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文檔簡介

1、抽屜原理如果給你5 盒餅干,讓你把它們放到4 個抽屜里,那么可以肯定有一個抽屜里至少有2 盒餅干。如果把 4 封信投到3 個郵箱中,那么可以肯定有一個郵箱中至少有2 封信。如果把3 本聯(lián)練習(xí)冊分給兩位同學(xué),那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到2 本練習(xí)冊。這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理” 。抽屜原理 1:將多于n 件的物品任意放到n 個抽屜中,那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。假定這 n 個抽屜中,每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2 件,那么每一個抽屜中的物品或者是一件,或者沒有。這樣n 個抽屜中所放物品的總數(shù)就不會超過n 件。這與有多于n 個物品的假設(shè)相矛盾。說明抽屜原理1 成立。抽屜原理

2、2:將多于mn 件的物品任意放到n 個抽屜中,那么至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+l。假定這 n 個抽屜中,每一個抽屜中的物品都不到(m+l)件,即每個抽屜里的物品不多于m件,這樣 n 個抽屜中可放物品的總數(shù)就不會超過m n 件。這與多于m n 件物品的假設(shè)相矛盾。說明原來的假設(shè)不成立。所以抽屜原理2 成立。運用抽屜原理解題的關(guān)鍵是選好“抽屜”,而構(gòu)造“抽屜”的方法多種多樣,會因題而異。運用原理 1 還是原理2 要看題目的問題和哪一個更直觀。抽屜原理2 實際上是抽屜原理1 的變形。【例 1】 某校六年級有學(xué)生367 人,請問有沒有兩個學(xué)生的生日是同一天?為什么?【解析】平年一年有365

3、天,閏年一年有366 天。把天數(shù)看做抽屜,共366 個抽屜。把367 個人分別放入 366 個抽屜中,至少在一個抽屜里有兩個人,因此,肯定有兩個學(xué)生的生日是同一天?!拘≡嚺5丁磕承S?70 名 1992 年出生的學(xué)生,其中至少有2 個學(xué)生的生日是同一天,為什么?【解析】 1992 年共有 366 天,把它看成是366 個抽屜,把370 個人放入366 個抽屜中,至少有一個抽屜里有兩個人,因此其中至少有2 個學(xué)生的生日是同一天的。【例 2】 某班學(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書。買書的情況是:有買一本的、二本的、也有三本的,問至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書(每種書最多買一本)?

4、【解析】首先考慮買書的幾種可能性,買一本、二半、三本共有7 種類型,把7 種類型看成7 個抽屜,去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個抽屜里有2 人,那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù)。所以至少要去 7+1=8(個)學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書。買書的類型有:買一本的:有語文、數(shù)學(xué)、外語3 種。買二本的:有語文和數(shù)學(xué)、語文和外語、數(shù)學(xué)和外語3 種。買三本的:有語文、數(shù)學(xué)和外語1 種。3+3+1=7(種)把7 種類型看做7 個抽屜,要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書,至少要去8 位學(xué)生?!拘≡嚺5丁磕嘲鄬W(xué)生去買語文書、數(shù)學(xué)書、外語書、美術(shù)書、自然書。買書的情況是:有買一本的、二本的、三本或四本的。,問

5、至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書(每種書最多買一本)?【解析】買書的類型中買一本的有4 種,買二本的有6 種,買三本的有4 種,買 4 本的有一種,共有 4+6+4+1 15 種情況。把種 15 種情況看出 15 個抽屜,要保證有兩位同學(xué)買到相同的書,至少要去 16 位學(xué)生。【例 3】 一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套,顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有3 副同色的?【解析】 把四種顏色看成是4 個抽屜,要保證有3 副同色的, 先考慮保證有一副就要摸出5 只手套。這時拿出1 副同色的后,4 個抽屜中還剩下3 只手套。根據(jù)抽屜原理,只要再摸出2

6、只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推,要保證有3 副同色的,共摸出的手套有5+2+2=9(只)【小試牛刀】布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍三種。問:最少要摸出多少只襪子,才能保證有3 雙同色的?【解析】把三種顏色看作3 個抽屜,要保證有一雙同色的就要摸出4 只襪子,這時拿出 1 雙同色的后, 3 個抽屜中還剩 2 只襪子。以后,只要再摸出2 只襪子就可保證有一雙同色的。因此,要保證有 3 雙同色的,最少要摸4+2+2 8 只襪子。【例 4】 任意 5 個不相同的自然數(shù),其中至少有兩個數(shù)的差是4 的倍數(shù),這是為什么?【解析】一個自然數(shù)除以4 的余數(shù)可能是 0, 1,

7、 2, 3,所以,把這4 種情況看做時個抽屜,把任意5 個不相同的自然數(shù)看做5 個元素,再根據(jù)抽屜原理,必有一個抽屜中至少有2 個數(shù),而這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的,它們的差一定是4 的倍數(shù)。所以,任意 5 個不相同的自然數(shù),其中至少有兩個數(shù)的差是 4 的倍數(shù)?!拘≡嚺5丁孔C明在任意的(n+1)個不相同的自然數(shù)中,必有兩個數(shù)之差為n 的倍數(shù)?!窘馕觥恳粋€自然數(shù)除以n 的余數(shù)可能是 0、 1、 2、 3、 .n 1,把這 n 種情況看作 n 個抽屜,把( n+1)個自然數(shù)反復(fù)如 n 個抽屜中去,則必有一個抽屜中有兩個數(shù),這兩個數(shù)的余數(shù)相同,則它們的差一定能被 n 整除,也就是 n 的倍數(shù)?!纠?5】

8、幼兒園里有120 個小朋友,各種玩具有364 件。把這些玩具分給小朋友,是否有人會得到 4 件或 4 件以上的玩具?【解析】把120 個小朋友看做是120 個抽屜,把玩具件數(shù)看做是元素。則364=120 3+4, 4 120。根據(jù)抽屜原理的第(2)條規(guī)則:如果把m x k(x k 1)個元素放到x 個抽屜里,那么至少有一個抽屜里含有 m+1個或更多個元素??芍辽儆幸粋€抽屜里有3+1=4 個元素,即有人會得到4 件或 4 件以上的玩具?!拘≡嚺5丁?一個幼兒園大班有 40 個小朋友, 班里有各種玩具125 件。把這些玩具分給小朋友,是否有人會得到 4 件或 4 件以上的玩具?【解析】把 40

9、名小朋友看做40 個抽屜,將 125 件玩具放入這些抽屜,因為125 3 40+5,根據(jù)抽屜原理,可知至少有一個抽屜有4 件或 4 件以上的玩具,所以肯定有人會得到4 件或 4 件以上的玩具?!纠?6】 布袋里有 4 種不同顏色的球,每種都有10 個。最少取出多少個球,才能保證其中一定有 3 個球的顏色一樣?【解析】把 4 種不同顏色看做4 個抽屜,把布袋中的球看做元素。根據(jù)抽屜原理第(2)條,要使其中一個抽屜里至少有 3 個顏色一樣的球, 那么取出的球的個數(shù)應(yīng)比抽屜個數(shù)的2 倍多 1。即 2 4+1=9(個)球。列算式為( 3 1) 4+1=9(個)【小試牛刀】 一個容器里放有10 塊紅木塊

10、、 10 塊白木塊、 10 塊藍木塊, 它們的形狀、 大小都一樣。當你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時,為確保取出的木塊中至少有 4 塊顏色相同,應(yīng)至少取出多少塊木塊?【解析】至少取出(4 1) 3+110 塊木塊。【例 7】 某班共有46 名學(xué)生,他們都參加了課外興趣小組?;顒觾?nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書法和英語,每人可參加1 個、2 個、 3 個或 4 個興趣小組。 問班級中至少有幾名學(xué)生參加的項目完全相同?【解析】參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況,只參加一個組的有4 種類型,只參加兩個小組的有 6 個類型,只參加三個組的有4 種類型,參加四個組的有1 種類型。把 4+6+4+1=15(種)類型看做

11、 15 個抽屜,把46 個學(xué)生放入這些抽屜,因為46=3 15+1,所以班級中至少有 4 名學(xué)生參加的項目完全相同。【小試牛刀】某班有 37 個學(xué)生,他們都訂閱了小主人報、少年文藝 、小學(xué)生優(yōu)秀作文三種報刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報刊相同?【解析】全班訂閱報刊的類型共有3+3+1 7 種,因為 37 57+2,所以其中至少有 6 位學(xué)生訂的報刊相同?!纠?8】 將 400 張卡片分給若干名同學(xué),每人都能分到,但都不能超過11 張,試證明:找少有七名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。【解析】這題需要靈活運用抽屜原理。將分得1,2, 3, , 11 張可片看做 11 個抽屜,把同學(xué)人數(shù)看做

12、元素, 如果每個抽屜都有一個元素,則需 1+2+3+10+11=66(張)卡片。而 400 66=64(張),即每個周體都有 6 個元素,還余下4 張卡片沒分掉。而這 4 張卡片無論怎么分,都會使得某一個抽屜至少有7 個元素,所以至少有 7 名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同?!拘≡嚺5丁堪?80 個桃分給若干只猴子,每只猴子不超過10 個。證明:無論怎樣分,至少有6只猴子得到的桃一樣多。【解析】略【例 9】 用黑、白、紅三種顏色將一個 27 方格圖(如下圖) 中的每個小方格隨意涂上顏色,而且每個小方格只涂一種顏色,同列小方格顏色不同。問:是否存在兩列,它們的小方格中涂的顏色完全相同?【解析】用三種顏

13、色給每列中的兩個小方格隨意涂色,會有以下6 種情況。將這 6 種情況看成6 個抽屜,將7 列分別放入6 個抽屜中,根據(jù)抽屜原理1,至少有一個抽屜中不少于兩列,那么總有兩列的小方格中涂的顏色完全相同?!拘≡嚺5丁?在長度是15 厘米的線段上任意取6 個點,是否至少有兩個點,它們之間的距離不大于3 厘米?【解析】因為15 3=5,所以將15 厘米長的線段每3 厘米分成一份,總共分成5 份,并以此作為5個抽屜。根據(jù)抽屜原則1,在這條線段上任意取6 個點時,至少有一個抽屜中被放入了兩個點。那么它們之間的距離一定不大于3 厘米?!纠?10】 一個口袋中有50 個編上號碼的相同的小球,其中編號為l 、2、

14、3、4、5 的各有 10 個。問:一次至少要取出多少小球,才能保證其中至少有4 個號碼相同的小球?【解析】一次至少要取出 16個小球才能保證其中至少有4 個號碼相同的小球?!拘≡嚺5丁堪?54 本圖書分給四年級某班的同學(xué),如果不管怎樣分,都至少有一位同學(xué)會分得4本或 4 本以上的圖書,那么這個班最多有多少名學(xué)生?【解析】此題是逆用抽屜原理2,要求有多少個抽屜。由“至少有一位同學(xué)分得4 本或 4 本以上的圖書”,可知 m+1=4,那么 m=3,又因為 154=3 51+l ,得 n=51,那么這個班最多有51 名學(xué)生。因為 154( 4-l) =51l所以這個班至少有51 名學(xué)生?!纠?11】

15、有 120 名學(xué)生從 A、B、C 三人中自己投票選舉一人做三好學(xué)生,投票時每人只能投一次,且只能選一個人。得票最多的人當選。統(tǒng)計票數(shù)的過程中發(fā)現(xiàn),在前81 張選票中, A 得 21票, B得 25 票, C得 35 票。在余下的選票中,C 至少再得幾張選票就一定能當選?【解析】剩下未統(tǒng)計的選票有:120-81=39 (張),在已統(tǒng)計出的選票中,C 得票最多,其次是B, B比 C 少得 35-25=10(票)。從最不利的方面考慮, 讓接下來的 10 票都給 B,那么還剩下 39-10=29(張)選票。根據(jù)抽屜原理 2,把 B、C 兩人做為 2 個抽屜,由于292=14l ,那么 C 至少再得 1

16、4+1=15(張)選票就一定能當選。120-81-( 35-25 ) 2=29214114+1=15在余下的選票中,C 至少要再得15 張選票就一定能當選?!纠?12】 從 1, 2,3, , 1988, 1989 這些自然數(shù)中,最多可以取出多少個數(shù),使得其中每兩個數(shù)的差不等于4?【解析】 1, 2,3, 4, 9, 10, 1l , 12, 17, 18, 19, 20, 25, ,這些數(shù)中任何兩個數(shù)的差都不為4,這些數(shù)是每8 個連續(xù)的數(shù)中選取前4 個連續(xù)的數(shù)有 19898=2485,所以最多可以選2484+4 =996個數(shù)評注: 對于這類問題,一種方法是先盡可能的多選擇,然后再找出這些數(shù)的

17、規(guī)律,再計算出最多可以選出多少個.【小試牛刀】從1 至 1993 這 1993 個自然數(shù)中最多能取出多少個數(shù),使得其中任意的兩數(shù)都不連續(xù)且差不等于4?【解析】1, 3,6, 8, 11, 13, 16, 18, 21, ,這些數(shù)中任何兩個數(shù)不連續(xù)且差不等于4,這些數(shù)是每5 個連續(xù)的數(shù)中選擇第1、 3 個數(shù)19935=398 3 . 所以最多可以選3982+2=798 個數(shù)1. 某校有 30 名學(xué)生是 2 月份出生的,能否至少有兩個學(xué)生生日是在同一天?【解析】 2 月份最多有 29 天,把它看作 29 個抽屜,把 30 名學(xué)生放入 29 個抽屜,至少有一個抽屜里有兩個人,因此這 30 名學(xué)生中至

18、少有兩個學(xué)生的生日是在同一天。2 15 個小朋友中,至少有幾個小朋友在同一個月出生?【解析】一年有 12 個月,把 12 個月看作12 個抽屜,把15 個小朋友放入12 個抽屜中,至少有一個抽屜里有兩個小朋友,因此至少有2 個小朋友是才同一個月出生。3. 一個布袋里有紅、黃、藍色襪子各 8 只。每次從布袋中拿出一只襪子,最少要拿出多少只才能保證其中至少有 2 雙不同襪子?【解析】袋中有三種襪子時。每次從袋中拿出一只襪子,有可能拿出8 只都是同一顏色。在余下兩種顏色中要拿出一雙同色的襪子,最少要取3 只。因此,最少要拿出8+3 11 只才能保證其中至少有 2 雙顏色不同的襪子。4. 把25 個球

19、最多放在幾個盒子里,才能至少有一個盒子里有7 個球?【解析】把盒子數(shù)看成抽屜,要使其中一個抽屜里至少有的( 71)倍多 1,而 25 4( 71)+1,所以最多方子7 個球,那么球的個數(shù)至少應(yīng)比抽屜個數(shù)4 個盒子里,才能保證至少有一個盒子里有 7個球。5. 學(xué)校開辦了繪畫、 笛子、足球和電腦四個課外學(xué)習(xí)班, 每個學(xué)生最多可以參加兩個 (可以不參加) 。某班有 52 名同學(xué),問至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同?【解析】參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況,只參加一個組的有4 種類型,只參加兩個組的有6 種類型,只參加三個字的有4 種類型,參加四個組的有1 種類型。把4+6+4+115 種類型看作15個抽屜,把46 個學(xué)生放入這些抽屜,因為4615 3+1,所以班級中至少有4 名學(xué)生參加的項目完全相同。6. 四年級某班有 45 名同學(xué),那么在這 45 名同學(xué)中至少有幾個人在同一個月中出生?【解析】至少有 4 個人在同一個月中出生。7學(xué)校開辦了外語、音樂、體育、美術(shù)四個課外活動小組,每個學(xué)生最多可以參加兩個(可以不參加)。問:至少有多少名學(xué)生,才能保證有不少于6 名同學(xué)參加課外活動小組的情況完全相同?【解析】參加學(xué)習(xí)班的情況有:不參加活動小組有1 種情況,只參加一個活動小組有4 種情況,參加兩

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