冪函數(shù)經(jīng)典例題答案

1、.冪函數(shù)的概念例1、下列結(jié)論中，正確的是()A冪函數(shù)的圖象都通過點(0,0)，(1,1)B冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C當(dāng)冪指數(shù)取1,3，時，冪函數(shù)yx是增函數(shù)D當(dāng)冪指數(shù)1時，冪函數(shù)yx在定義域上是減函數(shù)解析當(dāng)冪指數(shù)1時，冪函數(shù)yx1的圖象不通過原點，故選項A不正確；因為所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，)上都有定義，且yx (R)，y>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故選項B不正確；而當(dāng)1時，yx1在區(qū)間(，0)和(0，)上是減函數(shù)，但它在定義域上不是減函數(shù)答案C例2、已知冪函數(shù)f(x)(t3t1)x(73t2t2) (tZ)是偶函數(shù)且在(0，)上為增函數(shù)，求實數(shù)t的值分析關(guān)于冪函數(shù)

2、yx (R，0)的奇偶性問題，設(shè) (|p|、|q|互質(zhì))，當(dāng)q為偶數(shù)時，p必為奇數(shù)，yx是非奇非偶函數(shù)；當(dāng)q是奇數(shù)時，yx的奇偶性與p的值相對應(yīng)解f(x)是冪函數(shù)，t3t11，t1,1或0.當(dāng)t0時，f(x)x是奇函數(shù)；當(dāng)t1時，f(x)x是偶函數(shù)；當(dāng)t1時，f(x)x是偶函數(shù)，且和都大于0，在(0，)上為增函數(shù)故t1且f(x)x或t1且f(x)x.點評如果題中有參數(shù)出現(xiàn)，一定要注意對參數(shù)的分類討論，尤其對題中的條件tZ給予足夠的重視例3、如圖是冪函數(shù)yxm與yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A-1<n<0<m<1Bn<1,0<m<1C1<n<

3、;0，m>1 Dn<1，m>1解析在(0,1)內(nèi)取同一值x0，作直線xx0，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)大”如圖，0<m<1，n<1.答案B點評在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越靠近x軸；在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越遠離x軸例4、已知x2>x，求x的取值范圍錯解由于x20，xR，則由x2>x，可得xR.錯因分析上述錯解原因是沒有掌握冪函數(shù)的圖象特征，尤其是yx在>1和0<<1兩種情況下圖象的分布正解作出函數(shù)y=x2和y=的圖象(如右圖所示)，易得x<0或x>1.例5、函數(shù)f(x)(m2m1)x

4、m2m3是冪函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式分析解答本題可嚴(yán)格根據(jù)冪函數(shù)的定義形式列方程求出m，再由單調(diào)性確定m.解根據(jù)冪函數(shù)定義得m2m11，解得m2或m1，當(dāng)m2時，f(x)x3在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)m1時，f(x)x3在(0，)上是減函數(shù)，不符合要求故f(x)x3.點評冪函數(shù)yx (R)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)為常數(shù)(也可以為0)這是判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)對本例來說，還要根據(jù)單調(diào)性驗根，以免增根變式已知y(m22m2)x2n3是冪函數(shù)，求m，n的值解由題意得，解得，所以m3，n.例6、比較下列各組中兩個數(shù)的大小

5、：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，1.51.7，（2）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，同理0.71.50.61.5（3）先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪可知它是偶函數(shù)，又，點評：比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小例7、比較下列各組數(shù)的大小 (1) 3與3.1；(2)8與.分析比較大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便利用單調(diào)性時，可用0與1去比較，這種方法叫“搭

6、橋”法解(1)函數(shù)yx在(0，)上為減函數(shù)，又3<3.1，所以3>3.1.(2)8，函數(shù)yx在(0，)上為增函數(shù)，又>，則>，從而8<.點評比較大小的題，要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性的應(yīng)用，更善于運用“搭橋”法進行分組，常數(shù)0和1是常用的參數(shù)變式比較下列各組數(shù)的大?。?1)與；(2)4.1，(1.9)與3.8.解(1)，函數(shù)yx在(0，)上為減函數(shù)，又>，<.(2)(4.1)>11,0<3.8<11，(1.9)<0，所以(1.9)<3.8<(4.1).例8、已知冪函數(shù)yx3m9 (mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且

7、在(0，)上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足(a1)<(32a)的a的范圍解函數(shù)在(0，)上遞減，3m9<0，解得m<3，又mN*，m1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，3m9為偶數(shù)，故m1，有(a1)<(32a).又yx在(，0)，(0，)上均遞減，a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a，解得<a<或a<1.點評(1)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合題時，一定要考慮冪函數(shù)的定義(2)冪函數(shù)yx，由于的值不同，單調(diào)性和奇偶性也就不同變式已知冪函數(shù)yxm22m3 (mZ)的圖象與x軸、y軸都無公共點，且關(guān)于y軸對稱，求m

8、的值，且畫出它的圖象解由已知，得m22m30，1m3.又mZ，m1,0,1,2,3，當(dāng)m0或m2時，yx3為奇函數(shù)，其圖象不關(guān)于y軸對稱，不符合題意當(dāng)m1或m3時，有yx0，其圖象如圖所示當(dāng)m1時，yx4，其圖象如圖所示練習(xí)一、選擇題1下列命題：冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；n0時，yxn的圖象是一條直線；冪函數(shù)yxn，當(dāng)n>0時，是增函數(shù)；冪函數(shù)yxn，當(dāng)n<0時，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小其中正確的是()A和B和C和D和答案D2下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是()Ay2xByx1CyDyx2答案A3設(shè)，則使f(x)x為奇函數(shù)且在

9、(0，)內(nèi)單調(diào)遞減的值的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案A4當(dāng)x(1，)時，下列函數(shù)圖象恒在直線yx下方的偶函數(shù)是()Ayx Byx2 Cyx2 Dyx1答案B5如果冪函數(shù)y(m23m3)·xm2m2的圖象不過原點，則m的取值是()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm1答案B解析由已知m1或m2.6在函數(shù)y，y2x2，yx2x，y1 (x0)中冪函數(shù)的個數(shù)為()A1B0C2D3答案C解析依據(jù)冪函數(shù)的定義判定，應(yīng)選C.7冪函數(shù)f(x)的圖象過點，那么f(8)的值為()A2B64 C.D.答案C解析設(shè)f(x)x (為常數(shù))，將點代入得4，f(x)x，f(8)8.8下列函數(shù)中，值域為0，

10、)的函數(shù)是()Ay2x Byx2Cyx2 Dylogax (a>0，且a1)答案B解析根據(jù)函數(shù)圖象，選B.二、填空題1若冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點，則f(25)_.答案解析設(shè)f(x)x，則9，.f(25)25.2設(shè)冪函數(shù)yx的圖象經(jīng)過點(8,4)，則函數(shù)yx的值域是_答案0，)解析由48，得，yx0.3. 如圖所示是冪函數(shù)y=x在第一象限內(nèi)的圖象，已知取±2，±四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的依次為.答案2，24若冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(2，)，則f(25)的值是_答案5解析設(shè)yx，點(2，)在yx的圖象上，2，f(x)x.故f(25)255.5冪

11、函數(shù)yx (R)的圖象一定不經(jīng)過第_象限答案四6把下列各數(shù)2，3，0，按由小到大的排列順序為_答案3<<0<<2.7已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)<f(102a)，則a的取值范圍是_答案3<a<5解析f(x)x (x>0)，由圖象知x(0，)時為減函數(shù)，又f(a1)<f(102a)，得3<a<5.三、解答題1求函數(shù)y2x4（x32）值域解析：設(shè)tx，x32，t2，則yt22t4（t1）23當(dāng)t1時，ymin3函數(shù)y2x4（x32）的值域為3，）點評：這是復(fù)合函數(shù)求值域的問題，應(yīng)用換元法2已知f(x)(m22m)·x

12、m2m1，m是何值時，f(x)是(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù)解(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則，m1.(2)若f(x)為反比例函數(shù)，則，m1.(3)若f(x)為二次函數(shù)，則，m.(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m22m1，m1±。3已知點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點在冪函數(shù)g(x)的圖象上，問當(dāng)x為何值時，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)<g(x)解設(shè)f(x)x，由題意得：2()22，f(x)x2.同理可求：g(x)=x-2，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f(x)與y=g(x)的圖象，如圖所示由圖象可知：(1

13、)當(dāng)x>1或x<-1時，f(x)>g(x)(2)當(dāng)x=±1時，f(x)=g(x)(3)當(dāng)-1<x<0或0<x<1時，f(x)<g(x)4已知函數(shù)y(a23a2)xa25a5 (a為常數(shù))(1)a為何值時此函數(shù)為冪函數(shù).(2)a為何值時此函數(shù)為正比例函數(shù).(3)a為何值時此函數(shù)為反比例函數(shù).解(1)由題意，得a23a21，即a23a10.解得a，即a時，此函數(shù)為冪函數(shù)；(2)由題意，得解得a4，即a4時，此函數(shù)為正比例函數(shù)；(3)由題意，得解得a3，即a3時，此函數(shù)為反比例函數(shù)5已知函數(shù)y（1）求函數(shù)的定義域、值域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析：這是復(fù)合函數(shù)問題，利用換元法令t152xx2，則y，（1）由152xx20得函數(shù)的