類比的方法解題

1、如何用類比的方法解題一、類比意義與含義演繹推理一般到特殊推理歸納推理特殊到一般推理類比推理特殊到特殊推理所謂類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間的相似性，把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移到另一個(gè)對(duì)象。類比的實(shí)質(zhì)就是信息從模型向原型的轉(zhuǎn)移，其步驟可由下列框圖表示：原型模型可能的結(jié)果結(jié)果類比類比是一種數(shù)學(xué)思想方法，將生疏的問題和熟知的問題進(jìn)行比較，對(duì)生疏的問題作出猜想，并由此尋求問題的解決途徑或結(jié)論。數(shù)學(xué)家喬治·皮利亞相關(guān)名言：“類比是一個(gè)偉大的引路人”. “在你找到第一個(gè)蘑菇時(shí),千萬不要停下來,往前再走,繼續(xù)觀察,就會(huì)發(fā)現(xiàn)立體幾何與平面幾何的類比 “對(duì)平面幾何和立體幾何作類比，是提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)取之不竭的

2、源泉”。“如果把類比猜想的結(jié)論的似真性當(dāng)作肯定性，那將是愚蠢的。但是，忽視這種似真的猜想更為愚蠢。”名人名言（Kepler）：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽視的 ?！倍⑵矫鎺缀闻c立體幾何類比1、如何進(jìn)行類比為了對(duì)二者進(jìn)行類比，可以在它們的基本元素之間建立如下的類比關(guān)系：（但要注意的是這些類比關(guān)系又不是唯一的）平面幾何立體幾何多邊形（三角形）多面體（四面體即三棱錐）平面角二面角直線平面線段長(zhǎng)面積面積體積2、類比構(gòu)造命題（1）平面上定理直線平行的傳遞性：平行于同一條直線的兩直線平行。在空間中成立。（2）平面上定理等角定理：如果一個(gè)

3、角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。在空間中成立。（3）平面圖形的研究需要建立平面直角坐標(biāo)系；立體圖形是建立在三維空間即空間直角坐標(biāo)系上研究的。（4）平面上有公共端點(diǎn)的兩條射線形成的圖形叫平面角；空間里一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形叫二面角。而二面角的度數(shù)計(jì)算需轉(zhuǎn)化為平面角來完成。（5）平面上定理平面中，不在同一條直線上的三點(diǎn)可確定一個(gè)圓，這是圓的確定性定理；在空間中，不在同一個(gè)平面上的四點(diǎn)可確定一個(gè)球，這是球的確定性定理。（6）平面上定理平面中，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；空間中，過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行。3、類比拓

4、展結(jié)論（1）平面中，周長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、圓，則有 S三角形 < S 正方體< S圓空間中，表面積相等的正四面體、正方體、球，則有V正四面體 < V正方體< V球 （2）平面中，面積相等的正三角形、正方形、圓，則C三角形 > C正方體>C圓空間中，體積相等的正四面體、正方體、球，則S正四面體 > S正方體> S球。（3）平面中的勾股定理也可推廣到空間：平面空間RtABC中C=90°三棱錐P-ABC中三側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，P在面ABC上的射影為H,面積公式：設(shè)a,b是矩形相鄰兩邊則對(duì)角線L2=a2+ b 2設(shè)a,b,h

5、是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高則對(duì)角線L2= a2+ b 2+c2勾股定理：AC2+BC2=AB2SABC2=SPAB2+SPAC2+SPBC2射影定理：三角關(guān)系：最值問題：若三邊之和為定值，即，則當(dāng)時(shí)，最值問題：若六棱之和為定值，即，則當(dāng)時(shí)，（4）平面中，等邊ABC內(nèi)任一點(diǎn)到各邊的距離之和為定值（等邊ABC的高）；等腰ABC底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和為定值（一腰上的高）。空間中，正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面的距離之和為定值（正四面體的高）；正三棱錐底面上任一點(diǎn)到各側(cè)面的距離之和為定值（一側(cè)面上的高）。（5）圓的周長(zhǎng)公式：C=2r ；球的表面積公式：S=4r2；圓的面積公式：S=r2 ；球的體積公式：（6）

6、平面中：三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)為內(nèi)切圓的圓心。空間中：四面體的六個(gè)二面角平分面交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)為內(nèi)切球的球心。4、類比推理論證例1求證：正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值。平面問題：求證：正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值。證明方法：面積分割。類比猜想，所給立體幾何問題是否也可以通過分割方法，利用體積的關(guān)系來證明例2如圖1，若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)M1、M2與點(diǎn)N1、N2，則三角形OM1N1與OM2N2的面積之比=。如圖2，若從點(diǎn)O所作的不在同一平面上的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點(diǎn)P1、P2，點(diǎn)Q1、Q2和點(diǎn)R1、R2，則類似的結(jié)論為 。解析:本

7、題是平面幾何與立體幾何的類比，兩三棱錐OP1Q1R1與OP2P2R2的體積之比證明思路也可以類比而來。如右圖所示，連結(jié)P1Q1，Q1R1，R1P1，P2Q2，Q2R2，R2P2，過R1，R2分別作平面OQP的垂線，垂足為H1，H2，由O、R1、R2三點(diǎn)共線知，O、H1、H2三點(diǎn)也共線，又R1H1面OPQ，R2H2面OPQ，R1H1R2H2，OR1H1OR2H2，, 故類比正確.例4 在四面體ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)O，使得直線AO、BO、CO、DO與四面體的面BCD、CDA、DAB、ABC分別交于A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，且滿足，求k的所有可能的值.分析 類比平面幾何中的三角形，于是命題可以從“A

8、BC內(nèi)部有一點(diǎn)O，使得直線AO、BO、CO與三角形三邊BC、CA、AB分別交于A1、B1、C1三點(diǎn)，且滿足，求k的所有可能的值”的推理過程。解：面積證法，即，. ，于是得k的可能取值為2.在空間四面體中，可轉(zhuǎn)化為體積關(guān)系來推理.在四面體ABCD中，有，則體積關(guān)系有，于是得k的可能取值為3.點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用類比進(jìn)行思維時(shí)，首先要注意針對(duì)兩類可作比較的研究對(duì)象；其次是兩類研究對(duì)象附屬的性質(zhì)大體要有可比性.在此基礎(chǔ)上可由其中一類研究對(duì)象的性質(zhì)進(jìn)行推測(cè). 2.解析幾何中的類比題一 圓錐曲線的統(tǒng)一性橢圓，雙曲線，拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，這是因?yàn)樗鼈冇兄y(tǒng)一性的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線(F不在

9、上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時(shí)，它表示橢圓；當(dāng) 時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng) 時(shí)，它表示拋物線。由于它們有著共同的統(tǒng)一性定義，因此它們的性質(zhì)有著許多類似之處，在研究有關(guān)的問題時(shí)，我們可以通過類比的方法，解決諸多問題。（1）橢圓與雙曲線類比例1 ：（上海春招題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值；試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.分析： 類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與

10、之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值。證明：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為（）、（），則N（）。因?yàn)辄c(diǎn)M（）在已知雙曲線上，所以，同理，則（定值）。評(píng)注：本題以橢圓、雙曲線為載體，考查直線的斜率，橢圓、雙曲線的概念與方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及類比推理的能力。（2）橢圓與拋物線類比例2：在橢圓中，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，是左準(zhǔn)線，A是右頂點(diǎn)，過F任作直線與橢圓交與B、C兩點(diǎn)，連接AB、AC與左準(zhǔn)線分別交與P、Q兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，求證：為定值。類比上述結(jié)論，在拋物線中，你能得到什么結(jié)論，并給予證明。分析：如圖所示， 以橢圓左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則極坐標(biāo)方程為：,設(shè)，過C作，設(shè)準(zhǔn)線與 x軸交與E點(diǎn)，則與相

11、似，所以,即：，所以=。同理可得，所以。類比橢圓與拋物線，我們可以發(fā)現(xiàn)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，另外一個(gè)頂點(diǎn)即在無窮遠(yuǎn)處，等同于橢圓的右頂點(diǎn)A，因此我們有以下結(jié)論：在拋物線中，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，過F作直線與拋物線交與A、B兩點(diǎn)，分別過A、B向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為C、D，設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則為定值，定值為，證明從略。評(píng)注：本題中的類比是一個(gè)難點(diǎn)，只有牢牢把握住三類曲線的相似之處，才能解決此類問題，課本選修2-1（蘇教版）第23頁給出了三類曲線的形成模型，回歸教材，深入的研究三類曲線的產(chǎn)生過程，是解決問題的關(guān)鍵。（3）同類曲線自身的類比例3： 在平面直角坐標(biāo)系中，不難得到“對(duì)于雙曲線xy=k,

12、k>0,上任意一點(diǎn)P，若點(diǎn)P在x軸和y軸上的射影分別為A、B，則必為定值 K”；類比于此，對(duì)于雙曲線上任意一點(diǎn)P，類似的命題是什么？并證明你的結(jié)論。分析：鑒于x,y軸是雙曲線xy=k,k>0的兩條漸近線，因此我們可以得到下面的結(jié)論：對(duì)于雙曲線上任意一點(diǎn)P，若在兩條漸近線上的射影分別是A、B，則有必為定值。這個(gè)定值是多少呢？我們不妨先取P為頂點(diǎn)時(shí)，可以得到定值為，證明從略。評(píng)注：本題的類比關(guān)鍵在于抓住兩坐標(biāo)軸對(duì)于雙曲線xy=k,k>0而言實(shí)質(zhì)上是其漸近線。（4）三類曲線間的類比例4：在拋物線中，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，過F作直線與拋物線交與A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑作圓C，試判斷圓

13、C與準(zhǔn)線的位置關(guān)系。類比上述結(jié)論，在橢圓與雙曲線中是否仍有上述結(jié)論？若有，給予證明，若無，試說明位置關(guān)系。分析：如圖所示， 分別過A,B,C向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為G,E,H，由拋物線的定義知，,所以，由梯形的中位線定理知：,所以：,即圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，所以圓與準(zhǔn)線相切。類比上述推理過程，我們發(fā)現(xiàn)：由橢圓的第二定義知道：，其中e為橢圓的離心率，所以，由梯形的中位線定理知：,所以,即圓心到準(zhǔn)線的距離大于圓的半徑，所以圓與準(zhǔn)線相離。同理：若曲線為雙曲線，則圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相交。評(píng)注：本題考查圓錐曲線的統(tǒng)一定義，直線與圓的位置關(guān)系。類比的關(guān)鍵在于推理過程的類比，由于定義的統(tǒng)一性，判斷

14、方法的明確性，因此，要抓住其實(shí)質(zhì)進(jìn)行判斷，當(dāng)時(shí)，圓與準(zhǔn)線相切；當(dāng)時(shí)，圓與準(zhǔn)線相交；當(dāng)時(shí)，圓與準(zhǔn)線相離。練習(xí)：在橢圓中，A、B分別是左右頂點(diǎn)，過AB上任一點(diǎn)作直線軸，與橢圓交與C、D兩點(diǎn)，連接AC、BD交與P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡；類比于此，對(duì)于雙曲線和拋物線，類似的結(jié)論是什么？并加以說明。答案提示：若曲線是橢圓，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線； 若曲線是雙曲線，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；若曲線是拋物線，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線。例2我們知道:在拋物線中,以過拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓,必與拋物線的準(zhǔn)線相切.類比這一拋物線性質(zhì),研究橢圓或雙曲線中,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系, 同樣可以得出類似的性質(zhì).

15、請(qǐng)你寫出一個(gè)正確的性質(zhì):.yxABFMOlABM(圖3)解析:本題的類比物是圓錐曲線中的拋物線、橢圓與雙曲線,類比項(xiàng)是以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系.首先我們探求拋物線中“以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切”的合理內(nèi)核.如圖3,、在準(zhǔn)線上的射影為則.由拋物線的定義知,即,所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.xABFMlABM(圖4)C現(xiàn)在利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義“到焦點(diǎn)距離與其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率”,處理橢圓或雙曲線中的類似問題.如圖,設(shè)曲線C是橢圓或雙曲線,離心率為,、在相應(yīng)準(zhǔn)線上的射影為,則.由統(tǒng)一定義知,，即.若曲線C是橢圓,則,以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相離. 若曲線C是雙曲線,則,

16、 ,以為直徑的圓與準(zhǔn)線相交.因此,類比得出的性質(zhì)是“在橢圓中,以過橢圓焦點(diǎn)的弦為直徑的圓,必與橢圓的相應(yīng)準(zhǔn)線相離”;或“在雙曲線中,以過雙曲線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓,必與雙曲線的相應(yīng)準(zhǔn)線相交”.二 圓與圓錐曲線的相似性圓在解析幾何中占有一定的比重，也是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，那么它與圓錐曲線是否孤立呢？仔細(xì)研究教材（蘇教版），課本上的例題涉及了圓與橢圓的聯(lián)系，它們是可以通過伸縮變換而得到，實(shí)際上我們也可以通過幾何畫板形象的反映出它們之間的相互變化，當(dāng)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合時(shí)，也就形成了圓。既然有相似之處，我們就可以通過類比研究有關(guān)的問題。例5：已知圓C的方程為，動(dòng)點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，求證：該圓在點(diǎn)

17、P處的切線方程為； 類比于此，對(duì)于橢圓，類似的結(jié)論是什么？并加以證明。分析：若動(dòng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，顯然成立； 若動(dòng)點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，可得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式得直線的方程為，化簡(jiǎn)為: ,又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以所求切線方程為。類比橢圓與圓，我們有以下結(jié)論：已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為：，證明從略。評(píng)注：本題通過類比推廣，可以直接歸納概括出相應(yīng)的結(jié)論。波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn).”因此，作為基礎(chǔ)教育之一的中學(xué)數(shù)學(xué)，在教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力。為此，特提出以下教學(xué)建議：（1

18、）根據(jù)教材特點(diǎn)，在傳授新知識(shí)時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，通過類比與歸納得出新的知識(shí)，逐步學(xué)會(huì)類比推理的方法。（2）在進(jìn)行知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí)，經(jīng)常對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行類比，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比的習(xí)慣。（3）在解題教學(xué)中，通過類比，引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題，或通過類比，探求解題途徑，深化對(duì)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。（4）通過類比，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。開普勒對(duì)類比也情有獨(dú)鐘：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師 ”正因?yàn)槿绱?，以上這些有趣而富有啟迪的類比越來越多地受到了命題專家的關(guān)注，逐漸成為高考命題的新視角。3.函數(shù)與數(shù)列中的類比題例3（1）設(shè)函數(shù)f (x)=，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f (5)+f (4)+f (0)+f (5)+f (6)的值為 .（2）已知函數(shù)f (x)=，那么f (1)+f (2)+f (3)+f