機(jī)械工程控制基礎(chǔ)5-穩(wěn)定性

1、機(jī)械工程控制基礎(chǔ)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)2013.112013.11主講人：高愛華主講人：高愛華 機(jī)械類專業(yè)必修課機(jī)械類專業(yè)必修課機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院1 1、課程準(zhǔn)備、課程準(zhǔn)備7 7、系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正、系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正2 2、緒、緒 論論4 4、系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析、系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析3 3、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5 5、系統(tǒng)的頻率特性分析、系統(tǒng)的頻率特性分析6 6、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第一講第一講 穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性概念 Routh判據(jù)判據(jù)依據(jù)上述實(shí)例可得如下結(jié)論：依據(jù)上述實(shí)例可得如下結(jié)論： A系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，

2、而與輸入無關(guān)；而與輸入無關(guān)；A系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔茫幌到y(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔?；A控制理論中討論的穩(wěn)定性是輸入為控制理論中討論的穩(wěn)定性是輸入為零而初始狀態(tài)不為零的穩(wěn)定性。穩(wěn)零而初始狀態(tài)不為零的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是指自由響應(yīng)的收斂性定性是指自由響應(yīng)的收斂性二、穩(wěn)定性的定義和條件二、穩(wěn)定性的定義和條件1.1.穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性定義定義：定義：系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在是指系統(tǒng)在干擾作用干擾作用下下偏離平衡位偏離平衡位置置，當(dāng)，當(dāng)干擾撤除干擾撤除后，系統(tǒng)后，系統(tǒng)自動(dòng)回到平衡位置自動(dòng)回到平衡位置的能力。的能力。系統(tǒng)穩(wěn)定性說明系統(tǒng)穩(wěn)定性說明 1： 若系統(tǒng)在若系統(tǒng)在初始狀態(tài)的影響初始狀態(tài)的

3、影響下，由它所引起的系統(tǒng)的下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移，逐漸，逐漸衰減并趨向于衰減并趨向于0 0（即回（即回到平衡位置），則稱到平衡位置），則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)為穩(wěn)定的；反之，由它所引起；反之，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移而的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移而發(fā)散發(fā)散（即偏離平衡（即偏離平衡位置越來越遠(yuǎn)），位置越來越遠(yuǎn)），則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。)()()()()(01)1()(1txtxatxatxatxaioonnnono nitsinitsitBeAeAtxiio1211)()(0lim1211 nitsinitsitiieAe

4、A nitsinitsitiieAeA1211lim tstkelimtjknitsinitsiteAeAeAii 1211limknitsinitsitAeAeAii 1211limktskAeAk 線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，僅與系統(tǒng)是系統(tǒng)的固有特性，僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)；非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)；非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，而且還與的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，而且還與系統(tǒng)的輸入有關(guān)系統(tǒng)的輸入有關(guān)。系統(tǒng)穩(wěn)定性說明系統(tǒng)穩(wěn)定性說明 2：2.2.穩(wěn)定性充要條件穩(wěn)定性充要條件 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)所有特征根的實(shí)部系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)所有

5、特征根的實(shí)部小于小于0 0，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在ss平面的左半平面內(nèi)。平面的左半平面內(nèi)。 臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)極易因?yàn)橄到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)極易因?yàn)橄到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的細(xì)微變化而變成不穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此，數(shù)的細(xì)微變化而變成不穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此，臨界穩(wěn)定往往也歸結(jié)為不穩(wěn)定的一種。臨界穩(wěn)定往往也歸結(jié)為不穩(wěn)定的一種。三、關(guān)于穩(wěn)定性的相關(guān)提法三、關(guān)于穩(wěn)定性的相關(guān)提法1. 1. 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性)(o 若若o o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)的起擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)的起始偏差（即初態(tài)）不超過域始偏差

6、（即初態(tài)）不超過域，由擾動(dòng)引起的輸出（這種初態(tài)由擾動(dòng)引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng)）及其終態(tài)引起的零輸入響應(yīng)）及其終態(tài)不超過預(yù)先給定的整數(shù)不超過預(yù)先給定的整數(shù)，則，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，系統(tǒng)是系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的。3. “3. “小偏差小偏差”穩(wěn)定性穩(wěn)定性 系統(tǒng)初始偏差（初態(tài)）不超過某一微小范圍時(shí)的穩(wěn)系統(tǒng)初始偏差（初態(tài)）不超過某一微小范圍時(shí)的穩(wěn)定性，稱之為定性，稱之為“小偏差穩(wěn)定性小偏差穩(wěn)定性”或或 “ “局部穩(wěn)定性局部穩(wěn)定性”。4. “4. “大范圍大范圍”漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則

7、系統(tǒng)稱為稱為“大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定”，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2. 2. 漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性 就是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要求由初始狀態(tài)引起的就是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要求由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減為零。漸近穩(wěn)定性滿足李氏穩(wěn)定性定響應(yīng)最終衰減為零。漸近穩(wěn)定性滿足李氏穩(wěn)定性定義；對(duì)非線性定義，這兩種穩(wěn)定性是不同的。義；對(duì)非線性定義，這兩種穩(wěn)定性是不同的?？刂乒こ讨邢Ｍ蠓犊刂乒こ讨邢Ｍ蠓秶鷿u近穩(wěn)定，基于精圍漸近穩(wěn)定，基于精度要求，也需要確定度要求，也需要確定最大范圍。最大范圍。四、四、Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)1. 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)的特征

8、方程為：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：0)(0111asasasasDnnnn兩邊同除兩邊同除an)()(210111nnnnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(依據(jù)上式，依據(jù)上式，s的同次冪前系數(shù)應(yīng)對(duì)等的同次冪前系數(shù)應(yīng)對(duì)等 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個(gè)條件：須滿足以下兩個(gè)條件：A特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于0；A特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。按習(xí)慣，一般取最高階次項(xiàng)的系數(shù)為正，上述兩個(gè)條件可以歸結(jié)按習(xí)

9、慣，一般取最高階次項(xiàng)的系數(shù)為正，上述兩個(gè)條件可以歸結(jié)為系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)全大于為系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)全大于0 0，此即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。，此即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2, 132, 1211)1(.2. 2. 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件對(duì)系統(tǒng)的特征方程：對(duì)系統(tǒng)的特征方程：0)(0111asasasasDnnnn其各階系數(shù)按下列形式排成其各階系數(shù)按下列形式排成RouthRouth表：表：ns1ns2ns3ns2s1s0sna2na4na6na1na3na5na7na1A2A3A4A1

10、B2B3B4B1D2D1E1F13211nnnnnaaaaaA15412nnnnnaaaaaA17613nnnnnaaaaaA121311AAaaABnn131512AAaaABnn141713AAaaABnn元素計(jì)算方法：元素計(jì)算方法：RouthRouth判據(jù)判據(jù)：RouthRouth表中表中第一列各元符號(hào)改變的次數(shù)第一列各元符號(hào)改變的次數(shù)等于系等于系統(tǒng)統(tǒng)特征方程特征方程具有具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充。因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為：要條件可表述為：RouthRouth表中第一列各元的符號(hào)均為正。表中第一列各元的符號(hào)均為正。實(shí)例分析實(shí)例分析1 1 系統(tǒng)特征方程

11、系統(tǒng)特征方程0301119)(234sssssD試用試用RouthRouth表判斷其穩(wěn)定性。表判斷其穩(wěn)定性。4s3s2s1s0s1193011103030012030301111)19(1123030111)30(改變符號(hào)一次改變符號(hào)一次改變符號(hào)一次改變符號(hào)一次解：解：由由Routh判據(jù)：判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。3. 3. 系統(tǒng)穩(wěn)定的特殊情況系統(tǒng)穩(wěn)定的特殊情況（1）如果在）如果在RouthRouth表中任意一行的第一個(gè)元素為表中任意一行的第一個(gè)元素為0 0，而其后各元不全為，而其后各元不全為0 0，則在計(jì)算下一行的元素時(shí)，將趨向于無窮大。于是則在計(jì)算下一行的元素時(shí)，將趨向于無窮大。于是R

12、outhRouth表計(jì)算無法繼表計(jì)算無法繼續(xù)，為了克服這一困難，續(xù)，為了克服這一困難，用一個(gè)很小的正數(shù)用一個(gè)很小的正數(shù)代替第一列的代替第一列的0 0，然后計(jì)，然后計(jì)算算RouthRouth表的其余各元。若表的其余各元。若上下各元符號(hào)不變，且第一列元素符號(hào)均上下各元符號(hào)不變，且第一列元素符號(hào)均為正，則系統(tǒng)特征根中有共軛的虛根。此時(shí)，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。為正，則系統(tǒng)特征根中有共軛的虛根。此時(shí)，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）如果）如果Routh表中任意一行的所有元素都為表中任意一行的所有元素都為0，Routh表的計(jì)算無法表的計(jì)算無法繼續(xù)。此時(shí)，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用繼續(xù)。此時(shí)

13、，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成Routh表的下一行。這樣，表的下一行。這樣，Routh表就可以計(jì)表就可以計(jì)算下去。算下去。 出現(xiàn)這種情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個(gè)符號(hào)相出現(xiàn)這種情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個(gè)符號(hào)相反的實(shí)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對(duì)共軛的純反的實(shí)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對(duì)共軛的純虛根（即系統(tǒng)自由響應(yīng)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），虛根（即系統(tǒng)自由響應(yīng)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），或是以上幾種根的組合?；蚴且陨蠋追N根的組合。實(shí)例分析實(shí)例分

14、析2 2 系統(tǒng)特征方程：系統(tǒng)特征方程：04244)(2345ssssssD試用試用RouthRouth表判斷其穩(wěn)定性。表判斷其穩(wěn)定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：4s3s2s1s0s1421442024 42448425s0004改變符號(hào)一次改變符號(hào)一次由由Routh判據(jù)：判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。實(shí)例分析實(shí)例分析3 3 系統(tǒng)特征方程：系統(tǒng)特征方程：0502548242)(2345ssssssD試用試用RouthRouth表判斷其穩(wěn)定性。表判斷其穩(wěn)定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：8964s3s2s1s0s124252485000024507 .11

15、25s00500RouthRouth表中出現(xiàn)表中出現(xiàn)0 0元行，構(gòu)造輔元行，構(gòu)造輔助多項(xiàng)式如下：助多項(xiàng)式如下：050482)(24sssF取取F F( (s s) )對(duì)對(duì)s s的導(dǎo)數(shù)得新方程：的導(dǎo)數(shù)得新方程：0968)(3sssF用上式中的系數(shù)用上式中的系數(shù)8 8和和9696代替代替0 0元元行，繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算。行，繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算。改變符號(hào)一次 此表第一列各元符號(hào)改變次數(shù)為此表第一列各元符號(hào)改變次數(shù)為1 1，因此斷定該系統(tǒng)，因此斷定該系統(tǒng)包含一個(gè)具有正實(shí)部的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。包含一個(gè)具有正實(shí)部的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。根據(jù)根據(jù)RouthRouth判據(jù)，判據(jù)，2p2p的輔助多項(xiàng)式應(yīng)該存在的輔助

16、多項(xiàng)式應(yīng)該存在p p對(duì)實(shí)部符號(hào)對(duì)實(shí)部符號(hào)相異、虛部數(shù)值相同的共軛復(fù)根。這些特征根可以通過相異、虛部數(shù)值相同的共軛復(fù)根。這些特征根可以通過解輔助多項(xiàng)式得到。解輔助多項(xiàng)式得到。本例中輔助多項(xiàng)式為：本例中輔助多項(xiàng)式為：050482)(24sssF解此輔助多項(xiàng)式可得：解此輔助多項(xiàng)式可得：5; 1jss這兩對(duì)復(fù)根是原特征方程的根的一部分。這兩對(duì)復(fù)根是原特征方程的根的一部分。五、相對(duì)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)五、相對(duì)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)應(yīng)用應(yīng)用RouthRouth判據(jù)可檢驗(yàn)判據(jù)可檢驗(yàn)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)的的相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性方法如下方法如下：A將將s平面的虛軸向左移動(dòng)某個(gè)數(shù)值，即令平面的虛軸向左移動(dòng)某個(gè)數(shù)值，即令sz（ 為正實(shí)數(shù)

17、為正實(shí)數(shù)），代入系統(tǒng)特征方程，則得到關(guān)于，代入系統(tǒng)特征方程，則得到關(guān)于z的特征方程；的特征方程；A利用利用Routh表和表和Routh判據(jù)對(duì)新的特征方程進(jìn)行穩(wěn)判據(jù)對(duì)新的特征方程進(jìn)行穩(wěn)定性判別。如果新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)特征方定性判別。如果新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)特征方程的根均在新的虛軸之左邊，程的根均在新的虛軸之左邊， 越大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定越大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越好。性越好。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如下圖所示，已知下圖所示，已知T1T10.1s0.1s，T2T20.25s0.25s，試求，試求: :實(shí)例分析實(shí)例分析4 4)(sXi)(sXo)1)(1(21sTsTsK解：解：（1

18、 1）求）求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K K值的取值范圍值的取值范圍（1 1）系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的取值范圍；值的取值范圍；（2 2）若要求系統(tǒng)的特征根均若要求系統(tǒng)的特征根均 位于位于s1線的左側(cè)，線的左側(cè)，K值值的取值范圍。的取值范圍。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()(0)()(221321KssTTsTTsD040401423Ksss因?yàn)椋阂驗(yàn)椋簩 T1 1和和T T2 2代入得：代入得：列列RouthRouth表如下：表如下：0400404014KK140 K3s2s1s0s14014K4014404014K0K40解之得系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)解之得系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K

19、 K的取值范圍為：的取值范圍為：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判據(jù)得：判據(jù)得：（2 2）令）令s sz z1 1，代入特征方程得：，代入特征方程得：040) 1(40) 1(14) 1(23Kzszz02740151123Kzzz即：即：列列RouthRouth表如下：表如下：02740040192KK8 . 4675. 0 K3s2s1s0s115112740K1127401511K02740K解之得：解之得：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判據(jù)得：判據(jù)得：與與(1)的結(jié)果比較可知，的結(jié)果比較可知，K的取值范圍變小了。的取值范圍變小了。A系統(tǒng)穩(wěn)定性是

20、指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，當(dāng)干擾撤除后，系統(tǒng)自動(dòng)回到平衡位置的能力當(dāng)干擾撤除后，系統(tǒng)自動(dòng)回到平衡位置的能力；六、本講小結(jié)六、本講小結(jié)A系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征根具有負(fù)實(shí)部，或系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征根具有負(fù)實(shí)部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在s平面的左半平面平面的左半平面;作業(yè)：作業(yè)：教材：教材： 5.15.4, 5.7ARouth穩(wěn)定判據(jù)是穩(wěn)定判據(jù)是Routh表的第一列元素均大于表的第一列元素均大于0。利用利用Routh穩(wěn)定判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且穩(wěn)定判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且可以確定某些

21、參數(shù)的取值范圍和相對(duì)穩(wěn)定性?？梢源_定某些參數(shù)的取值范圍和相對(duì)穩(wěn)定性。第二講第二講 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)一、一、 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)提出：判據(jù)提出：該穩(wěn)定性判據(jù)由該穩(wěn)定性判據(jù)由H.NyquistH.Nyquist于于19321932年提出，在年提出，在19401940年以后得到廣泛應(yīng)用。年以后得到廣泛應(yīng)用。判據(jù)原理：判據(jù)原理：將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0 與開環(huán)與開環(huán)頻率特性頻率特性G GK K(j )(j )聯(lián)系起來，從而將系統(tǒng)特性從聯(lián)系起來，從而將系統(tǒng)特性從復(fù)域引入頻域來分析。復(fù)域引入頻域來分析。判斷

22、方法：判斷方法：通過通過G GK K(j)(j)的的NyquistNyquist圖，利用圖解法來判明圖，利用圖解法來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角原理。穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角原理。1.1.幅角原理（幅角原理（CauchyCauchy定理）定理）)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFjvusF)( 設(shè)設(shè)F F(s)(s)在在ss平面上平面上除有限個(gè)奇點(diǎn)外除有限個(gè)奇點(diǎn)外為單值的連續(xù)正則為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè)函數(shù)，并設(shè)ss平面上解析點(diǎn)平面上解析點(diǎn)s s映射到映射到 F F(s)(s)平

23、面上為點(diǎn)平面上為點(diǎn)F F(s)(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量F F(s)(s)。若在。若在ss平面上任意平面上任意一封閉曲線一封閉曲線L Ls s，只要此曲線不經(jīng)過，只要此曲線不經(jīng)過F F(s)(s)的奇點(diǎn)，的奇點(diǎn)，則在則在F(s)平面上必有一條對(duì)應(yīng)的曲線平面上必有一條對(duì)應(yīng)的曲線LF，也是一條封閉曲線。，也是一條封閉曲線。 當(dāng)解析點(diǎn)當(dāng)解析點(diǎn)s s按順時(shí)針方向沿按順時(shí)針方向沿L Ls s變化一周時(shí)變化一周時(shí)，向量，向量F F( (s s) )將按順將按順時(shí)針方向時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)N N 周周，即，即F F( (s s) )以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋

24、轉(zhuǎn)NN 周，周，這就等于曲線這就等于曲線L LF F順時(shí)針包圍原點(diǎn)順時(shí)針包圍原點(diǎn)NN 次。若令次。若令Z Z 為包圍于為包圍于L Ls s內(nèi)內(nèi)的的F F( (s s) )的零點(diǎn)數(shù)，的零點(diǎn)數(shù)，P P 為包圍于為包圍于L Ls s 內(nèi)的內(nèi)的F(s)F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則有的極點(diǎn)數(shù)，則有取任意拉氏函數(shù)：取任意拉氏函數(shù)：js1s2ssLReIm)(sF)(1sF)(2sFFL向量向量F F(s)(s)的相位為的相位為njjmiipszssF11)()()( 假設(shè)假設(shè) L Ls s 內(nèi)只包圍了內(nèi)只包圍了F F(s) (s) 的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn)z zi i ，其它零極點(diǎn)均，其它零極點(diǎn)均位于位于L Ls s

25、 之外，當(dāng)之外，當(dāng)s s沿沿L Ls s 順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，向量（順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，向量（s sz zi i ）的相位角變化為的相位角變化為2 2 弧度，而其余相位角的變化為弧度，而其余相位角的變化為 0 0。即向量即向量F F(s)(s)的相位角變化為的相位角變化為22，或者說，或者說 F F(s) (s) 在在 F F(s) (s) 平面上沿平面上沿 L LF F 繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈。繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈。N ZPjsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFL)(sF 若若ss平面上的封閉曲線包圍平面上的封閉曲線包圍F(s)F(s)的的Z Z個(gè)零點(diǎn)，則在個(gè)零點(diǎn)，則在 F F(s)

26、(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線L LF F將繞原點(diǎn)順時(shí)針將繞原點(diǎn)順時(shí)針Z Z圈，而若圈，而若ss平面內(nèi)平面內(nèi)的封閉曲線包圍這的封閉曲線包圍這F F(s)(s)的的P P 個(gè)極點(diǎn)，則平面上的映射曲線個(gè)極點(diǎn)，則平面上的映射曲線L LF F將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)P P圈。圈。FsLLsFs平平面面映映射射平平面面)()()()()()(2121nmpspspszszszsKsF 2. Nyquist 2. Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)方框圖對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)方框圖對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)().()()(.)()()()(2121mnpspspsz

27、szszsKsHsGsGnmK?X i (s)G(s)H(s)X o (s)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )()(1)()(sGsHsGsGB特征方程特征方程 0)()(1sGsH)()(1)(sGsHsF令令則有：則有：nnpspspssssssssFnn).()().()()(2121)(sGB)(sF)(sGK零點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其閉環(huán)特征方程的全部根具是其閉環(huán)特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部，即在有負(fù)實(shí)部，即在ss右半平面內(nèi)沒有極點(diǎn)，也就是說，右半平面內(nèi)沒有極點(diǎn)，也就是說，F(xiàn) F(s)(s)在在ss平平面的右半平

28、面沒有零點(diǎn)。面的右半平面沒有零點(diǎn)。)(1)()()(1)()(sGsGsHsGsGsGKB)(1)()(1)(sGsHsGsFK因?yàn)橐驗(yàn)?故有：故有： 為研究為研究F F(s)(s)有無零點(diǎn)位于有無零點(diǎn)位于ss平面的右半平面平面的右半平面，可選擇一，可選擇一條條包圍整個(gè)包圍整個(gè)ss右半平面右半平面的的封閉曲線封閉曲線LsLs，如圖。，如圖。LsLs由兩部分組由兩部分組成，其中，成，其中，L L1 1為為到到+的整個(gè)虛軸，的整個(gè)虛軸，L L2 2為半徑為半徑R R趨于趨于無窮大的半圓弧。因此，無窮大的半圓弧。因此，L Ls s封閉地包圍了整個(gè)封閉地包圍了整個(gè)ss平面的右半平面的右半平面。這一封閉

29、曲線平面。這一封閉曲線LsLs即為即為ss平面上的平面上的 Nyquist Nyquist 軌跡。當(dāng)軌跡。當(dāng)?shù)降?，軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。，軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。 由于在由于在應(yīng)用幅角原理應(yīng)用幅角原理時(shí)，時(shí)，L Ls s不能通過不能通過F F(s)(s)函數(shù)的任何極點(diǎn)函數(shù)的任何極點(diǎn)，所以當(dāng)函數(shù)所以當(dāng)函數(shù)F F(s)(s)有若干極點(diǎn)處于有若干極點(diǎn)處于ss平面的虛軸或原點(diǎn)處時(shí)，平面的虛軸或原點(diǎn)處時(shí)，L Ls s應(yīng)以這些點(diǎn)為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時(shí)針方向應(yīng)以這些點(diǎn)為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時(shí)針方向繞過這些點(diǎn)。由于繞過這些點(diǎn)的圓弧的半徑為無窮小，因此，繞過這些點(diǎn)。由于繞過這些點(diǎn)的圓弧

30、的半徑為無窮小，因此，可以認(rèn)為可以認(rèn)為L Ls s曲線仍然包圍了整個(gè)曲線仍然包圍了整個(gè)ss平面的右半平面。平面的右半平面。j j j01L2Lsj j j01L2Ls00 設(shè)設(shè)F F(s)(s)1 1G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss右平面有右平面有Z Z個(gè)零點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)和P P個(gè)極點(diǎn)，由幅個(gè)極點(diǎn)，由幅角原理，當(dāng)角原理，當(dāng)s s沿沿ss平面上的平面上的NyquistNyquist軌跡移動(dòng)一周時(shí)，在軌跡移動(dòng)一周時(shí)，在 F F 平面平面上的映射曲線上的映射曲線L LF F將順時(shí)針包圍原點(diǎn)將順時(shí)針包圍原點(diǎn)NNZ ZP P圈。圈。因?yàn)橐驗(yàn)? : G(s)H(s)F(s)1 可見可見GHGH平面

31、是將平面是將FF平面的虛軸右移一個(gè)單位所構(gòu)成的平面的虛軸右移一個(gè)單位所構(gòu)成的復(fù)平面。復(fù)平面。FF平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是GHGH平面上的（平面上的（1 1，j0j0）點(diǎn)，點(diǎn)，F(xiàn) F(s)(s)的映射曲線的映射曲線L LF F包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于G(s)H(s)G(s)H(s)的映射曲的映射曲線線L LGHGH包圍（包圍（1 1，j0j0）點(diǎn)的圈數(shù)。）點(diǎn)的圈數(shù)。ImRe)0, 1(j0)(sFF1FLImRe)0, 1(j)()(sHsGGH1GHL0 由于任何物理上可實(shí)現(xiàn)的開環(huán)系統(tǒng)，其由于任何物理上可實(shí)現(xiàn)的開環(huán)系統(tǒng)，其G GK K(s)(s)的分母的分母

32、的階次的階次n n 必不小于分子的階次必不小于分子的階次 m m ，即，即n m n m ，故有：，故有： 這里這里ss是指其模而言，所以，是指其模而言，所以，ss平面上半徑為平面上半徑為的半圓映射到的半圓映射到GHGH平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)。平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)。 mnmnsHsGs 當(dāng)const當(dāng)0)()(lim 因?yàn)?，因?yàn)椋琇 Ls s為為ss平面上的整個(gè)虛軸再加上半徑為無窮大的半圓平面上的整個(gè)虛軸再加上半徑為無窮大的半圓弧，而弧，而ss平面上半徑為無窮大的半圓弧映射到平面上半徑為無窮大的半圓弧映射到 GHGH平面上只是平面上只是一個(gè)點(diǎn)，它對(duì)于一個(gè)點(diǎn)，它對(duì)于G G(s)(s)H

33、 H(s) (s) 的映射曲線的映射曲線L LGHGH對(duì)某點(diǎn)的包圍情況無影對(duì)某點(diǎn)的包圍情況無影響，所以響，所以G G(s)(s)H H(s)(s)的繞行情況只考慮的繞行情況只考慮ss平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到GHGH平面上的開環(huán)平面上的開環(huán)NyquistNyquist軌跡軌跡G G(j(j) )H H(j)(j)即可。即可。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是F F(s)(s)在在ss平面的右半平面無零平面的右半平面無零點(diǎn)，即點(diǎn)，即 Z Z0 0。因此，如果。因此，如果G G(s)(s)H H(s)(s)的的NyquistNyquist軌跡逆時(shí)針包圍軌跡逆時(shí)針包圍（1 1，

34、j j0 0）點(diǎn)的圈數(shù)）點(diǎn)的圈數(shù)N N 等于等于G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面的右半平面的極平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)P P 時(shí)，有時(shí)，有N N P P，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 綜上所述，綜上所述，NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)表述如下：當(dāng)穩(wěn)定判據(jù)表述如下：當(dāng)?shù)降?時(shí)，若時(shí)，若GHGH平面上的開環(huán)頻率特性平面上的開環(huán)頻率特性G G( (jj) )H H( (jj) )逆時(shí)針包圍逆時(shí)針包圍（1 1，j j 0 0）點(diǎn)的）點(diǎn)的P P 圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P P 為為G(G(s) s)H H(s)(s)在在ss平平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。面的右半平面

35、的極點(diǎn)數(shù)。 對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P P0 0，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G G( (jj) )H H( (jj) )不包圍（不包圍（1 1，j j 0 0）點(diǎn)。）點(diǎn)。 如圖是如圖是P P=0=0的系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。的系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。(a)(a)圖不包圍圖不包圍(-1(-1，j j 0) 0)點(diǎn)，它所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；點(diǎn)，它所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； (b)(b)圖對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不圖對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定。ImRe)0, 1(j0KGH0ImRe)0, 1(j0KGH0(a)(b)實(shí)例分析實(shí)例分析

36、 1 1實(shí)例分析實(shí)例分析 2 2已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba其開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏圖如下：其開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏圖如下：ImRe)0, 1(j0KGH0 由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，P P =1=1，即在即在ss平面的右半平面有一個(gè)極點(diǎn)。平面的右半平面有一個(gè)極點(diǎn)。其奈氏軌跡逆時(shí)針包圍其奈氏軌跡逆時(shí)針包圍 (-1(-1，j 0)j 0)點(diǎn)一點(diǎn)一圈，所以閉環(huán)系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。圈，所以閉環(huán)系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。 這就是所謂的開環(huán)不穩(wěn)定而閉環(huán)這就是所謂的開環(huán)不穩(wěn)定而閉環(huán)穩(wěn)定。開環(huán)不

37、穩(wěn)定是指開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定是指開環(huán)傳遞函數(shù)在在ss平面的右半平面有極點(diǎn)。顯然，平面的右半平面有極點(diǎn)。顯然，此時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)。此時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)。3. 3. 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的NyquistNyquist軌跡軌跡軌跡特點(diǎn)：軌跡特點(diǎn)：當(dāng)系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)有位于有位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn) 。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù) vniivmjjKsTssTKsHsGsG11) 1() 1()()()(式中，式中，v v 為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，當(dāng)為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，當(dāng)s s

38、 沿?zé)o窮小沿?zé)o窮小半圓弧逆時(shí)針方向移動(dòng)時(shí)，有半圓弧逆時(shí)針方向移動(dòng)時(shí)，有jrres0lim映射到映射到GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist軌跡為：軌跡為： 因此，當(dāng)因此，當(dāng)s s沿小半圓從沿小半圓從0 0變化到變化到0 0時(shí)，時(shí)， 角從角從/2/2變化到變化到/2/2，這是，這是GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時(shí)針方向軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時(shí)針方向從從v v/2/2轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到- - v v/2 /2 。jvvrresvniivmjjreserKsTssTKsHsGjrjr0lim11limlim) 1() 1()()(00已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳

39、遞函數(shù)為已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1()3()()(sssKsHsGImRe)0, 1(j0 0GH 0分析分析：G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面的右半平面平面的右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，為有一個(gè)極點(diǎn)，為s=1s=1，所以，所以，P P =1=1。 實(shí)例分析實(shí)例分析 3 3 當(dāng)當(dāng) 由由-變到變到+ + 時(shí)，開時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡逆時(shí)針包圍環(huán)奈氏軌跡逆時(shí)針包圍(-1(-1，j j 0)0)點(diǎn)一圈，所以，點(diǎn)一圈，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。定的。顯然，此時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)顯然，此時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)。是非最小相位系統(tǒng)。由于G(s)H(s)分母中有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以，映射到GH平

40、面上就是半徑為 按順時(shí)針方向從- /2 到+ /2 的圓弧。在s平面上，當(dāng) 由- 變到+ 時(shí)，經(jīng)過=0 時(shí)，實(shí)例分析實(shí)例分析 4 4已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 12)(1() 14()()(2sssssHsG當(dāng)當(dāng)= =0 0 時(shí)，時(shí)，180jHjG當(dāng)當(dāng)= = 時(shí)，時(shí)，270jHjG故奈氏曲線將穿越負(fù)實(shí)軸，在交故奈氏曲線將穿越負(fù)實(shí)軸，在交點(diǎn)處，有點(diǎn)處，有 180jHjGImRe) 0, 1(j00GH0由此可算得：由此可算得：6 .10221221GH 當(dāng)當(dāng) 由由- - 變到變到+ + 時(shí)，經(jīng)過時(shí)，經(jīng)過=0 =0 時(shí)，由于時(shí)，由于G G(s)(s)H H(s)(s

41、)分母中有分母中有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以，影射到兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以，影射到GHGH平面上就是半徑為平面上就是半徑為 按順時(shí)針按順時(shí)針方向從方向從 到到- - 的圓弧。因的圓弧。因 P P = 0= 0，當(dāng)，當(dāng) 由由-變到變到+ + 時(shí)，開環(huán)時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡順時(shí)針包圍奈氏軌跡順時(shí)針包圍(-1(-1，j j 0)0)點(diǎn)兩圈，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。點(diǎn)兩圈，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。四四. . 關(guān)于關(guān)于NyquistNyquist判據(jù)的幾點(diǎn)說明判據(jù)的幾點(diǎn)說明ANyquist判據(jù)是在判據(jù)是在GH平面平面判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；ANyquist判據(jù)證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡(jiǎn)單判據(jù)證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡(jiǎn)單；A開環(huán)穩(wěn)定

42、與閉環(huán)穩(wěn)定之間的關(guān)系開環(huán)穩(wěn)定與閉環(huán)穩(wěn)定之間的關(guān)系；A開環(huán)開環(huán)Nyquist軌跡是對(duì)稱的。軌跡是對(duì)稱的。)()()()(jHjGjHjG)()()()(jHjGjHjG實(shí)例分析實(shí)例分析 5 5已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1)(1()()(21sTsTKsHsG 開環(huán)奈氏軌跡如右邊圖所示。開環(huán)奈氏軌跡如右邊圖所示。因?yàn)橐驗(yàn)镻 P = 0= 0，當(dāng)，當(dāng) 由由-變到變到+ + 時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡不包圍時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡不包圍(-1(-1，j j 0)0)點(diǎn)，所以，不論點(diǎn)，所以，不論K K 取任何正值，取任何正值，其所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。其所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。ImR

43、e)0, 1(j0KGH0 從開環(huán)傳遞函數(shù)的特點(diǎn)可知，從開環(huán)傳遞函數(shù)的特點(diǎn)可知，當(dāng)當(dāng) =+ =+ 時(shí)，相位為時(shí)，相位為-，當(dāng)，當(dāng) 由由0 0變到變到+ + 時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡到時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡到不了第二象限。所以，當(dāng)不了第二象限。所以，當(dāng) 由由-變到變到+ + 時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡不會(huì)包圍時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡不會(huì)包圍(-1(-1，j j 0)0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)總是點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。由此可知，開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時(shí)，只有三階及其以上，穩(wěn)定的。由此可知，開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時(shí)，只有三階及其以上，其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。實(shí)例分析實(shí)例分析 6 6已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知某系統(tǒng)的

44、開環(huán)傳遞函數(shù)為:) 1)(1)(1() 1)(1()()(32154sTsTsTsTsTKsHsG右圖是對(duì)應(yīng)不同右圖是對(duì)應(yīng)不同K 奈氏曲線，奈氏曲線，且曲線且曲線(1)所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的K 值大于曲值大于曲線線(2)的的K 值。當(dāng)值。當(dāng) 由由- 變到變到+ 時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡順時(shí)針包圍時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡順時(shí)針包圍(-1，j 0)點(diǎn)，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不點(diǎn)，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若減小穩(wěn)定。若減小K 值得曲線值得曲線(2)，當(dāng)當(dāng) 由由- 變到變到+ 時(shí)，開環(huán)奈時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡不包圍氏軌跡不包圍(-1，j 0)點(diǎn)，所以，點(diǎn)，所以，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。ImRe)0, 1(j0KGH0) 1 ()2(保

45、持系統(tǒng)穩(wěn)定的保持系統(tǒng)穩(wěn)定的方案有方案有:減小減小K值值;增大增大 T4,T5. 實(shí)例分析實(shí)例分析 7 7某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1()()(TssKsHsGImRe)0, 1(j0GH0 右圖為其開環(huán)奈氏曲線。右圖為其開環(huán)奈氏曲線。顯然，只要顯然，只要K0K0，無論取何值，無論取何值，其對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。其對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。此例中只有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，而此例中只有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，而且是二階系統(tǒng)，相位最多為且是二階系統(tǒng)，相位最多為- - 所以，閉環(huán)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。所以，閉環(huán)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: :) 1)(1)(1(

46、) 1()()(3214sTsTsTssTKsHsG實(shí)例分析實(shí)例分析 8 8 前導(dǎo)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的重要作用前導(dǎo)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的重要作用右圖為開環(huán)奈氏曲線。其中曲右圖為開環(huán)奈氏曲線。其中曲線（線（1 1）的）的T T4 4較小，即前導(dǎo)作用較小，即前導(dǎo)作用較弱，曲線包圍了較弱，曲線包圍了（-1-1，j j0 0）點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。ImRe)0, 1(j0GH0) 1 ()2(曲線曲線 (2) (2) 的的 T T4 4 較大，即導(dǎo)前作較大，即導(dǎo)前作用較強(qiáng)，曲線不包圍用較強(qiáng)，曲線不包圍 (-1(-1，j j 0)0)點(diǎn)，點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

47、。實(shí)例分析實(shí)例分析 9 9 前導(dǎo)環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的作用前導(dǎo)環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的作用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1() 1()()(122sTssTKsHsGT T1 1、T T2 2取值不同時(shí)的奈氏曲線見下圖：取值不同時(shí)的奈氏曲線見下圖：ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0021TT 由圖可知：（由圖可知：（1 1）T T2 2大，表示導(dǎo)前環(huán)節(jié)作用大，可使系統(tǒng)穩(wěn)定；大，表示導(dǎo)前環(huán)節(jié)作用大，可使系統(tǒng)穩(wěn)定；（2 2）開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)越多，開環(huán)）開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)越多，開環(huán)Nyquis

48、tNyquist軌跡越容易包軌跡越容易包圍點(diǎn)（圍點(diǎn)（1 1，j0j0）。）。五五. . 具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析)(sXi)(1sGse)(sE)(sXossKessesGsG11)()(1) 1(1)(1sssG若若則則)()(1jGjGK)()(1jGjGKjKejGjG)()(1故故具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為：具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為：延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)l率特性幅值的大小，但改變其相角的大小。延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)l率特性幅值的大小，但改變其相角的大小。對(duì)上述具有延時(shí)環(huán)節(jié)的單位反饋系統(tǒng)，其特征方程為：對(duì)上述具有延時(shí)環(huán)節(jié)的單位反饋系統(tǒng)，其特征方

49、程為：0)(11 sesG即即此時(shí)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，故有：此時(shí)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，故有：1)(1 sesG) 1 (1)(1jG)2()(1jG786. 015. 1解得：解得：ImRe)0, 1(j0GH0015.0 此例說明，串聯(lián)延時(shí)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性是不利的。即使原系統(tǒng)穩(wěn)定，但串入延時(shí)環(huán)節(jié)后系統(tǒng)可能會(huì)不穩(wěn)定。此例， 1.15，系統(tǒng)不穩(wěn)定。A了解幅角原理基本概念及與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系；了解幅角原理基本概念及與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系；六、本講小結(jié)六、本講小結(jié)A掌握掌握Nyquist判據(jù)穩(wěn)定性判斷方法；判據(jù)穩(wěn)定性判斷方法；作業(yè)：作業(yè)：教材：教材： 5.10A明確明確Nyquist判據(jù)穩(wěn)定性時(shí)的特點(diǎn)；判據(jù)穩(wěn)定性

50、時(shí)的特點(diǎn)；第三講第三講 Bode 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)一一 BodeBode判據(jù)原理判據(jù)原理判據(jù)原理判據(jù)原理：將開環(huán)將開環(huán)Nyquist極坐標(biāo)圖采用開環(huán)極坐標(biāo)圖采用開環(huán)Bode對(duì)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖以進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷。數(shù)坐標(biāo)圖以進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷。判據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系判據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系：ImRe)0, 1(j0GH021c34GHlg20cGH1801g1234對(duì)應(yīng)關(guān)系描述對(duì)應(yīng)關(guān)系描述：ANyquist圖上的圖上的單位圓單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于Bode圖上的圖上的0dB線線；ANyquist圖上的圖上的負(fù)實(shí)軸負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于Bode圖上的圖上的-180 線線。二二 穿越原理穿越原理穿越穿越：開環(huán)開環(huán)Nyquist軌跡在點(diǎn)軌

51、跡在點(diǎn)(-1, j0）以左穿過負(fù)實(shí)軸。）以左穿過負(fù)實(shí)軸。正正 /負(fù)穿越負(fù)穿越：沿頻率沿頻率增加的方向，增加的方向，開環(huán)開環(huán)Nyquist軌跡自軌跡自上而下（相位增加）穿過點(diǎn)上而下（相位增加）穿過點(diǎn)(-1, j0）以左的負(fù)實(shí)軸為正）以左的負(fù)實(shí)軸為正穿越，反之為負(fù)穿越。穿越，反之為負(fù)穿越。半次正半次正 /負(fù)穿越負(fù)穿越：沿頻率沿頻率增加的方向，增加的方向，開環(huán)開環(huán)Nyquist軌軌跡自點(diǎn)跡自點(diǎn)(-1, j0）以左的負(fù)實(shí)軸開始向下稱為半次正穿越，）以左的負(fù)實(shí)軸開始向下稱為半次正穿越，反之為半次負(fù)穿越。反之為半次負(fù)穿越。正半次穿越GH180負(fù)半次穿越 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于Bode圖上，在開環(huán)圖上，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻

52、特性為正值的頻率對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍范圍內(nèi)，沿內(nèi)，沿增加的方向，增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自下而上穿對(duì)數(shù)相頻特性曲線自下而上穿過過180度線度線為正穿越；反之，為負(fù)穿越。為正穿越；反之，為負(fù)穿越。A對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)數(shù)相頻特性曲線自自180度線度線開始向上，為開始向上，為半次正穿越半次正穿越；A對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)數(shù)相頻特性曲線自自180度線度線開始向下，為開始向下，為半次負(fù)穿越半次負(fù)穿越。三三 BodeBode判據(jù)判據(jù)在在BodeBode圖上，圖上，當(dāng)當(dāng)由由0 0變?yōu)樽優(yōu)?時(shí)時(shí)，在開環(huán)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)對(duì)數(shù)相

53、頻特性對(duì)-180-180度線度線正穿越與負(fù)穿越的次數(shù)之差為正穿越與負(fù)穿越的次數(shù)之差為 P P/2/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 當(dāng)當(dāng)P P0 0時(shí)，若開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性時(shí)，若開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性先交于橫軸，即先交于橫軸，即c c g g ，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。GHlg203cGH18001c2c 若開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線對(duì)橫軸若開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線對(duì)橫軸有多個(gè)剪切頻率，如圖，則取剪切有多個(gè)剪切頻率，如圖，則取剪切頻率最大的來判別穩(wěn)定性，因?yàn)槿纛l率最大的來判別

54、穩(wěn)定性，因?yàn)槿粲糜胏3c3 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，則用判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，則用c1c1、 c2c2判別，自然也是穩(wěn)定的。判別，自然也是穩(wěn)定的。Bode判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：ABode圖可以用作圖可以用作漸近線漸近線的方法作出，故比較簡(jiǎn)便；的方法作出，故比較簡(jiǎn)便；ABode圖上的圖上的漸近線漸近線，可以粗略的判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；，可以粗略的判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；ABode圖上可以圖上可以明確明確哪些環(huán)節(jié)是哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定的主要因素造成不穩(wěn)定的主要因素，從而從而對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行合理選擇或校正對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行合理選擇或校正；A在調(diào)整開環(huán)增益在調(diào)整開環(huán)增益K時(shí)，只需將時(shí)，只需將Bode圖中的對(duì)數(shù)幅頻特性圖中的對(duì)數(shù)幅頻特性上下平移即可，很容易看出保證穩(wěn)定性所需的增益值。上下平移即可，很容易看出保證穩(wěn)定性所需的增益值。四四 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性相位裕度相位裕度：相位裕度相位裕度：在在為剪切頻率為剪切頻率c時(shí)，相頻特性時(shí)，相頻特性 GH 距距-180線的相位差值線的相位差值。)(180cReImgK1GH)(c1