高等數(shù)學上試題和答案解析

1、精品文檔華南農(nóng)業(yè)大學期末考試試卷（A 卷）20162017學年第 1 學期考試科目：高等數(shù)學A考試類型：（閉卷）考試考試時間：120分鐘學號姓名年級專業(yè)題號一二三四總分得分評閱人得分一、填空題（本大題共 5小題，每小題 3分，共 15分）1函數(shù) yln 1x1 x2 的定義域是。1x2設 yarcsinx ，則 dy =。3 lim( xa ) x。xxa4不定積分exdx =。e2x15反常積分1dx =。1x(x1)得分二、單項選擇題 （本大題共 5小題，每小題 3分，共 15分）sin 1 ,x01設 f (x)x，那么 limf ( x) 不存在的原因是（）x sin 1 ,xx 00

2、xA f (0)無定義B lim f (x) 不存在x 0C limf ( x) 不存在D lim f ( x) 和 limf (x) 都存在但不相等x 0x 0x 02設偶函數(shù) f ( x) 二階可導，且 f (0)0 ，那么 x0（）.精品文檔A不是 f ( x) 的駐點B是 f (x) 的不可導點C是 f ( x) 的極小值點D是 f (x) 的極大值點03設(x)x2 sin t 2 dt ，則( x)（）A2xsin x4B 2x sin x2C 2x sin x2D 2 x sin x44下列函數(shù)中不是函數(shù) sin 2x 的原函數(shù)的有1（）A2xB2xCD 1cos2xsincos

3、sin 2x225求由曲線 xya 與直線 xa ， x2a （ a0 ）及 y0 所圍成的圖形繞 y軸旋轉一周所生成的旋轉體的體積。（）A 1 aB aC 1 a2D 2 a222得分三、計算題（本大題共 7小題，每小題 7分，共 49分）1. 求極限 limcos(sinx) 1。x 03x22. 設 f ( x)x2 ,x1 ，試確定 a ， b 的值，使得 f ( x) 在 x1 可導。ax b,x1xa(tsin t)確定 y 是 x 的函數(shù)，求 dy 和 d22y 。3. 設參數(shù)方程a(1cost )ydxdx.精品文檔4計算不定積分(ln x) 2 dx 。5設方程 eysin(

4、 xy) 確定隱函數(shù) yy( x) 并滿足 y()0 ，求 y 。2x26設曲線 yax3bx2cx2 在 x1 處有極小值 0 ，且 (0, 2) 為拐點，求 a, b, c 的值。1x7計算定積分dx 。154x.精品文檔得分四、解答題 （本大題共 3小題，每小題 7分，共 21分）e1證明不等式：當x1 時， ex( x21)。2一拋物線的軸平行于x 軸，開口向左且通過原點與點(2,1) , 求當它與 y 軸所圍的面積最小時的方程。3.已知函數(shù)f ( x) 在 0,1上連續(xù)，在 (0,1) 內可導，且 f (0)0 ， f (1)1。證明：（ 1）存在(0,1)，使得 f () 1；（

5、2 ）存在兩個不同的點，(0,1) ，使得f( ) f ( ) 1。.精品文檔華南農(nóng)業(yè)大學期末考試試卷（A 卷）20162017學年第 1 學期考試科目：高等數(shù)學A參考答案一、填空題（本大題共 5小題，每小題 3分，共 15分）1 1,12 1dx3 e2 a 4 arctan exC 5 ln 22xx2二、單項選擇題 （本大題共 5小題，每小題 3分，共 15分）1C2C 3A 4C 5D1.5CM三、計算題（本大題共 7小題，每小題 7分，共 49分）1limcos(sin x) 1。. 求極限2x 03x解： lim cos(sin x)1limsin(sin x)cos x 2 分x

6、 02x 06x3x=1 lim cos x lim sin(sin x) sin x 5 分6 x 0x 0sin xx= 1 7 分62. 設 f ( x)x2 ,x1 ，試確定 a ， b 的值，使得 f ( x) 在 x1 可導。axb, x1解：因為lim f ( x)lim x21 1 分x 1x 1lim f ( x)lim (axb)ab 2 分x 1x 1而 f (1) 1，因為 f ( x) 在 x1處連續(xù)，所以 lim f (x)lim f ( x)f (1)，故x 1x 1a b 1 3 分f (1)limf (1x)f (1)lim(1x) 212 4.5 分x 0x

7、x 0xf (0)limf (1x)f (1)lima(1x)b1a 6 分x 0xx 0x因為 f ( x) 在 x1 處可導，所以 f (1)f (1)， 從而 a 2 ，所以b 17 分3. 設參數(shù)方程xa(tsin t)確定 y 是 x 的函數(shù)，求 dy和 d 2 y。ya(1cost)dxdx2.精品文檔解： dya sin tsin tcot t 3 分dxa(1cost)1 cost2d2y(cot t )25 分dx2 a(t sin t)1 csc2 t2 2a(1cost )1 csc4 t 7 分4a24計算不定積分(ln x) 2 dx 。解：(ln x)2 dxx(l

8、n x)2xd (ln x)2 2 分x(ln x)22 ln xdx 4 分x(ln x) 22x ln x2xd ln x 6 分x(ln x)22x ln x2xC 7 分5. 設方程 eysin( xy) 確定隱函數(shù) y y(x) 并滿足 y( )0，求 y 。22x解：方程兩邊對 x 求導，得ey y cos(xy)(1y) 3 分ycos( xy)5 分eycos( xy)又 x，得 y0 ，6 分2代入得y =0 7 分x26設曲線 yax3bx2cx 2 在 x 1 處有極小值 0 ，且 (0, 2) 為拐點，求 a, b,c 的值。解： y 3ax2c,1 分2bx.精品文檔

9、y 6ax2b, 2 分由題意得abc20a 0 b 0c 022 6 分3a 2b c06a 02b0解得 a 1,b0,c37 分7計算定積分1xdx 。1 5 4x解：令 t5 4x ，則 dx1 tdt 1 分25 t 21x11 54xdx34(1 t )dt 3 分t211t2)dt 4分8(531 (5t1 t 3 ) 13 6分831 7 分61.5CM四、解答題 （本大題共 3小題，每小題 7分，共 21分）1證明不等式：當 x1 時， exe ( x2 1)。exe ( x22證明：設 f ( x)1) ( x1)1 分2f ( x)exex 2 分所以f (x)exe 0

10、 3 分所以f (x)exex 單調遞增4 分當 x1 時， f ( x) f(1)0 5 分所以當 x1 時， f ( x)exe ( x21) ( x 1)單調遞增6 分2所以當 x 1 時， f ( x)f (1)，即 exe (x2 1) 7 分22一拋物線的軸平行于x 軸，開口向左且通過原點與點(2,1) , 求當它與 y 軸所.精品文檔圍的面積最小時的方程。解：設 xay 2byc 1 分它通過原點，因此 c0 2 分又通過 (2,1) ，所以 b2a 3 分所以滿拋物線為 xay2(2 a) y (a 0)這拋物線與 y 軸的另一交點是 (0,12) 4 分a它與 y 軸所圍面積為S( a)12(2a) ydy421a 5 分0a ay223aa6令 S (a)82103a3a26得 a4,a2 （舍）6 分所以 x4 y26 y 7 分3已知函數(shù) f ( x) 在 0,1上連續(xù)，在 (0,1) 內可導，且 f (0)0 ， f (1) 1。證明：（ 1）存在(0,1) ，使得 f ()1；（ 2 ）存在兩個不同的點，(0,1)，使得f () f( )1 。解：（1）令 g (x)f ( x)x1，2 分則 g ( x) 在 0,