學(xué)而思七上--第2講--絕對(duì)值幾何意義突破(共13頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上領(lǐng)先中考培優(yōu)課程 MATHEMATICS 2絕對(duì)值幾何意義突破 知識(shí)目標(biāo) 目標(biāo)一熟練絕對(duì)值式子的幾何意義距離，理解最值的含義目標(biāo)二掌握幾何意義求多個(gè)絕對(duì)值之和的最小值的方法目標(biāo)三掌握一般的絕對(duì)值式子求最值、定值的方法一零點(diǎn)分段法思維引入最值的含義 知識(shí)導(dǎo)航 最大值與最小值統(tǒng)稱為最值， 一個(gè)代數(shù)式一般能取到無(wú)數(shù)個(gè)值，我們把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如： 當(dāng)x等于任意數(shù)時(shí)，代數(shù)式能取到無(wú)數(shù)個(gè)值但其中最小的值是0因此可以說(shuō),僅當(dāng)x2時(shí)取得最小值為0；此時(shí)可以無(wú)窮大因此它沒(méi)有最大值 當(dāng)1x3時(shí)，2x3能取到無(wú)數(shù)個(gè)值，但當(dāng)x1時(shí)2x 3取得最小值為1；當(dāng)x3

2、時(shí) ， 2x3取得最大值為3這里也可以描述為當(dāng)lx3時(shí),1 2x 33練習(xí)最值的含義的理解1. 的最小值是 ，當(dāng)x 時(shí)它取得最小值； 一的最大值是 ，當(dāng)x 時(shí)它取得最大值； 當(dāng)x 時(shí)，(13x)2 2取得最小值為 ； 當(dāng)x 時(shí)，3一取得最大值為 ；2.先化簡(jiǎn)，再求它的最值，并說(shuō)明相應(yīng)的x的取圍3 先化簡(jiǎn)，再求它的最值，并說(shuō)明相應(yīng)的x的取值范圍. 總結(jié)歸納 雖然“最值”這個(gè)概念是代數(shù)層面上的，通過(guò)代數(shù)計(jì)算來(lái)找最值是最本質(zhì)的方法，但通過(guò)上面的練習(xí)不難發(fā)現(xiàn)，如果純通過(guò)代數(shù)計(jì)算來(lái)找最值，有時(shí)過(guò)程會(huì)比較繁瑣，計(jì)算量也較大，耗時(shí)又易錯(cuò). 初中知識(shí)兩大主線幾何與代數(shù)各成體系又相輔相成，例如數(shù)軸就是用形來(lái)表示

3、數(shù)，后面學(xué)習(xí)坐標(biāo)系與函數(shù)后會(huì)有更多數(shù)與形的結(jié)合現(xiàn)階段，絕對(duì)值的代數(shù)運(yùn)算意義和它在數(shù)軸上表示距離的幾何意義，就架起了數(shù)與形的橋梁靈活運(yùn)用絕對(duì)值的代數(shù)意義與幾何意義，融會(huì)貫通，就能使二者相得益彰，不僅能為解題帶來(lái)很大幫助，這種思維間的轉(zhuǎn)換對(duì)以后的學(xué)習(xí)也大有裨益 本講要學(xué)習(xí)的主要就是僅含絕對(duì)值的式子求最值的方法絕對(duì)值的幾何意義模塊一 絕對(duì)值的幾何視角距離知識(shí)導(dǎo)航通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們對(duì)絕對(duì)值的代數(shù)意義已經(jīng)很熟悉 ，這 讓我們看到一個(gè)含絕對(duì)值式子的第一反應(yīng)就是，我們可以把它拆開(kāi)例如，當(dāng)這個(gè)式子出現(xiàn)在我們眼前，它就被我們強(qiáng)迫癥般的在腦海中變成了誠(chéng)然，這種利用代數(shù)意義進(jìn)行的轉(zhuǎn)換在做絕對(duì)值化簡(jiǎn)時(shí)是必要且實(shí)用的但

4、在做最值類題型時(shí)反而繞了，轉(zhuǎn)換為距離更簡(jiǎn)實(shí)際上，前面我們已經(jīng)多次接觸了絕對(duì)值的幾何意義，上一講更是大量用到了絕對(duì)值來(lái)表示數(shù)軸上點(diǎn)的距離，因此當(dāng)我們看到要“表示數(shù)軸上的距離”時(shí)會(huì)不自覺(jué)的想到“可以用絕對(duì)值來(lái)表示”反過(guò)來(lái)，我們也應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，當(dāng)一個(gè)絕對(duì)使式子出觀時(shí)，它也代表著距離例如，表示數(shù)軸上數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示m的點(diǎn)與表示n的點(diǎn)之間的距離. 所以，當(dāng)這個(gè)式子出現(xiàn)在我們眼前，它還應(yīng)該被我們強(qiáng)迫癥般的在腦海中變成“這表示數(shù)軸上x(chóng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離”練習(xí) 幾何視角1. 的幾何意義是數(shù)軸上表示1的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離，則 ；2的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點(diǎn)與表示

5、 的點(diǎn)之間的距離： 1的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點(diǎn)與表示 的點(diǎn)之間的距離是 ：3. 的幾何意義是表示 的點(diǎn)與表示 的點(diǎn)之間的距離，且； 的幾何意義是表示 的點(diǎn)與表示 的點(diǎn)之間的距離，； 4的幾何意義是數(shù)軸上表示 點(diǎn)與表示 點(diǎn)之間的距離；若2，則x ；5 當(dāng)x1時(shí)， ，當(dāng)x時(shí)， .例1(1)數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系如右圖，且它們表示的數(shù)分別為p,q，r，s若 則 (2)有理數(shù)a、b、c、d各自對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上X、Y、Z、R四個(gè)點(diǎn)，且它們滿足以下三個(gè)條件： 比，都大； c是a、b、c、d中第二大的數(shù)則點(diǎn)X、Y、Z、R從左到右依次是 .練滿足成立的條件是( )A ab0 Bab 1 C. ab 0 D.

6、ab1模塊二 絕對(duì)值之和求最小值知識(shí)導(dǎo)航求的最小值；即數(shù)軸上x(chóng)與1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，即數(shù)軸上x(chóng)與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離， 把這兩個(gè)距離在同一個(gè)數(shù)軸上表示出來(lái)，然后把距離相加即可得原式的值.設(shè)A、B、P三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是1、2、x.當(dāng)lx2時(shí)，即P點(diǎn)在線段AB上，此時(shí)； 當(dāng)x2時(shí)，即P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，此時(shí) PAPBAB2PBAB； 當(dāng)x 1時(shí)，即P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)PAPBAB2PAAB；綜上可知，當(dāng)lx2時(shí)（P點(diǎn)在線段AB上），取得最小值為1此結(jié)論可以推廣：若已知以ab，則當(dāng)axb時(shí)，取得最小值為ba.題型一 兩個(gè)絕對(duì)值相加求最小值例2（1）當(dāng)x滿足 時(shí),取得最小值為 ； 當(dāng)x滿足 時(shí),取得最小

7、值為 ； 當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 （2）當(dāng)1x6時(shí)，的最小值為 ,最大值為 .（3）當(dāng)取得最小值時(shí)，試化簡(jiǎn) 總結(jié)歸納 絕對(duì)值的最值問(wèn)題多以選填題的形式考察，上述絕對(duì)值幾何意義的方法能迅速求解，但此法不能作為大題的解題步驟，所以一旦要求寫(xiě)大題步驟，只能使用零點(diǎn)分段法化簡(jiǎn)，分別求出每一段的取值范圍，最后得到最值練（1）當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ； 當(dāng)x滿足 時(shí)取得最小值為 （2）已知x為整數(shù)，且滿足,則x的所有可能值之和為 .（3）求的最小值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的范圍 挑戰(zhàn)壓軸題 （2014武昌七校七上期中壓軸題）數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的差的絕對(duì) 值，例：如圖所示，點(diǎn)A、B在數(shù)軸

8、上分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點(diǎn)間的距離表示為，根據(jù)以上知識(shí)解題：(1) 若數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)為x、1. A、B之間的距離可用含x的式子表為 ；若該兩點(diǎn)之間的距離為2,那么x值為 .(2) 的最小值為 ，此時(shí)x的取值范圍是 ； 已知，求x2y的最大值和最小值.拓已知，求xy的最值題型二 多個(gè)絕對(duì)值相加求最小值以四個(gè)絕對(duì)值之和為例，求的最小值； 設(shè)A、B、C、D、P五點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、4、x，在數(shù)軸上畫(huà)出各點(diǎn)，排好序之后由遠(yuǎn)及近依次兩兩一組求和。 當(dāng)1x4時(shí)，PAPD413，取得最小值； 當(dāng)2x3時(shí)，PBPC 321，取得最小值； 所求的，即上面兩式與之和，如果這兩式能同時(shí)取

9、得最小值，即PAPD與PBPC同時(shí)最小，那么它們的和必然也取得最小值 故當(dāng)2x3時(shí)，的最小值為(41)(32)4再以三個(gè)絕對(duì)值之和為例，求的最小值； 設(shè)A、B、C、P四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0、1、2、x 當(dāng)0x2時(shí)，取得最小值； 當(dāng)xl時(shí)，取得最小值； 所求的PAPBPC即上面兩式之和，如果這兩式和能同時(shí)取得最小值，即PAPC與PB同時(shí)最小，那么它們的和必然也取得最小值故僅當(dāng)xl時(shí)，的最小值為(2 0)02若求更多的偶數(shù)個(gè)或奇數(shù)個(gè)絕對(duì)值之和，可以用同樣的方法求其最小值例3（1）當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ； 當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ； (2)當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小

10、值為 ； 當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ；（3）當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)x當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ； （4）若0a10,則當(dāng)x滿足 時(shí)，的最小值是 ；總結(jié)歸納奇數(shù)個(gè)x取“中間點(diǎn)”若，當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值；最小值為.偶數(shù)個(gè)x取“中間段” 若，當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值； 最小值為.練 (1)當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 ； 當(dāng)x滿足 時(shí)，取得最小值為 . (2)求的最小值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的范圍拓求的最值； 求的最值.模塊三 絕對(duì)值之差求最值 知識(shí)導(dǎo)航求的最大值：設(shè)A、B、P三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為l、2、x，當(dāng)1x2時(shí)，即P點(diǎn)在線段AB上，此時(shí)PAPB，其值在1到1之間，其中，當(dāng)xl時(shí)，PA

11、PBl，當(dāng)x2時(shí)PAPB1,當(dāng)lx2時(shí)，1PAPB1.當(dāng)x2時(shí)，即P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)PAPBAB1 當(dāng)xl時(shí)，即P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)PAPB1 綜上可得：當(dāng)xl時(shí)（P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)）取得最小值為l： 當(dāng)x2時(shí)（P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)）取得量大值為1 用絕對(duì)值代數(shù)意義展開(kāi)亦可知 此結(jié)論可以推廣： 的最大值為最小值為，至于當(dāng)x滿足什么條件時(shí)分別取最大、最小值則可以畫(huà)數(shù)軸分析或把絕對(duì)值展開(kāi)計(jì)算例4 （1）用絕對(duì)值的幾何意義求的最值.(2) 用“零點(diǎn)分段法”化簡(jiǎn)，求出最值，并說(shuō)明相應(yīng)的x的取值范圍(3) 求的最值 練（2012武昌七校七上期中） 當(dāng)x在何范圍時(shí)，有最大值，并求出最大值.當(dāng)x在何范圍時(shí)，有最大值

12、，并求出它的最大值代數(shù)式最大值是 模塊四 定值問(wèn)題 知識(shí)導(dǎo)航 定值即指代數(shù)式的值恒為某一個(gè)數(shù) 例如用“零點(diǎn)分段法”化簡(jiǎn)可得.可見(jiàn)當(dāng)x2時(shí)的值恒為1即定值為1；當(dāng)xl時(shí)的值恒為1，即定值為1 再如，令s ，化簡(jiǎn)可得s，可見(jiàn)對(duì)于2xl范圍內(nèi)的任意x值，s的值恒為常數(shù)1，我們就說(shuō)當(dāng)2x1時(shí)s為定值綜上可知，要讓某式有定值，必須使它在某一條件下的取值與x無(wú)關(guān)因此，定值問(wèn)題的核心任務(wù)是，找到x的某個(gè)取值范圍，使得代數(shù)式中的x正好可以相互抵消 例5 (1)如果對(duì)于某一給定范圍內(nèi)的x值，p為定值，則此定值為 ，相 應(yīng)的x的范圍是 （2）如果對(duì)于某一給定范圍內(nèi)的x值，p為定值，則此定值為 (3)如果對(duì)于某一給

13、定范圍內(nèi)的x值，p 為定值，則此定值為 ， 相應(yīng)的x的范圍是 .練如果對(duì)于某一給范圍內(nèi)的x值，m為定值，則此定值為 ，相應(yīng)的x的范圍是 . 總結(jié)歸納 定值問(wèn)題雖然也可以用絕對(duì)值的幾何意義轉(zhuǎn)化為距離來(lái)求解，但它并不是此類題型的本質(zhì)解法，僅在x的系數(shù)都為l時(shí)此法較為便捷產(chǎn)生定值的根本原因是x相互抵消了，因此定值問(wèn)題的本質(zhì)解法是用類似“零點(diǎn)分段法”的思路，將式子中的每個(gè)絕對(duì)值拆開(kāi)，配x的系數(shù)使它為0，從而迅速找到相應(yīng)的x的范圍，并求出定值.當(dāng)然，上述方法都針對(duì)的是選填題，能迅速找到答案如果是需要寫(xiě)過(guò)程的大題，無(wú)論是求最值還是定值，都只能用“零點(diǎn)分段法，分類討論求解例6 (1) 若的值恒為常數(shù)，則x應(yīng)

14、滿足怎樣的條件？此常數(shù)的值為少？（2）（2014武昌七校中）如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值， s 的值恒為一常數(shù)，剛此常數(shù)值為（ ）. A.0 B.2 C4 D.6(3) 已知對(duì)于某一特定范圍內(nèi)a的任意允許值，的值恒為一常教 則此常數(shù)值為( ) A. 12 B.2 C12 D12或12(4)如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，s的值恒為一常數(shù)，則相應(yīng)的x的取值范圍是 .練 若的值是一個(gè)定值，求a的取值范圍.拓（2012外校七上期中）已知x為正數(shù)，且對(duì)于x在某一范圍內(nèi)任意取值，代數(shù)式 的值恒為定值，試求出x的取值范圍及這個(gè)定值第2講 絕對(duì)值幾何意義突破（課后作業(yè)）1.不相等的有理數(shù)a、b

15、、c在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，如果， 那么點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置關(guān)系是( ) A點(diǎn)A在點(diǎn)B、C之間 B.點(diǎn)B在點(diǎn)A、C之間 C點(diǎn)C在點(diǎn)A、B之間 D.以上三種情況均有可能2 已知0 p20，當(dāng)px20時(shí)，的最小值是( ) A. 40 B0 C. 20 D一個(gè)與p有關(guān)的代數(shù)式3. 如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，p 的值恒為一常數(shù)，則此值為( ) A.1 B0 C1 D1或14. 如果對(duì)于某一給定范圍內(nèi)的x值，p為定值，則此定值為 相應(yīng)的x的范圍是 5根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知：，它在數(shù)軸上的意義是表示3的點(diǎn)與原點(diǎn)之間 的距離；又如式子，它的幾何意義是表示8的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離，那么： （1）在數(shù)軸上的意義是 ； （2）的最小值為 ； （3）的最小值為 .6. 如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，S的 值恒為一常數(shù)，則此常為 ，相應(yīng)的x的取值范圍是 .7. 已知a為整數(shù)，且滿足，則a的值為 .8. （