中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1ppt課件

1、第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 第第 一一 節(jié)節(jié) 中值定理中值定理一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理0)( , ),( )()( 3 ),( )2( , )1( )( fbabfafbabaxf使使得得則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)）（內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在滿滿足足條條件件：若若幾何解釋幾何解釋: :.,的的在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線是是水水平平上上至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線弧弧CABab1 2 xyo)(xfy CAB證證上連續(xù)上連續(xù)在在,)(baxfmMbaxf ,)(和最小值和最小值上必有最大值上必有最大值在在討論：討論：,)1(mM 若若,)

2、(baxMxf 則則),(bax 0)( xf有有0)( ),( fba就就有有此此時時，任任取取一一點(diǎn)點(diǎn),)2(mM 若若)()(bfaf )()(bfafmM 于于二二數(shù)數(shù)中中至至少少有有一一個個不不等等與與無妨設(shè)無妨設(shè))()(bfafM 取取到到，的的最最大大值值不不在在區(qū)區(qū)間間端端點(diǎn)點(diǎn)即即：)(xf因此因此Mfba )(),( 使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)下證：下證：0)( f),(,),()(babaxf 又又內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在,)(點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xf右右可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)左左在在因因而而,)( xf且且)( )( )( fff ),(ba ),(baxx 很很小小，就就可可使使取取

3、Mf )( , 0 x若若那么有那么有xfxf )()( 0 0 x令令得得xfxfx )()(lim0 0 )( f )( f,0 x若若那么有那么有xfxf )()( 0 0 x令令得得xfxfx )()(lim0 0 )( f )( f12式式，得得由由)2)(1()( f 0 00)( f證畢。證畢。留意留意:假設(shè)羅爾定理的三個條件中有一個不滿足假設(shè)羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論能夠不成立其結(jié)論能夠不成立.下面舉例闡明。下面舉例闡明。 21210101xxxxxxf,)( )(點(diǎn)點(diǎn)不不連連續(xù)續(xù)。在在1)(),2()0( xxfff不滿足條件不滿足條件(1).xyo)(xfy

4、120)( 20 f使使一一點(diǎn)點(diǎn)）內(nèi)內(nèi)找找不不到到，在在（,)( )(222 xxxf),2()2()(2 , 2ffxf 連連續(xù)續(xù)，上上在在點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)，在在)22(0)( xxfxyo2 2xy 不滿足條件不滿足條件20)( 22 f使使一一點(diǎn)點(diǎn)）內(nèi)內(nèi)找找不不到到，在在（4 , 1,)( )3(2 xexfxxyo142xey ),()(41ff 不滿足條件不滿足條件3 321, 462210 , 1)( )4(2xxxxxxf 例例1 1.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則x

5、f. 3)1(, 1)0( ff且且由零點(diǎn)定理得：由零點(diǎn)定理得：. 0)(),1 , 0(00 xfx使使至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn),),1 , 0(011xxx 假設(shè)另有假設(shè)另有. 0)(1 xf使使的的條條件件爾爾定定理理為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足羅羅以以在在10,)(xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但 )1 , 0( , 0 x矛盾矛盾!.10的的正正實(shí)實(shí)根根為為唯唯一一小小于于x).()(bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中)()()( fabafbf 結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成注：

6、注：二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)( )()( ),( ),()2(,)1()(abfafbfbababaxf ，使得，使得那么至少有一點(diǎn)那么至少有一點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在滿足條件：滿足條件：如果函數(shù)如果函數(shù)ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為)()()()(axabafbfafy )(xL ,)(ABxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩兩端端

7、點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線在在ba)()(xLxf )(x )()()()()(axabafbfafxf 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù))()()()()()(axabafbfafxfx 證證由知得：由知得：上連續(xù)，上連續(xù)，在在,)(bax ）內(nèi)可導(dǎo)，）內(nèi)可導(dǎo)，在（在（bax,)( 且且abafbfxfx )()()( )( 0 )(a 0 )(,b 即即)()(ba 根據(jù)羅爾定理，得：根據(jù)羅爾定理，得：, ）（至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)ba 使得使得0 )( 即即0 abafbff)()()( 即即)( )()(abfafbf 證畢。證畢。)()()( )(abfafbfi 拉格朗日中

8、值公式拉格朗日中值公式注：注：時，上式也成立。時，上式也成立。ba )()()( ) ,( )(ababafafbfii 使得使得至少存在一個數(shù)至少存在一個數(shù)定理結(jié)論的另一形式：定理結(jié)論的另一形式：10),(ba 由由于于a 0ab 從而從而10 aba 記記aba 那么那么)(aba 這樣，拉格郎日公式可表示為這樣，拉格郎日公式可表示為),)( )()(ababafafbf )(10 ,),()(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在在在設(shè)設(shè)baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()( 0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y

9、此式稱為有限增量公式此式稱為有限增量公式.注注: : 拉格朗日公式準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個拉格朗日公式準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系. .推推 論論)( lim)( )()( lim), )1(. ),( , )( 0000 xfxfAAxfbaxbabaxfxxxx 則則為為有有限限數(shù)數(shù)或或且且若若內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè))( lim)( )()( lim,( )2(0000 xfxfAAxfbaxxxxx 則則為為有有限限數(shù)數(shù)或或且且若若證證1xxfxxfxfx )()(lim)(000

10、0 xxxxfx )( lim00 ) ( lim00 xxfx xxx 0)( lim0 xfxx )( lim)(00 xfxfxx )1 , 0(, )( ,sin,)( xfxxxxxxxf求求設(shè)設(shè)例例 000022解解時時，0 x )( xf )(2xx2時時，0 x )( xf )sin(xx xx sin)()(sin xx xsinxxcos時，時，0 xxx2lim0 0 )( lim)0(0 xffx )cos(sinlim0 xxxx 0 )( lim)0(0 xffx 00 )( f 00002xxxxxxxxf,cossin , ,)( 定理定理.)(,)(上是一個常

11、數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf證證Ixx 21, 任取兩點(diǎn)任取兩點(diǎn)上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在Ixf)(的的條條件件，格格朗朗日日定定理理為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足拉拉在在以以21xxxf,)(格格朗朗日日定定理理，得得：因因而而在在該該區(qū)區(qū)間間上上應(yīng)應(yīng)用用拉拉 )()(12xfxf)( 12xxf 之間）之間）與與介于介于（21xx ）（120 xx 0 )()(12xfxf 的任意性，得的任意性，得與與由由21xx上上是是常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)間間Ixf)(證畢證畢例例3 3).11( ,2arccosarcsin:

12、 xxx 證明證明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf , 0 )1 , 1(,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即,2)( xf)1 , 1( x)1 , 1( x2)1()1( ff又又,2)( xf1 , 1 x即即).11( ,2arccosarcsin xxx 例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè)理理，上上應(yīng)應(yīng)用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定在在, 0 x)0(),0)()0()( xxffxf 得得,11)(, 0)0(xxff 1)

13、1ln( xx代入上式，得代入上式，得x 0 x 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理)( )( )()()()( ),(),()( ),()(),(2,)(),(1:)()( FfaFbFafbfbabaxFbaxFxfbaxFxfxFxf ，使得，使得那么，至少存在一點(diǎn)那么，至少存在一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零在在內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且都在開區(qū)間都在開區(qū)間）（上連續(xù)上連續(xù)都在閉區(qū)間都在閉區(qū)間）（滿足條件滿足條件及及如果函數(shù)如果函數(shù)柯西中值定理柯西中值定理證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()(

14、)()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ，且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在則則),(,)(babax )( )()()()()( )( xFaFbFafbfxfx )()(,)(,)(baba 即即又又00使使得得存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)根根據(jù)據(jù)羅羅爾爾定定理理得得：至至少少),(ba 0 )( 即即0 )( )()()()()( FaFbFafbff即即)( )( )()()()( FfaFbFafbf 證畢。證畢。注注)()(aFbF 0 )( ),)()( FbaaFbF使得使得（至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)，則根據(jù)羅爾定理得：，則根據(jù)羅爾定理得：若若但這與已知條件矛盾！但這與已知

15、條件矛盾！注注 從幾何上看，從幾何上看，柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的參數(shù)方式。柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的參數(shù)方式。,)(xxF 特特別別，若若取取, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf )()()( fabafbf 即即即即:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式例例5 5 )()( ),1 , 0(, 0)1(, 1)0(,)1 , 0(,1

16、, 0)(ffffxf 使使得得試試證證明明至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)并并且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)分析分析: )()( ff 要證要證0)( )( ff即即0)( | xxxf即即),()(xxfxF 設(shè)設(shè)上上應(yīng)應(yīng)用用羅羅爾爾定定理理。在在1 , 0證證)()( xxfxF 設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在，在在)1 , 0( 10)(xf)()( ,)1 , 0( 10)(xxfxFxF 且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在，在在0)1( , 1)0( ff)0(0)0(fF 0 )1(1)1(fF 001 即即)1()0(FF 根據(jù)羅爾定理，得：根據(jù)羅爾定理，得：），使得），使得，（至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)10 0)( F)( )(xxfxf 即即0)( )( ff即即 )()( ff 證畢證畢例例6 6).()()(),(:,),(,)(012101010fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證分析分析:結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff xxxxf)()(2,)(2xxg 設(shè)設(shè)條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則1 , 0)(),(xgxf使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)由由柯柯西西中中