如何學(xué)好數(shù)學(xué)-數(shù)形結(jié)合

1、.如何學(xué)好數(shù)學(xué)-數(shù)形結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)X嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間

2、形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算

3、的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值X圍。數(shù)學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)命題甲：0<x<5；命題乙：|x2|<3，那么甲是乙的_。（90年全國文）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2. 若log2<log2<0，則_。(92年全國理)A.

4、0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>13. 如果|x|,那么函數(shù)f(x)cosxsinx的最小值是_。 (89年全國文)A. B. C. 1 D. 4. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。(91年全國)A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5 D.減函數(shù)且最大值為5 5. 設(shè)全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)|1，N(x,y)|yx1，那么等于_。 (90年全國)A. B. (2,3) C. (2,3) D. (

5、x,y)|yx1 6. 如果是第二象限的角，且滿足cossin,那么是_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角7. 已知集合E|cos<sin，02，F(xiàn)|tg<sin，那么EF的區(qū)間是_。（93年全國文理）A. (,) B. (,) C. (,) D. (,) 8. 若復(fù)數(shù)z的輻角為，實(shí)部為2，則z_。A. 22 B. 22 C. 22 D. 229. 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x2)y3，那么的最大值是_。 (90年全國理)A. B. C. D. 10. 滿足方程|z3|的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_?！竞喗狻?小題：將不等式解集用數(shù)軸表

6、示，可以看出，甲>乙，選A;2小題：由已知畫出對數(shù)曲線，選B；3小題：設(shè)sinxt后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱畫出圖像，選B；5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；6小題：利用單位圓確定符號及象限；選B；7小題：利用單位圓，選A；8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率X圍問題；選D；10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案?！咀ⅰ恳陨细黝}是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸（題）、圖像（、題）、單位圓（、題）、復(fù)平面（、題）、方程曲線（

7、題）。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x、示X性題組：例1. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內(nèi)有唯一解，XX數(shù)m的取值X圍?！痉治觥繉?shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)X圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決。【解】原方程變形為即：設(shè)曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示。由圖可知：當(dāng)1m0時(shí)，有唯一解，m1; 當(dāng)11m<4時(shí)，有唯一解，即3<m0, m1或3<m0此題也可設(shè)曲線y(x2)1 , x(0,3)和直線ym后畫出圖像求解?！咀ⅰ恳话愕?，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖

8、像直觀解決，簡單明了。此題也可用代數(shù)方法來討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來求（也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值）。 y A D O B x C例2. 設(shè)|z|5，|z|2, |z|，求的值?！痉治觥坷脧?fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問題用幾何圖形幫助求解。【解】如圖，設(shè)z、z后，則、如圖所示。由圖可知，|，AODBOC，由余弦定理得：cosAOD(±)2± y A D O x【另解】設(shè)z、如圖所示。則|，且cosAOD，sinAOD±，所以(±)2±，即2±?！咀ⅰ勘绢}運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代

9、數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑。一般地，復(fù)數(shù)問題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問題的求解過程是：設(shè)z5(cossin)，zsin)，則|z|(5cos2cos)(5sin2sin)|，所以cos(),sin()±，cos()sin()(±)2±。本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過程是：由|z|得：（z）(z)zzzz254zz13,所以zz16,再同除以z得4，設(shè)z，解得z2±。幾種解法，各有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選

10、擇的方法也有別。一般地，復(fù)數(shù)問題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三角問題求解；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問題求解。例3. 直線L的方程為：x (p>0),橢圓中心D(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問p在什么X圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離.【分析】由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題（研究方程組解的情況）。【解】由已知得：a2，b1, A(,0)，設(shè)

11、橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：，消y得：x(47p)x(2p)0所以1664p48p>0,即6p8p2>0，解得：p<或p>1。結(jié)合X圍(,4+)內(nèi)兩根，設(shè)f(x)x(47p)x(2p)，所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>43。結(jié)合以上，所以43<p<?！咀ⅰ勘绢}利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問題。一般地，當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的X圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了“判別式法”，其中特別要注意解的X圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識都在本題進(jìn)行了綜合運(yùn)用。

12、例4. 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，討論是否，使得AB與(a,b)C同時(shí)成立。(85年高考)【分析】集合A、B都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b，使得AB”的含意就是“存在a、b使得nab3n15(nZ)有解（AB時(shí)xnm）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線L的距離12。【解】由AB得：nab3n15 ;設(shè)動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，所以圓心到直線距離d3()12

13、 n為整數(shù)上式不能取等號，故a、b不存在?！咀ⅰ考限D(zhuǎn)化為點(diǎn)集（即曲線），而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對有公共點(diǎn)問題的恰當(dāng)處理方法。本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：由AB得：nab3n15 ,即b3n15an （式）；由(a,b)C得，ab144 （式）；把式代入式，得關(guān)于a的不等式：(1n)a2n(3n15)a(3n15)1440 （式）,它的判別式4n(3n15)4(1n)(3n15)14436(n3)因?yàn)閚是整數(shù)，所以n30,因而<0，又因?yàn)?n>0,故式不可能有實(shí)數(shù)解。所以不存在a、b，使得AB與(a

14、,b)C同時(shí)成立、鞏固性題組：1. 已知5x12y60，則的最小值是_。A. B. C. D. 12. 已知集合P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若PQ，則b的取值X圍是_。A. |b|<3 B. |b|3 C. 3b3 D. 3<b<33. 方程2x2x1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是_。A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不對4. 方程x10sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_。5. 若不等式m>|x1|x1|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值X圍是_。6. 設(shè)zcos且|z|1,那么argz的取值X圍是_。7. 若方程x3ax2a0的一個(gè)根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值X圍是_。8. sin20°cos80°sin20&