(完整版)小學(xué)奧數(shù)-抽屜原理(教師版)

1、抽屜原理如果給你5 盒餅干，讓你把它們放到4 個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2 盒餅干。如果把 4 封信投到3 個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2 封信。如果把3 本聯(lián)練習(xí)冊分給兩位同學(xué)，那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到2 本練習(xí)冊。這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理” 。抽屜原理 1：將多于n 件的物品任意放到n 個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。假定這 n 個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2 件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣n 個抽屜中所放物品的總數(shù)就不會超過n 件。這與有多于n 個物品的假設(shè)相矛盾。說明抽屜原理1 成立。抽屜原理

2、2：將多于mn 件的物品任意放到n 個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+l。假定這 n 個抽屜中，每一個抽屜中的物品都不到（m+l）件，即每個抽屜里的物品不多于m件，這樣 n 個抽屜中可放物品的總數(shù)就不會超過m n 件。這與多于m n 件物品的假設(shè)相矛盾。說明原來的假設(shè)不成立。所以抽屜原理2 成立。運用抽屜原理解題的關(guān)鍵是選好“抽屜”，而構(gòu)造“抽屜”的方法多種多樣，會因題而異。運用原理 1 還是原理2 要看題目的問題和哪一個更直觀。抽屜原理2 實際上是抽屜原理1 的變形。【例 1】 某校六年級有學(xué)生367 人，請問有沒有兩個學(xué)生的生日是同一天？為什么？【解析】平年一年有365

3、天，閏年一年有366 天。把天數(shù)看做抽屜，共366 個抽屜。把367 個人分別放入 366 個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學(xué)生的生日是同一天?！拘≡嚺５丁磕承Ｓ?70 名 1992 年出生的學(xué)生，其中至少有2 個學(xué)生的生日是同一天，為什么？【解析】 1992 年共有 366 天，把它看成是366 個抽屜，把370 個人放入366 個抽屜中，至少有一個抽屜里有兩個人，因此其中至少有2 個學(xué)生的生日是同一天的。【例 2】 某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三本的，問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？

4、【解析】首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7 種類型，把7 種類型看成7 個抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個抽屜里有2 人，那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù)。所以至少要去 7+1=8（個）學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書。買書的類型有：買一本的：有語文、數(shù)學(xué)、外語3 種。買二本的：有語文和數(shù)學(xué)、語文和外語、數(shù)學(xué)和外語3 種。買三本的：有語文、數(shù)學(xué)和外語1 種。3+3+1=7（種）把7 種類型看做7 個抽屜，要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要去8 位學(xué)生?！拘≡嚺５丁磕嘲鄬W(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書、美術(shù)書、自然書。買書的情況是：有買一本的、二本的、三本或四本的。，問

5、至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？【解析】買書的類型中買一本的有4 種，買二本的有6 種，買三本的有4 種，買 4 本的有一種，共有 4+6+4+1 15 種情況。把種 15 種情況看出 15 個抽屜，要保證有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要去 16 位學(xué)生。【例 3】 一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有3 副同色的？【解析】 把四種顏色看成是4 個抽屜，要保證有3 副同色的， 先考慮保證有一副就要摸出5 只手套。這時拿出1 副同色的后，4 個抽屜中還剩下3 只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2

6、只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有3 副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9（只）【小試牛刀】布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍三種。問：最少要摸出多少只襪子，才能保證有3 雙同色的？【解析】把三種顏色看作3 個抽屜，要保證有一雙同色的就要摸出4 只襪子，這時拿出 1 雙同色的后， 3 個抽屜中還剩 2 只襪子。以后，只要再摸出2 只襪子就可保證有一雙同色的。因此，要保證有 3 雙同色的，最少要摸4+2+2 8 只襪子。【例 4】 任意 5 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是4 的倍數(shù)，這是為什么？【解析】一個自然數(shù)除以4 的余數(shù)可能是 0， 1，

7、 2， 3，所以，把這4 種情況看做時個抽屜，把任意5 個不相同的自然數(shù)看做5 個元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個抽屜中至少有2 個數(shù)，而這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是4 的倍數(shù)。所以，任意 5 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是 4 的倍數(shù)?！拘≡嚺５丁孔C明在任意的（n+1）個不相同的自然數(shù)中，必有兩個數(shù)之差為n 的倍數(shù)?！窘馕觥恳粋€自然數(shù)除以n 的余數(shù)可能是 0、 1、 2、 3、 .n 1，把這 n 種情況看作 n 個抽屜，把（ n+1）個自然數(shù)反復(fù)如 n 個抽屜中去，則必有一個抽屜中有兩個數(shù)，這兩個數(shù)的余數(shù)相同，則它們的差一定能被 n 整除，也就是 n 的倍數(shù)?！纠?5】

8、幼兒園里有120 個小朋友，各種玩具有364 件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到 4 件或 4 件以上的玩具？【解析】把120 個小朋友看做是120 個抽屜，把玩具件數(shù)看做是元素。則364=120 3+4， 4 120。根據(jù)抽屜原理的第（2）條規(guī)則：如果把m x k（x k 1）個元素放到x 個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有 m+1個或更多個元素?？芍辽儆幸粋€抽屜里有3+1=4 個元素，即有人會得到4 件或 4 件以上的玩具?！拘≡嚺５丁?一個幼兒園大班有 40 個小朋友， 班里有各種玩具125 件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到 4 件或 4 件以上的玩具？【解析】把 40

9、名小朋友看做40 個抽屜，將 125 件玩具放入這些抽屜，因為125 3 40+5，根據(jù)抽屜原理，可知至少有一個抽屜有4 件或 4 件以上的玩具，所以肯定有人會得到4 件或 4 件以上的玩具?！纠?6】 布袋里有 4 種不同顏色的球，每種都有10 個。最少取出多少個球，才能保證其中一定有 3 個球的顏色一樣？【解析】把 4 種不同顏色看做4 個抽屜，把布袋中的球看做元素。根據(jù)抽屜原理第（2）條，要使其中一個抽屜里至少有 3 個顏色一樣的球， 那么取出的球的個數(shù)應(yīng)比抽屜個數(shù)的2 倍多 1。即 2 4+1=9（個）球。列算式為（ 3 1） 4+1=9（個）【小試牛刀】 一個容器里放有10 塊紅木塊

10、、 10 塊白木塊、 10 塊藍木塊， 它們的形狀、 大小都一樣。當你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時，為確保取出的木塊中至少有 4 塊顏色相同，應(yīng)至少取出多少塊木塊？【解析】至少取出（4 1） 3+110 塊木塊。【例 7】 某班共有46 名學(xué)生，他們都參加了課外興趣小組?；顒觾?nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書法和英語，每人可參加1 個、2 個、 3 個或 4 個興趣小組。 問班級中至少有幾名學(xué)生參加的項目完全相同？【解析】參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個組的有4 種類型，只參加兩個小組的有 6 個類型，只參加三個組的有4 種類型，參加四個組的有1 種類型。把 4+6+4+1=15（種）類型看做

11、 15 個抽屜，把46 個學(xué)生放入這些抽屜，因為46=3 15+1，所以班級中至少有 4 名學(xué)生參加的項目完全相同。【小試牛刀】某班有 37 個學(xué)生，他們都訂閱了小主人報、少年文藝 、小學(xué)生優(yōu)秀作文三種報刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報刊相同？【解析】全班訂閱報刊的類型共有3+3+1 7 種，因為 37 57+2，所以其中至少有 6 位學(xué)生訂的報刊相同?！纠?8】 將 400 張卡片分給若干名同學(xué)，每人都能分到，但都不能超過11 張，試證明：找少有七名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。【解析】這題需要靈活運用抽屜原理。將分得1，2， 3， ， 11 張可片看做 11 個抽屜，把同學(xué)人數(shù)看做

12、元素， 如果每個抽屜都有一個元素，則需 1+2+3+10+11=66（張）卡片。而 400 66=64（張），即每個周體都有 6 個元素，還余下4 張卡片沒分掉。而這 4 張卡片無論怎么分，都會使得某一個抽屜至少有7 個元素，所以至少有 7 名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同?！拘≡嚺５丁堪?80 個桃分給若干只猴子，每只猴子不超過10 個。證明：無論怎樣分，至少有6只猴子得到的桃一樣多。【解析】略【例 9】 用黑、白、紅三種顏色將一個 27 方格圖（如下圖） 中的每個小方格隨意涂上顏色，而且每個小方格只涂一種顏色，同列小方格顏色不同。問：是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？【解析】用三種顏

13、色給每列中的兩個小方格隨意涂色，會有以下6 種情況。將這 6 種情況看成6 個抽屜，將7 列分別放入6 個抽屜中，根據(jù)抽屜原理1，至少有一個抽屜中不少于兩列，那么總有兩列的小方格中涂的顏色完全相同?！拘≡嚺５丁?在長度是15 厘米的線段上任意取6 個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于3 厘米？【解析】因為15 3=5，所以將15 厘米長的線段每3 厘米分成一份，總共分成5 份，并以此作為5個抽屜。根據(jù)抽屜原則1，在這條線段上任意取6 個點時，至少有一個抽屜中被放入了兩個點。那么它們之間的距離一定不大于3 厘米?！纠?10】 一個口袋中有50 個編上號碼的相同的小球，其中編號為l 、2、

14、3、4、5 的各有 10 個。問：一次至少要取出多少小球，才能保證其中至少有4 個號碼相同的小球？【解析】一次至少要取出 16個小球才能保證其中至少有4 個號碼相同的小球?！拘≡嚺５丁堪?54 本圖書分給四年級某班的同學(xué)，如果不管怎樣分，都至少有一位同學(xué)會分得4本或 4 本以上的圖書，那么這個班最多有多少名學(xué)生？【解析】此題是逆用抽屜原理2，要求有多少個抽屜。由“至少有一位同學(xué)分得4 本或 4 本以上的圖書”，可知 m+1=4，那么 m=3，又因為 154=3 51+l ，得 n=51，那么這個班最多有51 名學(xué)生。因為 154（ 4-l） =51l所以這個班至少有51 名學(xué)生?！纠?11】

15、有 120 名學(xué)生從 A、B、C 三人中自己投票選舉一人做三好學(xué)生，投票時每人只能投一次，且只能選一個人。得票最多的人當選。統(tǒng)計票數(shù)的過程中發(fā)現(xiàn)，在前81 張選票中， A 得 21票， B得 25 票， C得 35 票。在余下的選票中，C 至少再得幾張選票就一定能當選？【解析】剩下未統(tǒng)計的選票有：120-81=39 （張），在已統(tǒng)計出的選票中，C 得票最多，其次是B， B比 C 少得 35-25=10（票）。從最不利的方面考慮， 讓接下來的 10 票都給 B，那么還剩下 39-10=29（張）選票。根據(jù)抽屜原理 2，把 B、C 兩人做為 2 個抽屜，由于292=14l ，那么 C 至少再得 1

16、4+1=15（張）選票就一定能當選。120-81-（ 35-25 ） 2=29214114+1=15在余下的選票中，C 至少要再得15 張選票就一定能當選?！纠?12】 從 1， 2，3， ， 1988， 1989 這些自然數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得其中每兩個數(shù)的差不等于4？【解析】 1， 2，3， 4， 9， 10， 1l ， 12， 17， 18， 19， 20， 25， ，這些數(shù)中任何兩個數(shù)的差都不為4，這些數(shù)是每8 個連續(xù)的數(shù)中選取前4 個連續(xù)的數(shù)有 19898=2485，所以最多可以選2484+4 =996個數(shù)評注： 對于這類問題，一種方法是先盡可能的多選擇，然后再找出這些數(shù)的

17、規(guī)律，再計算出最多可以選出多少個.【小試牛刀】從1 至 1993 這 1993 個自然數(shù)中最多能取出多少個數(shù)，使得其中任意的兩數(shù)都不連續(xù)且差不等于4？【解析】1， 3，6， 8， 11， 13， 16， 18， 21， ，這些數(shù)中任何兩個數(shù)不連續(xù)且差不等于4，這些數(shù)是每5 個連續(xù)的數(shù)中選擇第1、 3 個數(shù)19935=398 3 . 所以最多可以選3982+2=798 個數(shù)1. 某校有 30 名學(xué)生是 2 月份出生的，能否至少有兩個學(xué)生生日是在同一天？【解析】 2 月份最多有 29 天，把它看作 29 個抽屜，把 30 名學(xué)生放入 29 個抽屜，至少有一個抽屜里有兩個人，因此這 30 名學(xué)生中至

18、少有兩個學(xué)生的生日是在同一天。2 15 個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？【解析】一年有 12 個月，把 12 個月看作12 個抽屜，把15 個小朋友放入12 個抽屜中，至少有一個抽屜里有兩個小朋友，因此至少有2 個小朋友是才同一個月出生。3. 一個布袋里有紅、黃、藍色襪子各 8 只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多少只才能保證其中至少有 2 雙不同襪子？【解析】袋中有三種襪子時。每次從袋中拿出一只襪子，有可能拿出8 只都是同一顏色。在余下兩種顏色中要拿出一雙同色的襪子，最少要取3 只。因此，最少要拿出8+3 11 只才能保證其中至少有 2 雙顏色不同的襪子。4. 把25 個球

19、最多放在幾個盒子里，才能至少有一個盒子里有7 個球？【解析】把盒子數(shù)看成抽屜，要使其中一個抽屜里至少有的（ 71）倍多 1，而 25 4（ 71）+1，所以最多方子7 個球，那么球的個數(shù)至少應(yīng)比抽屜個數(shù)4 個盒子里，才能保證至少有一個盒子里有 7個球。5. 學(xué)校開辦了繪畫、 笛子、足球和電腦四個課外學(xué)習(xí)班， 每個學(xué)生最多可以參加兩個 （可以不參加） 。某班有 52 名同學(xué)，問至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同？【解析】參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個組的有4 種類型，只參加兩個組的有6 種類型，只參加三個字的有4 種類型，參加四個組的有1 種類型。把4+6+4+115 種類型看作15個抽屜，把46 個學(xué)生放入這些抽屜，因為4615 3+1，所以班級中至少有4 名學(xué)生參加的項目完全相同。6. 四年級某班有 45 名同學(xué)，那么在這 45 名同學(xué)中至少有幾個人在同一個月中出生？【解析】至少有 4 個人在同一個月中出生。7學(xué)校開辦了外語、音樂、體育、美術(shù)四個課外活動小組，每個學(xué)生最多可以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于6 名同學(xué)參加課外活動小組的情況完全相同？【解析】參加學(xué)習(xí)班的情況有：不參加活動小組有1 種情況，只參加一個活動小組有4 種情況，參加兩