自動控制原理習題集及其解答

1、.自動控制原理習題及其解答第一章（略）第二章例2-1 彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2-1示，系統(tǒng)為無質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運動方程。解：(1) 設輸入為yr，輸出為y0。彈簧與阻尼器并聯(lián)平行移動。(2) 列寫原始方程式，由于無質(zhì)量按受力平衡方程，各處任何時刻，均滿足，則對于A點有 其中，F(xiàn)f為阻尼摩擦力，F(xiàn)K1，F(xiàn)K2為彈性恢復力。(3) 寫中間變量關(guān)系式 (4) 消中間變量得 (5) 化標準形 其中:為時間常數(shù)，單位秒。 為傳遞函數(shù)，無量綱。例2-2 已知單擺系統(tǒng)的運動如圖2-2示。(1) 寫出運動方程式(2) 求取線性化方程解：（1）設輸入外作用力為零，輸出為擺角q ，擺球質(zhì)量為m。（2）由

2、牛頓定律寫原始方程。圖2-2 單擺運動 其中，l為擺長，lq 為運動弧長，h為空氣阻力。（3）寫中間變量關(guān)系式 式中，為空氣阻力系數(shù)為運動線速度。（4）消中間變量得運動方程式 （2-1)此方程為二階非線性齊次方程。（5）線性化由前可知，在q 0的附近，非線性函數(shù)sinq q ，故代入式（2-1）可得線性化方程為 例2-3 已知機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運動方程。圖2-3 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) 解：（1）設輸入量作用力矩Mf，輸出為旋轉(zhuǎn)角速度w 。（2）列寫運動方程式 式中， fw為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。（3）整理成標準形為 此為一階線性微分方程，若輸出變量改為q，則由于 代入方程得

3、二階線性微分方程式 例2-4 設有一個倒立擺安裝在馬達傳動車上。如圖2-4所示。圖2-4 倒立擺系統(tǒng) 倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦?，它將隨時可能向任何方向傾倒，這里只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖2-65所示平面內(nèi)運動。控制力u作用于小車上。假設擺桿的重心位于其幾何中心A。試求該系統(tǒng)的運動方程式。解：(1) 設輸入為作用力u，輸出為擺角q 。(2) 寫原始方程式，設擺桿重心A的坐標為（XA，yA）于是 XAXlsinq Xy = lcosq畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖25所示。圖2-5 隔離體受力圖 擺桿圍繞重心A點轉(zhuǎn)動方程為： （22）式中，J為擺桿圍繞重心A的轉(zhuǎn)動慣量。

4、擺桿重心A沿X軸方向運動方程為：即 （23）擺桿重心A沿y軸方向運動方程為： 即 小車沿x軸方向運動方程為： 方程（22），方程（23）為車載倒立擺系統(tǒng)運動方程組。因為含有sinq 和cosq 項，所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。(3) 當q 很小時，可對方程組線性化，由sinq q，同理可得到cos1則方程式(22)式（23）可用線性化方程表示為： 用的算子符號將以上方程組寫成代數(shù)形式，消掉中間變量V、H、X得 將微分算子還原后得 此為二階線性化偏量微分方程。例2-5 RC無源網(wǎng)絡電路圖如圖26所示，試采用復數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。圖2-6 RC

5、無源網(wǎng)絡 解：在線性電路的計算中，引入了復阻抗的概念，則電壓、電流、復阻抗之間的關(guān)系，滿足廣義的歐姆定律。即： 如果二端元件是電阻R、電容C或電感L，則復阻抗Z(s)分別是R、1/C s或L s 。(1) 用復阻抗寫電路方程式： (2) 將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得RC網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖，見圖26（a）。(3) 用結(jié)構(gòu)圖化簡法求傳遞函數(shù)的過程見圖26（c）、(d)、(e)。（a）（b）（c）（d）圖2-6 RC無源網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖 (4) 用梅遜公式直接由圖26(b) 寫出傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s) 。獨立回路有三個：回路相互不接觸的情況只有L1和L2兩個回路。則 由上式可寫出特征式為： 通向

6、前路只有一條由于G1與所有回路L1，L2， L3都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為1=1代入梅遜公式得傳遞函數(shù)圖2-8 PI調(diào)節(jié)器 例2-6 有源網(wǎng)絡如圖27所示，試用復阻抗法求網(wǎng)絡傳遞函數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果，直接用于圖28所示PI調(diào)節(jié)器，寫出傳遞函數(shù)。圖2-7 有源網(wǎng)絡 解：圖2-7中Zi和 Zf表示運算放大器外部電路中輸入支路和反饋支路復阻抗，假設A點為虛地，即UA0，運算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流，于是：I1 = I2則有： 故傳遞函數(shù)為 （24）對于由運算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，式（24）可看作計算傳遞函數(shù)的一般公式，對于圖2-8所示PI調(diào)節(jié)器，有故例2-7 求下列微分方程的

7、時域解x（t）。已知。 解：對方程兩端取拉氏變換為： 代入初始條件得到 解出X（s）為： 反變換得時域解為： 圖2-10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化 圖2-9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 例2-8 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-9所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。 解：（1）首先將含有G2的前向通路上的分支點前移，移到下面的回環(huán)之外。如圖2-10（a）所示。（2）將反饋環(huán)和并連部分用代數(shù)方法化簡，得圖2-10（b）。（3）最后將兩個方框串聯(lián)相乘得圖2-10（c）。例2-9 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-11所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。圖2-11 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：（1）將兩條前饋通路分開，改畫成圖2-12（

8、a）的形式。（2）將小前饋并聯(lián)支路相加，得圖2-12（b）。圖2-12 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 （3）先用串聯(lián)公式，再用并聯(lián)公式 將支路化簡為圖2-12（c）。例2-10 已知機械系統(tǒng)如圖2-13（a）所示，電氣系統(tǒng)如圖2-13（b）所示，試畫出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。（b）電氣系統(tǒng)（a）機械系統(tǒng)圖2-13 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：（1）若圖2-13（a）所示機械系統(tǒng)的運動方程，遵循以下原則并聯(lián)元件的合力等于兩元件上的力相加，平行移動，位移相同，串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移等于各元件相對位移之和。微分方程組為： 取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有： 畫結(jié)構(gòu)圖如圖214： 圖2-14 機械系

9、統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 求傳遞函數(shù)為： （2）寫圖2-13（b）所示電氣系統(tǒng)的運動方程，按電路理論，遵循的定律與機械系統(tǒng)相似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等，總電壓等于各元件分電壓之和，可見，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。運動方程可直接用復阻抗寫出：整理成因果關(guān)系： 圖2-15 電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 畫結(jié)構(gòu)圖如圖2-15所示：求傳遞函數(shù)為： 對上述兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進行比較后可以看出。兩個系統(tǒng)是相似的。機一電系統(tǒng)之間相似量的對應關(guān)系見表2-1。 表2-1 相似量機械系統(tǒng)xix0yFF1F2K11/K2f1f2電氣系統(tǒng)eie0ec2iii1/RRC1C2例2-11 R

10、C網(wǎng)絡如圖2-16所示，其中u1為網(wǎng)絡輸入量，u2為網(wǎng)絡輸出量。（1）畫出網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖；圖2-16 RC網(wǎng)絡 （2）求傳遞函數(shù)U2(s)/ U1(s)。解：（1） 用復阻抗寫出原始方程組。輸入回路 輸出回路 中間回路 （3）整理成因果關(guān)系式。即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2-17 所示。圖2-17 網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖 （4） 用梅遜公式求出：例2-12 已知系統(tǒng)的信號流圖如圖2-18所示，試求傳遞函數(shù)C(s)/ R(s)。圖2-18 信號流圖 解： 單獨回路4個，即兩個互不接觸的回路有4組，即三個互不接觸的回路有1組，即于是，得特征式為從源點R到阱節(jié)點C的前向通路共有4條，其前向通路總增益以及余因子式分別為 因此，

11、傳遞函數(shù)為第三章例3-1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-1所示。已知傳遞函數(shù) 。 今欲采用加負反饋的辦法，將過渡過程時間ts減小為原來的0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)Kh和K0的數(shù)值。解 首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（s），并整理為標準式，然后與指標、參數(shù)的條件對照。 一階系統(tǒng)的過渡過程時間ts與其時間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳遞函數(shù)應為即 比較系數(shù)得 解之得 、 解畢。例3-10 某系統(tǒng)在輸入信號r(t)=(1+t)1(t)作用下，測得輸出響應為： （t0）已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解 因為故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 解畢。例3-3 設控制系統(tǒng)如圖3-2所示。試分析參數(shù)b的取值對系統(tǒng)階躍響應動

12、態(tài)性能的影響。解 由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)是一階的。動態(tài)性能指標為因此，b的取值大將會使階躍響應的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間都加長。解畢。例 3-12 設二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。h(t)t0.1034圖3-34 二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應解 首先明顯看出，在單位階躍作用下響應的穩(wěn)態(tài)值為3，故此系統(tǒng)的增益不是1，而是3。系統(tǒng)模型為bs然后由響應的、及相應公式，即可換算出、。（s）由公式得換算求解得： 、 解畢。例3-13 設系統(tǒng)如圖3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于，峰值時間等于0.8s，試確定增益K1和速度反饋系數(shù)Kt 。同時，確定在此K1和

13、Kt數(shù)值下系統(tǒng)的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間。1+Kts圖3-35C(s)R(s)解 由圖示得閉環(huán)特征方程為即 ，由已知條件 解得于是 解畢。圖3-36 例3-14 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖H(s)C(s)R(s)例3-14 設控制系統(tǒng)如圖3-36所示。試設計反饋通道傳遞函數(shù)H(s)，使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的1值，但保持增益K及自然頻率n不變。解 由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù) 在題意要求下，應取 此時，閉環(huán)特征方程為：令： ，解出，故反饋通道傳遞函數(shù)為： 解畢。例3-15 系統(tǒng)特征方程為試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 特征式各項系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中s一次項的系數(shù)為零，故系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解畢。

14、例3-16 已知系統(tǒng)特征方程式為試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。解 勞斯表為 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項均具有正號，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。例3-17 已知系統(tǒng)特征方程為試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解 本例是應用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如果在勞斯行列表中某一行的第一列項等于零，但其余各項不等于零或沒有，這時可用一個很小的正數(shù)來代替為零的一項，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。勞斯行列式為 由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個很小的正數(shù)來代替；第四行第一列系數(shù)為（2+2/，當趨于零時為正數(shù)；第五行

15、第一列系數(shù)為（4452）/（2+2），當趨于零時為。由于第一列變號兩次，故有兩個根在右半s平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解畢。例3-18 已知系統(tǒng)特征方程為試求：（1）在右半平面的根的個數(shù)；（2）虛根。解 如果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對原點對稱的實根，共軛虛根或（和）共軛復數(shù)根。此時，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，并對輔助多項式求導，將導數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計算勞斯行列表。對原點對稱的根可由輔助方程（令輔助多項式等于零）求得。勞斯行列表為 由于行中各項系數(shù)全為零，于是可利用行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，即求輔助多項式對s的導數(shù)，得原勞斯行列表

16、中s3行各項，用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時，勞斯行列表變?yōu)?1 8 20 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 2.67 16新勞斯行列表中第一列沒有變號，所以沒有根在右半平面。對原點對稱的根可解輔助方程求得。令 得到 和 解畢。例3-19 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求： （1）位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)；（2）當參考輸入為，和時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 根據(jù)誤差系數(shù)公式，有位置誤差系數(shù)為 速度誤差系數(shù)為加速度誤差系數(shù)為對應于不同的參考輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。參考輸入為，即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為參考輸入為，即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

17、誤差為參考輸入為，即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 解畢。例3-20 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為輸入信號為r（t）=A+t，A為常量，=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 實際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號的組合。此時，輸入信號的一般形式可表示為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起的誤差的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式計算：對于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為本題給定的開環(huán)傳遞函數(shù)中只含一個積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 解畢。例3-21 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-37所示。假設輸入信號為r(t)=at (

18、為任意常數(shù))。證明：通過適當?shù)卣{(diào)節(jié)Ki的值，該系統(tǒng)對斜坡輸入的響應的穩(wěn)態(tài)誤差能達到零。Kis+1圖3-37 例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖C(s)R(s)解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為即 因此 當輸入信號為r(t)=at時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為要使系統(tǒng)對斜坡輸入的響應的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即ess=0，必須滿足所以 解畢。例3-22 設單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。如果要求系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差ess=0，單位階躍響應的超調(diào)量Mp%=4.3%，試問Kp、Kg、T，各參數(shù)之間應保持什么關(guān)系？解 開環(huán)傳遞函數(shù)顯然 解得:由于要求故應有 0.707。于是，各參數(shù)之間應有如下關(guān)系本例為I型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差ess=0的要求自

19、然滿足。解畢。例3-23 設復合控制系統(tǒng)如圖3-38所示。其中 ， ， 試求 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。sK3C(s)圖3-38 復合控制系統(tǒng)R(s)K1解 閉環(huán)傳遞函數(shù)等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)表明系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，且當時，穩(wěn)態(tài)誤差為 解畢。例3-24 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 。 試選擇參數(shù)及的值以滿足下列指標：（1）當r(t)= t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.02；（2）當r(t)=1(t)時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標Mp%30%，ts0.3s (=5%)解 開環(huán)增益應取K50 ?，F(xiàn)取K=60 。因故有，于是 取% ，計算得此時(S)滿足指標要求。最后得所選參數(shù)為：K=60 T=0.02 (s)

20、 解畢。例3-25 一復合控制系統(tǒng)如圖3-39所示。圖3-39 復合控制R(s)C(s)G2(s)G1(s)Gr(s)E(s)圖中：K1、K2、T1、T2均為已知正值。當輸入量r(t)= t2/2時，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定參數(shù) a和b 。解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為故 誤差為 代入 及、, 得 閉環(huán)特征方程為 易知，在題設條件下，不等式成立。由勞斯穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且與待求參數(shù)、 無關(guān)。此時，討論穩(wěn)態(tài)誤差是有意義的。而若 則有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為因此可求出待定參數(shù)為 解畢。E(s)C(s)N(s)R(s)2.5 圖3-40 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例3-26 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-40所示。誤差E(s

21、)在輸入端定義。擾動輸入是幅值為2的階躍函數(shù)。 （1）試求K=40時，系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。（2）若K=20，其結(jié)果如何？（3）在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，對結(jié)果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s，結(jié)果又如何？解 在圖中，令 ，則 代入，得 令，得擾動作用下的輸出表達式 此時，誤差表達式為 即 而擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出為代入N(s)、G1、G2和H的表達式，可得，（1）當時，（2）當時，可見，開環(huán)增益的減小將導致擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大，且穩(wěn)態(tài)誤差的絕對值也增大。若1/s加在擾動作用點之前，則，不難算得，若1/s加在擾動作用點之后，則

22、，容易求出可見，在擾動作用點之前的前向通道中加入積分環(huán)節(jié)，才可消除階躍擾動產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。解畢。例3-27設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的誤差響應為 （t0）試求系統(tǒng)的阻尼比、自然振蕩頻率n和穩(wěn)態(tài)誤差ess。解 閉環(huán)特征方程為由已知誤差響應表達式，易知，輸入必為單位階躍函1(t)，且系統(tǒng)為過阻尼二階系統(tǒng)。故即，系統(tǒng)時間常數(shù)為令 得 代入求出的時間常數(shù)，得，穩(wěn)態(tài)誤差為實際上，I型系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，其穩(wěn)態(tài)誤差必為零。解畢。第四章例4-1 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解 根據(jù)繪制根軌跡的法則，先確定根軌跡上的一些特殊點，然后繪制其根軌跡圖。（1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為，是根軌

23、跡各分支的起點。由于系統(tǒng)沒有有限開環(huán)零點，三條根軌跡分支均趨向于無窮遠處。 （2）系統(tǒng)的根軌跡有條漸進線漸進線的傾斜角為取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3。漸進線與實軸的交點為 三條漸近線如圖4-13中的虛線所示。（3）實軸上的根軌跡位于原點與1點之間以及2點的左邊，如圖4-13中的粗實線所示。（4）確定分離點系統(tǒng)的特征方程式為即利用，則有解得 和 由于在1到2之間的實軸上沒有根軌跡，故s2=1.577顯然不是所要求的分離點。因此，兩個極點之間的分離點應為s1=0.423。（5）確定根軌跡與虛軸的交點方法一 利用勞斯判據(jù)確定勞斯行列表為 12 32 0 2由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定時K的極限

24、值為3。相應于K=3的頻率可由輔助方程確定。解之得根軌跡與虛軸的交點為。根軌跡與虛軸交點處的頻率為方法二 令代入特征方程式，可得即 令上述方程中的實部和虛部分別等于零，即，所以 （6）確定根軌跡各分支上每一點的值根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，當從開環(huán)極點0與1出發(fā)的兩條根軌跡分支向右運動時，從另一極點2出發(fā)的根軌跡分支一定向左移動。當前兩條根軌跡分支和虛軸在K=3處相交時，可按式求出后一條根軌跡分支上K=3的點為x=3。由（4）知，前兩條根軌跡分支離開實軸時的相應根值為0.423j0。因此，后一條根軌跡分支的相應點為 所以 ，x=2.154。 因本系統(tǒng)特征方程式的三個根之和為2K，利用這一關(guān)系，可

25、確定根軌跡各分支上每一點的K值?，F(xiàn)在已知根軌跡的分離點分別為0.423j0和2.154，該點的K值為即，K=0.195。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-1所示。圖4-1 例4-1系統(tǒng)的根軌跡jS平面例4-2 設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解 （1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為0，3，(1j)和(1j),它們是根軌跡上各分支的起點。共有四條根軌跡分支。有一條根軌跡分支終止在有限開環(huán)零點2，其它三條根軌跡分支將趨向于無窮遠處。（2）確定根軌跡的漸近線漸近線的傾斜角為取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3，或60及180。三條漸近線如圖4-14中的虛線所示。漸近線與實軸的交點為（3）實軸上的根軌跡位于原

26、點與零點2之間以及極點3的左邊，如圖4-14中的粗線所示。從復數(shù)極點(1j) 出發(fā)的兩條根軌跡分支沿60漸近線趨向無窮遠處。（4）在實軸上無根軌跡的分離點。（5）確定根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)的特征方程式為即 勞斯行列表 18 5 0 6 若陣列中的s1行等于零，即（6+3K）150K/（34-3K）=0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。解之可得K=2.34。相應于K=2.34的頻率由輔助方程確定。解之得根軌跡與虛軸的交點為s=j1.614。根軌跡與虛軸交點處的頻率為=1.614。（6）確定根軌跡的出射角根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，自復數(shù)極點p1=（1j）出發(fā)的根軌跡的出射角為將由圖4-14中測得的各向量相角的數(shù)值代

27、入并取k=0，則得到系統(tǒng)的根軌跡如圖4-14所示。 0-j3-126.69045135j3j2j1-4-3-2jS平面圖4-2 例4-2系統(tǒng)的根軌跡例4-3 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解（1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為0，0，5，20和50，它們是根軌跡各分支的起點。共有五條根軌跡分支。開環(huán)零點為0.125，有一條根軌跡分支終止于此，其它四條根軌跡分支將趨向于無窮遠處。（2）確定根軌跡的漸近線漸進線的傾斜角為取式中的K=0，1，2，3得a=45和a=135。漸近線與實軸的交點為 （3）實軸上的根軌跡位于0.125和5之間以及20，與50之間。（4）確定根軌跡的分離點和會合點本例中，

28、系統(tǒng)各零點、極點之間相差很大。例如，零點0.125與極點之間僅相距0.125,而零點0.125與極點50之間卻相差49.875。因此，可作如下簡化：在繪制原點附近的軌跡曲線時，略去遠離原點的極點的影響；在繪制遠離原點的軌跡曲線時，略去零點和一個極點的影響。（A） 求原點附近的根軌跡和會合點略去遠離原點的極點，傳遞的函數(shù)可簡化為K（s+0.125）/s2。零點0.125左邊實軸是根軌跡，并且一定有會合點。原點處有二重極點，其分離角為90。確定會合點的位置。此時，系統(tǒng)的特征方程式為或 利用,則有解之可得 s1=0.25, 即會合點；s2=0，即重極點的分離點。（B） 求遠離原點的根軌跡和分離角略去

29、原點附近的開環(huán)偶極子（零點0.125和極點0），傳遞函數(shù)可簡化為此時，系統(tǒng)的特征方程式為或表示為利用,則有解之可得s1=2.26 和 s2=40.3。分離點的分離角為90。注意，在零點0.125和極點5之間的根軌跡上有一對分離點（2.26, j0）和(2.5, j0)。(5) 確定根軌跡與虛軸的交點令代入特征方程式，可得整理后有 解之得 ， 系統(tǒng)的根軌跡如圖4-3所示圖4-3 例4-3系統(tǒng)的根軌跡jS平面例4-4，設控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-所示C(s)R(s)圖4-4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖圖 3-10 標準化二階系統(tǒng)試證明系統(tǒng)根軌跡的一部分是圓；解 系統(tǒng)的開環(huán)極點為0和2，開環(huán)零點為3。由根軌跡的

30、幅角條件得 s為復數(shù)。將代入上式，則有即取上述方程兩端的正切，并利用下列關(guān)系有即這是一個圓的方程，圓心位于（3，j0）處，而半徑等于（注意，圓心位于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點上）。證畢。例4-15已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡,并確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K值的范圍.解 （1） 系統(tǒng)的開環(huán)極點為0，1和2j3.46,開環(huán)零點為1。（2） 確定根軌跡的漸近線漸漸線的傾斜角為 取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3。漸進線與實軸的交點為（3） 實軸上的根軌跡位于1和0之間以及1與之間。（4） 確定根軌跡的分離點系統(tǒng)的特征方程式為即利用,則有解之可得，分離點d1=0.46 和 d2=2.22。（5）

31、 確定根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)的特征方程式為勞斯行列表為 112K 3 -16 K 0 K若陣列中的s1行全等于零，即系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。解之可得K=35.7 和 K=23.3。 對應于K值的頻率由輔助方程確定。當K=35.7 時 ，s=j2.56；當K=23.3時 ，s=j1.56.根軌跡與虛軸的交點處的頻率為=2.56 和=1.56。（6）確定根軌跡的出射角（自復數(shù)極點2j3.46出發(fā)的出射角）根據(jù)繪制根軌跡基本法則，有因此，開環(huán)極點2j3.46的出射角為1,2=54.5。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-17所示。由圖4-17可見，當23.3 4時，閉環(huán)系統(tǒng)將出現(xiàn)一對實部為正的復數(shù)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，使系統(tǒng)

32、穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍為0K0, 先做出常規(guī)根軌跡。 系統(tǒng)開環(huán)有限零點z1=2，z2=4；開環(huán)有限極點為 p1=p2=0，p3=1，p3=3。實軸上的根軌跡區(qū)間為-4，-3，-2，-1。根軌跡有兩條漸近線，且a=1，a=90。作等效系統(tǒng)的根軌跡如圖4-8所示。圖4-8 例4-7系統(tǒng)的根軌跡-4-3-2-10jS平面圖知，待求代數(shù)方程根的初始試探點可在實軸區(qū)間4，3和2，1內(nèi)選擇。確定了實根以后，運用長除法可確定其余根。初選s1=1.45，檢查模值由于Kg1故應增大s1，選s1=1.442，得Kg=1.003。初選s2=3.08，檢查模值得Kg=1.589，由于Kg1，故應增大s2，選s2=3.06

33、，得Kg=1.162。經(jīng)幾次試探后，得Kg=0.991時s2=3.052。設 運用多項式的長除法得解得。解畢。例4-8 已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試概略繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解 按照基本法則依次確定根軌跡的參數(shù)：（1）系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點有四個，分別為0，4，和2j4。（2）軸上的根軌跡區(qū)間為4，0。（3）根軌跡的漸近線有四條，與實軸的交點及夾角分別為a=2；a=45，135（4）復數(shù)開環(huán)極點p3,4=2j4處，根軌跡的起始角為p3.4=90（5）確定根軌跡的分離點。由分離點方程解得，因為 時，時，所以，d1、d2、d3皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點。（6）確定根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)閉

34、環(huán)特征方程為列寫勞斯表如下 1 36 8 80 26 Kg當Kg=260時，勞斯表出現(xiàn)全零行。求解輔助方程得根軌跡與虛軸的交點為。概略繪制系統(tǒng)根軌跡如圖4-21所示。圖4-9 例4-8系統(tǒng)的根軌跡jS平面第五章例5-1 已知一控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-61所示，當輸入r(t) = 2sint時，測得輸出c(t)=4sin(t-45)，試確定系統(tǒng)的參數(shù)x ，wn。解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)幅頻特性為相頻特性為由題設條件知c(t) = 4sin( t -45) =2 A(1) sin(t + j(1) 即整理得解得 wn = 1.244 x = 0.22例5-21 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略幅相特

35、性曲線。解 (1) 組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)為兩個積分環(huán)節(jié)、兩個慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)。(2) 確定起點和終點由于ReG(jw)趨于-的速度快，故初始相角為-180。終點為(3) 求幅相曲線與負實軸的交點由G(jw)的表達式知，w 為有限值時，ImG(jw) 0，故幅相曲線與負實軸無交點。(4) 組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)都為最小相位環(huán)節(jié)，并且無零點，故j(w)單調(diào)地從-180遞減至-360。作系統(tǒng)的概略幅相特性曲線如圖5-62所示。例5-22 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的概略幅相特性曲線。解 (1) 傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解(2) 計算起點和終點相角變化范圍不穩(wěn)定比例環(huán)節(jié)-50：-180 -180慣性環(huán)節(jié)1/(0.2

36、s+1)：0 -90不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)1/(-2s+1)：0 +90不穩(wěn)定二階微分環(huán)節(jié)0.2s2-0.4s+1：0 -180(3) 計算與實軸的交點令I(lǐng)mG(jw) = 0，得ReG(jwx) = -4.037(4) 確定變化趨勢 根據(jù)G(jw)的表達式，當w wx 時，ImG(jw) wx 時，ImG(jw) 0。作系統(tǒng)概略幅相曲線如圖5-63所示。例5-23 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 (1) 繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略幅相曲線 組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)為一個積分環(huán)節(jié)、兩個慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)。 確定起點和終點 求幅相曲線與負實軸的交點令I(lǐng)mG(jw) = 0，得 組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)都為最小

37、相位環(huán)節(jié)，并且無零點，故j(w)單調(diào)地從-90遞減至-270。作系統(tǒng)的概略幅相特性曲線如圖5-64所示。(2) 用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性由于組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)為最小相位環(huán)節(jié)，q = 0；且為1型系統(tǒng)，故從w = 0處補作輔助線，如圖5-64虛線所示。當時，即，幅相特性曲線不包圍(-1，j0)點，n=0=q/2,所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當時，即，幅相特性曲線順時針包圍（-1，j0）點1圈，n = 1 q/2=0，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-24 單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試確定使相位裕度g = 45的a 值。解 wc4 = a2wc 2 + 1awc = 1聯(lián)立求解得 例5-25 最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅

38、頻漸近特性如圖5-65所示，請確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解 由圖知在低頻段漸近線斜率為0，故系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。漸近特性為分段線性函數(shù)，在各交接頻率處，漸近特性斜率發(fā)生變化。在w = 0.1處，斜率從0 dB/dec變?yōu)?0dB/dec，屬于一階微分環(huán)節(jié)。在w = w1處，斜率從20 dB/dec 變?yōu)? dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。在w = w2處，斜率從0 dB/dec變?yōu)?20 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。在w = w3處，斜率從-20 dB/dec變?yōu)?40 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。在w = w4處，斜率從-40 dB/dec變?yōu)?60 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述

39、形式式中K，w1，w2，w3，w4待定。 由20lgK = 30得K = 31.62。確定w1： 所以 w1 = 0.316確定w2： 所以 w2 =82.54確定w3： 所以 w3 =34.81確定w4： 所以 w4 =3.481于是，所求的傳遞函數(shù)為例5-26 某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-66所示。要求：(1) 寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；(2) 利用相位裕度判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；(3) 將其對數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，試討論對系統(tǒng)性能的影響。解 (1) 由系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線可知，系統(tǒng)存在兩個交接頻率0.1和20，故且 得 k = 10所以 (2) 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性為 從而解得 wc = 1系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性為j(wc) = -177.15g =180 + j(wc) = 2.85故系統(tǒng)穩(wěn)定。(3) 將系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，可得系統(tǒng)新的開環(huán)傳遞函數(shù)其截止頻率wc1 =10wc =10而g 1 =180+ j