勾股定理的測量問題

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載勾股定理的測量問題例 4. 小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了 1 米，當(dāng)他把繩子的下端拉開 5 米后， 發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面， 他想了想， 求出了旗桿的高度，你知道他是怎樣算出來的嗎？分析： 由題意可知繩子比旗桿多1 米，把下端拉開 5 米后，下端剛好接觸地面，如圖，這時旗桿 AB ，繩子 AC ，旗桿底點B 與繩接觸地面的點 C 所連結(jié)的線段BC 構(gòu)成直角三角形。解：設(shè)旗桿 AB x 米，則繩長 AC （ x1）米在RtABC中，由勾股定理可知：AC2AB 2BC 2即 ( x1) 2x 2解得 x12 （米）答： 旗桿的高度為5212 米。例 5

2、. 有一圓柱形油罐，如圖，以 A 子最短需多少米？（已知油灌的周長為點環(huán)繞油罐建梯子，正好到12m，高 AB 是 5m）A 點的正上方B 點，問梯分析： 本題直接解答困難，若把圖的側(cè)面展開，所求梯子最短距離就變?yōu)樵谥行边?AB' 的長可通過利用勾股定理求得。解：假設(shè)將圓柱體的側(cè)面沿AB 剪開鋪平， 則 AA 'B' B 為長方形， 則ABRt AA' B'A' B'5m ，AA'BB'12m ，因此沿AB' 建梯子則最省材料，梯子最短。在 Rt AA'B' 中AB' AA'2 A&#

3、39; B'21225213(m)答： 梯子最短需 13m。例 6. 如圖，在 ABC 中， C 30°， BAC 105°， AD BC，垂足為 D ， AC 2cm，求 BC 的長。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載解析： 在ABC 中， AD BCADC 為 RtAD1 C 30°AC2AC2AD 1DCAC 2AD 222123BAC105 ，DAC60BADBACDAC10560 45即 Rt ABD 為等腰三角形BD AD1 BC DB DC （ 13 ）（ cm）例 7. 如圖，已知 BC 9， AB 17，AC 10，AD BC 于 D，求 AD 的長。分

4、析： 無論把 AD 放在直角ADC 還是在直角ADB 中，都不易直接利用勾股定理計算 AD ，必須先求出CD 的長才能解決問題，需求CD 的長，可設(shè)CD x，設(shè)法找到關(guān)于的方程，通過解方程的方法求出未知的CD 長，題中的AD 可作為解題的橋梁，列出方程。解： 設(shè) CD x，在直角三角形ADC 中xAD 2AC 2CD 2102x2在直角ABD中AD 2AB 2BD 2172(9x) 2102x217 2(9x)2解得x6AD102628例 8. 如圖分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正三角形，試探索三個正三角形面積間的關(guān)系。分析：首先應(yīng)探索出正三角形的面積與正三角形的邊長之間的關(guān)系， 然后可設(shè)

5、出直角 ABC 的各邊長， 分別計算 SI 、SII 、 SIII ，再進行比較。一、填空題學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1. 在 RtABC 中， C 90°，若 AC 5，AB 13，則 BC _。2. 在直角三角形中有兩邊的長為3 和 4，則第三邊的長為 _。3. 如圖 1，在直角梯形ABCD 中，已知底AD 6cm， BC 11cm，腰 CD 12cm，則直角梯形的周長為_。圖 14.直角三角形的周長為 26 ，斜邊的長為2，則此三角形面積為 _。5.若 324252 ，則將等式兩邊乘以3 得 27、 48、75 為邊的三角形 _（不是直角三角形，是直角三角形）6. 一個等腰三角形周長是

6、 16cm，底邊上的高是 4cm，則三角形各邊長為 _。7.若一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)的偶數(shù)，則它的周長為_。8.如果一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)的整數(shù)，則它的面積為_。9. 若直角三角形的兩條直角邊各擴大一倍，則斜邊擴大_倍。10. 正方形的面積為 36cm2 ，是其對角線長為 _cm。二、選擇題1. 等腰直角三角形斜邊為 10，則其直角邊為（）A.52B.43C.25D.232. 矩形的周長為 20m，寬為 2m，則對角線長為（）A.5 3mB.2 11mC.2 17 mD.2 13m3. ABC 中，若 A: B: C 1： 2： 3，則 BC ： AC ：AB 的值為（）A.

7、1:2:3B. 1:2:3C.3:1:2D. 1:3:24. 直角三角形兩直角邊的長分別為5， 12，則斜邊上的高為（）8060A. 6B. 8C.13D.135.已知在ABC 中， a 3， b3 3， c6 ，則 A ， B 分別為（）A. 60 °， 30°B. 30 °， 60°C. 70°， 60°D. 60°， 90°6.在 RtABC 中， C 90°，已知 a : b3 : 4，c10 ，則ABC 面積為（）A. 24B. 12C. 28D. 307.三角形三邊的長分別為a、b、 c，且

8、(ab)2( a 2b 2c 2 ) 20 ，則三角形的形狀為（）A. 任意等腰三角形B. 任意直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等邊三角形8. 一直角三角形的斜邊長比直角邊大2，另一直角邊為 6，則斜邊長為（）A.4B.8C.10D.12學(xué)習(xí)好資料歡迎下載9. 已知一個直角三角形的周長為30cm，面積為 30cm2，那么這個直角三角形的斜邊長為（）A. 15B. 14C. 13D. 1210. ABC 的三邊長分別為 8、 15、 17，則最短邊上的中線長為（）71A.17B.241C.273D. 以上都不對三、解答題1. 如圖 2，四邊形 ABCD 中， BAD 90°， DB

9、C 90°， AD 3， DC 13， BC 12，求四邊形 ABCD 的面積。圖 22. 已知，如圖 3， ABD C 90°，AC BC，BD 6，AD 12，求 BC 的長。圖 33. 已知，如圖4，在ABC 中， C 90°， AB 的中垂線交 BC 于 M，交 AB 于 N，若 AC8，MB 2MC，求 AB 的長。圖 44. 上午 9 時，在燈塔P 的西南方向120 海里處的M 處，一只船向正東方向航行，中午12時到達這座燈塔的正南方向的N 處（如圖5），求這只船航行速度。北P東MN學(xué)習(xí)好資料歡迎下載圖 55. 將一根長 24cm 的筷子，置于底面直徑

10、為 5cm，高為 12cm 的圓柱形水杯中， 如圖6，設(shè)筷子露出在杯子外面長為hcm，則 h的取值范圍是多少？圖 6【試題答案】1一、 1.122.5 或73.42cm4.25.6.5， 5， 6cm7.248.69.110.6 2二、 1.A2.C3. D4.D5.B6. A7. C8. C9.C10. B三、 1.362.3 63. 164. 202 （海里 /時）5. 11cmh12cm第 4 課時勾股定理（ 3）教學(xué)目標： 使學(xué)生進一步掌握勾股定理，運用勾股定理解決實際問題中的測量與計算。教學(xué)重點： 運用勾股定理解決實際問題中的測量與計算。教學(xué)難點： 運用勾股定理解決實際問題中的測量與

11、計算。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)和練習(xí)：在 ABC中， C=90° .1.若 a=5,b=12,求 c；（ c=13）2.若 b=7,c=9,求 a；（ a= 4 2 ）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3. 若 c=10,a:b=3:4求 a,b 。（ a=6， b=8）二新課探究：例 1. 已知 Rt ABC中，斜邊長為2 ，周長為 26 。求其面積。B分析 ：欲求 Rt 的面積，只需求兩直角邊之積，由已知得直角邊之和為caAbCa 2b246 ，結(jié)合勾股定理又得平方和為4。于是可列方程組求解。解：如圖 , 設(shè) Rt ABC的兩直角邊為a 、 b, 則ab6 2 - 得 :2ab=2, 則 1 ab12

12、21 SABC2說明：在直角三角形中，已知幾條邊之間的某種關(guān)系，常結(jié)合勾股定理列方程組求解。在此題中，采用了“設(shè)而不求”的技巧。例 2.作長為2,3,5 的線段。分析 ：由勾股定理，直角邊長為1 的等腰 Rt ，斜邊長等于2 ；直角邊長為2 、1的直角三角形的斜邊長就是3 ；類似地也可作出 5 。B11B21作法： 1. 作直角邊長為 1（單位長）的等腰Rt ABC。2. 以斜邊 AB 為一直角邊，作另一直角邊長為1 的 Rt ABB1。1B 3B3. 順次這樣作下去，最后作到Rt AB2B3。1這時斜邊 AB、 AB1 、 AB2、 AB3 的長度就是2、 3、 4、 5。CA說明： 根據(jù)n

13、 確定兩直角邊的長度，構(gòu)造直角三角形，則斜邊就是所求做的線段。三、引申提高：例 3已知，如圖ABC中， AB=AC,D為 BC上任一點，試說明： AB 2AD 2BDDC分析：欲說明 AB 2AD 2BDDC ，必須構(gòu)造直角三角形，由于AB=AC，故作 BC邊上的高，運用勾股定理即可說明。解：過 A 作 AE BC于 E。在 Rt ABE中，AB 2AE 2BE2 。A在 Rt ADE中， AD 2AE 2ED 2。BEDC- 得： AB2AD 2BE 2ED 2(BEED)(BEED) 。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 AB=AC， AE BC， BE=EC。 AB2AD 2BD(ECED)BDDC 。

14、方法技巧： 說明某些線段平方式問題常通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理，結(jié)論中有兩條線段積的形式時，常運用平方差公式進行因式分解。四。鞏固練習(xí)：目標手冊P.93. 當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí) .P.93.1 5五。課時小結(jié)：1 根據(jù)n 確定兩直角邊的長度，構(gòu)造Rt ，則斜邊即為所求線段。2. 矩形的折疊問題中， 經(jīng)常會用勾股定理得到一個方程或方程組來求某些未知線段的長?？键c二：線段是否垂直的問題例 3：小月同學(xué)根據(jù)印度數(shù)學(xué)家什迦羅(1141 年 -1225 年 )曾提出的 “荷花問題 ”編了一道“新荷花問題 ”： “平平湖水清可鑒，某處湖底生有蓮，湖水深知 3.75 尺，面上紅蓮有半尺；忽被強風(fēng)吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠，恰露花朵在水面；此蓮出泥而不染，是否亭亭立湖間？【思路分析】 首先要根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造成三角形，利用三角形的三邊關(guān)系確定三角形是否是直角三角形，從而說明花是否與湖面垂直。解： 根據(jù)題意畫圖如下：BD=0.5 尺 ,BC=3.75 尺 ,AC=BD+BC=0.5+3.75=4.25 尺 ,AB=2 尺 . 在 ABC 中 , 因 為 AB 2+BC 2=22+3.752 =18.0625=4.252=AC 2,所以 ABC=90°.因為水