圓錐曲線定義、方程與性質(zhì)

1、第11講I主干知識(shí)整合第11講錐曲線定義、方程與性質(zhì)第11講圓錐曲線定義、方程與性質(zhì)第11講I主干知識(shí)整合主干知識(shí)整合F1.圓錐曲線的統(tǒng)一性(1)從方程的形式看，在直角坐標(biāo)系中，橢圓、雙曲線和拋物線這三種曲線的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲線.(2)從點(diǎn)的集合(或軌跡)的觀點(diǎn)看，它們都是與定點(diǎn)和定直線距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的集合(或軌跡)，這個(gè)定點(diǎn)是它們的焦點(diǎn)，定直線是它們的準(zhǔn)線，只是由于離心率e取值范圍的不同，而分為橢圓、雙曲線和拋物線三種曲線.（3）這三種曲線都可以是由平面截圓錐面得到的截線，因而才稱(chēng)之為圓錐曲線.(4)錐曲線第一定義把“曲線上的點(diǎn)“焦點(diǎn)F”、 “相應(yīng)準(zhǔn)線I”和“離心率e

2、”妙地聯(lián)系起來(lái)，所以在圓錐曲線的問(wèn)題中,四者巧凡與準(zhǔn)線、離心率、焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)充分利用第二定義.主干知識(shí)整合2.焦半徑錐曲線上一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段稱(chēng)為這一點(diǎn)的焦半徑,F面是用的較多的焦半徑公式:對(duì)于橢=1(。>5>0)而言，IPfl=+ex0,1pp=a-ex（）.x2v2對(duì)于雙曲線一方=l（a>0,方>0）而言，若點(diǎn)尸在右半支上，則IPPil=a+ex（”lPF2l=exQa；若點(diǎn)尸在左半支上，則IPBI=一（"o+。），IPF2l=-（ex0一。）.（3）對(duì)于拋物線y2=2px（p>0）而言，IPPI=xo+g.第11講 主干知識(shí)整合以上各式中，尸

3、(Xo,泗)是曲線上的一點(diǎn)，為、F2分別是橢圓、雙曲線的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，在這里特別強(qiáng)調(diào)的是,由于曲線方程的不同，焦半徑公式也各不相同.1講|主干知識(shí)整合3.幾個(gè)常用結(jié)論(1)橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上一點(diǎn)尸與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)尸|、戶(hù)2組成的三角形稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)三角形，解決與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意橢圓的定義、正弦和余弦定理的運(yùn)用.(2)關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：設(shè)AB為過(guò)拋物線/=2Px(p>0)焦點(diǎn)的弦，A(xi9月)、B(x29Ji)，直線A3的傾斜角為0,則XiX2=,yyi=-p；=以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;焦點(diǎn)尸對(duì)A、3在準(zhǔn)線上射影的張角為90。;肅+，

4、=2第11講I要點(diǎn)熱點(diǎn)探究要點(diǎn)熱點(diǎn)探究A探究點(diǎn)一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)例1已知兩點(diǎn)入(一2,0),尸2(2,0),曲線。上的動(dòng)點(diǎn)“滿足IMFJ+MF2=lF.F2f直線Mg與曲線C交于另一點(diǎn)2.(1)求曲線。的方程及離心率；(2)設(shè)N(-4,0),若S4MNF?：S4PNF?=3：2,求直線MN的方程.第八講要點(diǎn)熱點(diǎn)探究【解答】(1)因?yàn)镮FiFzl=4,MFt+MF2=2FxF2=8>4,所以曲線。是以為，尸2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓.曲線C的方程為卷+右=1,離心率為去(2)顯然直線MN不垂直于x軸,也不與x軸重合或平行.設(shè)yM),P(xP,yP)9直線MTV的方程為y=A(x+4

5、),其中4羊0.X,得(3 + 4 左 2)y2_24y = 0.由16產(chǎn)A(x+4)解得=0或=依題意加=24A 4k2+3916k2-12U工，.因?yàn)镾AMNF?：SAPNF?=3:2,所以則/6【點(diǎn)評(píng)】解決橢圓，雙曲線，拋物線的問(wèn)題，要牢牢抓住其定義和性質(zhì)，一些看起來(lái)很復(fù)雜，沒(méi)有頭緒的問(wèn)題,如果從定義上來(lái)考慮，往往會(huì)迎刃而解.一定不可脫離基本概念，過(guò)分去追求技巧方法.本題的第二問(wèn)需要把面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，用方程思想解決，對(duì)運(yùn)算化簡(jiǎn)能力要求較高.第11講要點(diǎn)熱點(diǎn)探究變式題已知線段。=2/，。的中點(diǎn)為O,動(dòng)點(diǎn)A滿足AC+A&=2«Q為正常數(shù)).(1)求動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方

6、程;若存在點(diǎn)A,使試求。的取值范圍;(3)若=2,動(dòng)點(diǎn)萬(wàn)滿足C+BO=4,KAOrOB,試求403面積的最大值和最小值.第11講I要點(diǎn)熱點(diǎn)探究【解答】（1）以O(shè)為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.若AC+AO=%v2小，即動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線不存在；若4。+4。=%=2,3,即。動(dòng)點(diǎn)4所在的曲線方程為y=0（一,WxW巾）；若AC+AD=2a>2小,即>小，動(dòng)點(diǎn)4所在的曲線方程為加工3=1.第11講I要點(diǎn)熱點(diǎn)探究由知Q>木，要存在點(diǎn)4,使4CJLA0,則以。為圓心，OC=，5為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn).故乖"/一3,所以/W6,所以。的取值范圍是/3<

7、71;W，6.（3）當(dāng)。=2時(shí)，其曲線方程為橢圓+丁=1.2由條件知A,小兩點(diǎn)均在橢圓;+/=1上，且4OJLO氏設(shè)A（xi，力），8（X2,及），OA的斜率為依A#0）,則。4的方程為丁=履，08的方程為y=一y=kx，解方程組+/=,得“仁中戶(hù)同理可求得遙=普7,£=廠占要點(diǎn)熱點(diǎn)探究AOB的面積S=|Vl+F'I'+古出1=!(1+公)22(1+42)/2+4)令1+*="，>1)，則S=2'y4?+9/=_/+?+；令g«)=X+；+4=9(：；)+竽”>1),所以4vgO)W掌即*SvL當(dāng)"0時(shí)，可求得S=l,

8、故M$wi,故S的最小值為去最大值為1.例2如圖所示，已知點(diǎn)W是雙曲線%一5=13,5>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，4(一a,0),5(0,b),雙曲線的離心率為2,點(diǎn)。在x軸上，mr?M=o,b,c,產(chǎn)三點(diǎn)所確定的圓"恰好與直線心x+W+3=0相切，求雙曲線的方程.要點(diǎn)熱點(diǎn)探究【解答】依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為C,由離心率e=2=，得c=2a,b=i3afB(09!3a)9F(-2a,0).設(shè)C(x,0),故孔=(x,3a),J7F=(2«,一&),由"呼=0,得工=學(xué)，所以0).易知產(chǎn)。是6,C,產(chǎn)三點(diǎn)所確定的圓M的直徑，圓心4/一：,0,直徑為李一(一%)

9、=".要點(diǎn)熱點(diǎn)探究又圓M恰好與直線/：x+gy+3=0相切，則。+31言巖音，即號(hào)+3卜看，得a=>雙曲線的方用出一三1an25x225y2程為口_亞_1，即飛"41_L2525【點(diǎn)評(píng)】江蘇高考對(duì)雙曲線要求不高，本題以雙曲線為載體，實(shí)質(zhì)是對(duì)直線與圓的知識(shí)的考查.A探究點(diǎn)三拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)例3設(shè)拋物線丁=4衿（心0）的焦點(diǎn)為A,以點(diǎn)33+4,0）為圓心，出AI為半徑，在x軸上方畫(huà)半圓，設(shè)拋物線與半圓相交于不同的兩點(diǎn)"、N,點(diǎn)是的中點(diǎn).求L4MI+L4NI的值;是否存在實(shí)數(shù)恰使IAMI、L4PI、1AM成等差數(shù)列？若存在，求出。；若不存在，說(shuō)明理由.講

10、I要點(diǎn)熱點(diǎn)探究【解答】設(shè) M、N、P在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M',N',P',由拋物線定義得:IAMI+IANI=IMM'l+INN'I=Xm+xn+2h,又圓的方程為x(a+4)f+y2=16,將y2=4ax代入得x22(4a)x+a2+8a=0,xM+xN=2(4a),所以IAMI+IANI=8.(2)假設(shè)存在這樣的a,使得：2IAPI=IAMI+IANI,VIAMI+IANI=IMIVVl+INN,l=2IPP'I,AIAPI=IPP'l.由定義知點(diǎn)P必在拋物線上，這與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾，所以這樣的a不存在.【點(diǎn)評(píng)】本題的“

11、幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力.圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題常常與平面幾何知識(shí)相結(jié)合，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目.第11講I規(guī)律技巧提煉規(guī)律技巧提煉1 .當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確，而無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為5+：；=1（帆>0,且mw），這樣可以避免討論和繁雜的運(yùn)算，橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程均可用簡(jiǎn)單形式機(jī)/+”2=（機(jī)=0）來(lái)表示，所不同的是：若方程表示橢則要求，>0, >0且機(jī)若方程表示雙曲線，則要求.v0,利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，應(yīng)注意此方法的合理使用,以:免討論.第11講I規(guī)律技巧提煉2 .雙曲線是具有漸

12、近線的曲線，復(fù)習(xí)中要注意以下兩個(gè)問(wèn)題:(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線方程，將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方X2v2/2程一1=1中的常數(shù)T”換成“0”，即得%=0,然后分解因式即可得到其漸近線方程:土力=0；若求中心不在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸平行于坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線方程x,y分別配方,然后將常數(shù)“1”換成“0”，再分解因式，則可得漸近線方程，例如雙曲線(+2)2：2=1的漸近線方程為3+2)2-12=0,即產(chǎn)土3(x+2),因此，如果雙曲線的方程已經(jīng)確定，那么它的漸近線方程也就確定了.第11講規(guī)律技巧提煉(2)求已知漸近線的雙曲線方程：已知漸近線方程為ax±by=0時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為a2x2-b2y2=4x0),再利用其他條件確定z的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法，如果已知雙曲線的漸近線，雙曲線方程卻不是唯一確定的.第11講規(guī)律技巧提煉3.在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的坐標(biāo)系時(shí)，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，這樣不僅具有對(duì)稱(chēng)性，而且曲線過(guò)原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用.第11講|江蘇真題剖析江蘇真題剖析2010江蘇卷在平