米面如下圖中圓面所示： 二維矩形晶格的費(fèi)米面圓第六章習(xí)題例題1、已知一維金屬晶體共含有個(gè)電子，晶體的長(zhǎng)度為，設(shè)K。試求：（1）電子的狀態(tài)密度；（2）電子的費(fèi)米能級(jí)；（3）晶體電子的平均能量。解：(1)該一維金屬晶體的電子狀態(tài)密度為(K空間電子能帶為？)： （1） 考慮在空間中，在半徑為和的兩線段之間所含的狀態(tài)數(shù)為： （2） 又由于 所以 （3） 將（2）和（3）式代入（1）式，并考慮到每個(gè)狀態(tài)可容納2個(gè)自旋相反的電子，得該一維金屬晶體中自由電子的狀態(tài)密度為： （4） （2）由于電子是費(fèi)米子，服從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，即在平衡時(shí)，能量為的能級(jí)被電子占據(jù)的幾率為： （5） 于是，系統(tǒng)中的電子總數(shù)可表示為： （6） 由于K，所以當(dāng)，有，而當(dāng)，有，故（6）式可簡(jiǎn)化為： 由此可得： （7）（3）在K時(shí)，晶體電子的平均能量為： 例題2、