高等數(shù)學第六章答案

1、精品文檔第六章定積分的應(yīng)用第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用1 求圖中各陰影部分的面積1（1）.6(2) 132(3)332(4)32. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積4(1)63(2) 3 ln 22(3) e12e(4) b a9344 （1） 21 1 （2） 435(1)a2(2)3a 28(3) 18a26（1） 2433（ 2） 54（ 3）2 sin 及 2cos21 3627求下列已知曲線所圍成的圖形按指定的軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積：（ 1） yx2和 x軸、向所圍圖形，繞x軸及 y軸。.精品文檔（ 2） yx 2和 y28x, 繞 x及 y軸。（ 3） x2y 5216,繞x 軸

2、。（ 4） xy=1 和 y=4x 、x=2 、 y=0，繞。（ 5）擺線 x=at-sint , ya 1cost 的一拱 , y0，繞 x軸。（1） ,;(2)48 ,24;(3)1602 ;(4) 13 ;(5)52a3.525568由 yx3 x 2y0 所圍成的圖形分別繞 x 軸及 y 軸旋轉(zhuǎn) 計算所得兩個旋轉(zhuǎn)體的體積Vx1287Vy645329把星形線 x2/ 3y2 / 3 a 2 / 3 所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積a310510（ 1）證明 由平面圖形0a x b 0 y f(x)繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V2bxf (x)dx證明略。a（ 2）利用

3、題（ 1）結(jié)論計算曲線 ysin x(0 x )和 x 軸所圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積2 211計算底面是半徑為R 的圓而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積4 3R3312計算曲線13計算曲線y2 x 23上相應(yīng)于 3 x8 的一段弧的弧長。 12 233yln(1x2 ) 上相應(yīng)于 0x1的一段弧的弧長。 ln 3122xa cos3 t14求星型線ya sin3 t的全長。 6a.精品文檔15求曲線a 1cos的周長。 8a第三節(jié)定積分的應(yīng)用第四節(jié)1由實驗知道彈簧在拉伸過程中需要的力 F(單位N) 與伸長量 s(單位cm) 成正比即 F ks(k 為比

4、例常數(shù) )如果把彈簧由原長拉伸6cm計算所作的功18 k(牛 厘米 )解 將彈簧一端固定于A另一端在自由長度時的點O 為坐標原點建立坐標系功元素為 dW ksds 所求功為612 618k(牛 厘米 )Wksds2ks 002直徑為 20cm、高 80cm 的圓柱體內(nèi)充滿壓強為10N/cm 2 的蒸汽設(shè)溫度保持不變要使蒸汽體積縮小一半問需要作多少功？ 800ln 2 (J)解 由玻 馬定律知PVk10 ( 102 80) 80000設(shè)蒸氣在圓柱體內(nèi)變化時底面積不變高度減小 x 厘米時壓強為 P(x)牛 /厘米 2則P(x) (102)(80x) 80000P(x)80080功元素為 dW(10

5、2)P(x)dx所求功為W40102 ) 800 dx 80000401dx800 ln 2 (J)(0800803設(shè)地球的質(zhì)量為M ，半徑為 R，現(xiàn)要將一個質(zhì)量為m 的物體從地球表面升高到h 處，問需要做多少功（設(shè)引力系數(shù)為G）？ G mMhRh4半徑為 R 的圓柱體沿固定水平面做純滾動，試分別求圓心C 沿其軌跡移動的距離S 時，作用于其上的靜滑動摩擦力和滾動摩阻力偶的功解圓柱體做平面運動，由運動學知，點B 為圓柱體的速度瞬心，由式（ 11-16 ）知圓柱體沿固定面做純滾動時，靜滑動摩擦力的功為零。.精品文檔滾動摩阻力偶的功可利用滾動摩阻力偶矩M=FN來計算所以它的元功為W Md =- Fn

6、 dsR如 F N 及 R均為常量，滾動一段路程S 后滾動摩阻力偶的功為W=S -Fn ds =- Fn s0RR可見滾動摩阻力偶的功為負功，且其絕對值W 與圓柱半徑成反比5設(shè)一錐形貯水池深 15m口徑 20m盛滿水 今以唧筒將水吸盡問要作多少功？解 在水深 x 處 水平截面半徑為 r102 x 功元素為3dWxr 2dxx(102 x)2 dx3所求功為15x(102 x)2 dxW03152430(100x40x9 x )dx1875( 噸米 )57785.7(kJ)6 有一閘門它的形狀和尺寸如圖水面超過門頂 2m求閘門上所受的水壓力2058(kN)解 建立 x 軸方向向下原點在水面水壓力

7、元素為dP 1 x 2dx2xdx閘門上所受的水壓力為5x2 521(噸 )=205 8(kN)P 2 xdx22.精品文檔7灑水車上的水箱是一個橫放的橢圓柱體尺寸如圖所示當水箱裝滿水時計算水箱的一個端面所受的壓力17.3(kN)解 建立坐標系如圖則橢圓的方程為(x3)2234y1212(4)壓力元素為dP1 x 2y(x)dxx 8(3)2(x3)2 dx344所求壓力為38 (3)2(x 3)2 dx82 3(1sin t) 3cost 3 costdxP2 x034432 4449 2 cos2 tdx9(噸 ) 17.3(kN)4 016(提示積分中所作的變換為 x33sint )44

8、8有一等腰梯形閘門它的兩條底邊各長10m 和 6m高為 20m較長的底邊與水面相齊計算閘門的一側(cè)所受的水壓力14388(千牛 )解 建立坐標系如圖直線 AB 的方程為y5 101 x壓力元素為1dP 1 x 2y(x)dxx (10x)dx所求壓力為.精品文檔201 x)dx 1467 (噸 ) 14388(千牛 )Px (10059一底為 8cm、高為 6cm 的等腰三角形片鉛直地沉沒在水中頂在上底在下且與水面平行而頂離水面 3cm試求它每面所受的壓力解 建立坐標系如圖腰 AC 的方程為 y2 x 壓力元素為3dP(x3) 2 2 x dx4 x(x 3)dx33所求壓力為P6 4 x(x3

9、)dx4(1 x33 x2)6168(克 )(牛 )0 33 32010 設(shè)有一長度為l、線密度為的均勻細直棒在與棒的一端垂直距離為a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M 試求這細棒對質(zhì)點M 的引力解 建立坐標系如圖在細直棒上取一小段 dy引力元素為dFG m dyGm2dya2y22yadF 在 x 軸方向和 y 軸方向上的分力分別為dFa dFdFyy dFxrrF(a Gm)dyaGm1dyGm lllx0r a2y20 (a2y2) a2y2a a2 l 2Fyl y Gmy2dy Gml1y2dy Gm (11l 2)0 r a20 (a2y2) a2aa2總復(fù)習題六.精品文檔1 填空

10、題：（ 1） 曲線 yx2 與 y2xx2 直線圍成所界區(qū)域的面積為13（ 2）曲線 y22x6 與直線 yx1 所界區(qū)域的面積為18（ 3）曲線 yx0 xsin tdt 上相應(yīng)于的一段弧長為40(4) 圓盤 x2y2a2 繞 xb(b>a>0) 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積2a2b2（ 5）一圓盤的半徑為R ，而密度為，其中為圓盤上一點到圓心的距離，則其質(zhì)量M2Rd0(6) 半徑為的球沉入水中，它與水面相切， 密度與水相同， 若將球從水中取出，則做的功。2求拋物線 y32 x x 2 與 Ox 軸所圍成圖形的面積。3求拋物線y 2x 與 y 2x4所圍成圖形的面積。4求圓 x 2y2r

11、 2 的面積、圓周長。5求雙紐線 r 2a 2 cos2的面積。6求心臟線 ra(1 cos) 繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積。xa(tsint ),(0t2 ) 與 x 軸圍成圖形的面積，弧長，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體體積。7求擺線a(1cost ),yxxach x , ( x8求懸鏈線 ya (e aea )a) 下的曲邊梯形的面積，弧長，繞x 軸旋轉(zhuǎn)體2a體積。9拋物線 y 22 px,(0xa) 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)拋物面的體積。10證明曲線ysin x 的一個周期的弧長等于橢圓2x 2y 22 的周長。11求橢球體 x 2y 2z21的體積。a 2b2c2.精品文檔12設(shè)有一半徑為R ，長度為

12、 l 的圓柱體平放在深度為2R 的水池中（圓柱體的側(cè)面與水面相切）。設(shè)圓柱體的比重為(1) ，現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面，問需做多少功？13一塊高為a ，底為 b 的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計算薄板每面所受的壓力。14用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵錘擊第一次時能將鐵釘擊入木板內(nèi)1cm，如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等，問鐵錘擊第二次時，能將鐵釘又擊入多少cm ？答案：2解： y3 2xx 2(3x)(1x), 令 y 0 得 x3or1 。故拋物線與Ox 軸交點為 (3,0) 及 (1,0)，所求圖形為 Ox 軸上半部

13、分。Sf (x)dx(3 2xx 2 )dx32 。113333解：兩條拋物線交點為(2,2 ), (2,2 ) 。則 S( y 24) y 2 dy 2(4 2 y 2 ) dy162 。222034解：由對稱性，只需考慮第一象限，S1r 2x 2 dx xr sin t2 r cost r costdtr 2 2 1 cos 2t dtr2；r00024故圓面積為 Sr 2 。xr cost,由圓的參數(shù)方程，求周長只需考慮第一象限，yr sin t ,l12r 2 sin 2 tr 2 cos2 t dt r 2 dtr；002圓周長 l4l1 2r 。.精品文檔5解： S414 r 2

14、( )d24 a 2 cos2 da 2 sin 24a 2 。2000xr cosa(1cos) cos6解：r sina(1cos) sinyVa2 (1cos) 2 sin 2d (a(1cos ) cos )0a30(1cos)2(12 cos) sin 3 dt cosa 31t) 2 (12t)(1t 2 )dt8 a 3 。(1137解： S22a(1cost )a(1cost )dta 223 ；y(t ) x (t )dt0(1 cos2 t)dt 3 a002 x (t )22a 2 (1 cost) 2a 22l y (t ) 2 dtsin 2 t dt 2a000t；

15、sin dt 8a2V2y 2 (t)dx (t )08解： Say( x)dxala y ( x) 2 dx1a22 (1cost ) 2 d (a(t sin t)a323 dt 52a 3a(1 cost )0x2 21；0aachdxasha aax ) 2 dxaxdx 2ash1；1 (shchaaaaVa2 (x)dxaa 3 (11sh2) 。ya2 (ch x )2 dxaaa29解： Vaapa2 。y 2 dx2 pxdx0010證：曲線ysin x 的一個周期的弧長為L12y 2 dx2cos211xdx ；00對于橢圓 2x 2y 22 ，由于其參數(shù)方程為xcosty

16、2 sin t2 x (t ) 2 y (t ) 2 dt2sin t )2( 2 cost )2 dt故 L20(021cos221 cos2 xdx ；0t dt0.精品文檔可見L1L2 。11解：用垂直于x 軸的平面截橢球，交x 軸于 x a, a ，所得截面為橢圓y 2z 21x 2,即y2z21,22222bca(b 1x2 ) 2(c 1x2 ) 2aa于是此橢圓的面積為S(x)bc(a2x2 ) ，a 2從而橢球體的體積為Vabc( a2x 2 )dx4abc 。aa2312解：建立如圖所示坐標系，把平放的圓柱y體從水中移出，相當把每一個水平薄板提高2R ，所做的功包括將薄板提升到水面提升力所做的功及從水面提高到Ry 高度提升力所做的功之和；R+y水下部分提升力F1(1) 2xldy ，R-y(1)2xl (Ry) dy,y所以 dw1oxx水上部分提升力F12xldy ，dw22xl ( Ry)dy,故 dwdwdw22lR2y 2 ( 21)Ry dy，1因此 wRR2y 2 ( 21) Rydy(21)l R 3 。2lR13解：如圖所示，取水平面上的底為x 軸，則 AB 直