第六章 相似矩陣及二次型

1、相似矩陣及二次型 1.向量的內(nèi)積 定義定義1 設(shè)有n維向量令 x, y稱(chēng)為向量x與y的內(nèi)積內(nèi)積。內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣記號(hào)表示，當(dāng)x與y都是列向量時(shí)，有內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z為n維向量，為實(shí)數(shù)）：（1）x, y=y, x;（2） x, y= x, y;（3）x+y,z=x,z+y,z. .,2121nnyyyyxxxx,2211nnyxyxyxyxyxyxT,1.向量的內(nèi)積有解析幾何中，我們?cè)?jīng)引進(jìn)向量的數(shù)量積且在直角坐標(biāo)系中，有n維向量的內(nèi)積時(shí)數(shù)量積的一種推廣，但n維向量沒(méi)有3維向量那樣直觀的長(zhǎng)度和夾角的概念，因此只能按數(shù)量積的直角坐標(biāo)計(jì)算公式來(lái)推廣，并且反過(guò)來(lái)，利用內(nèi)積來(lái)定

2、義n維向量的長(zhǎng)度和夾角：定義定義2 令 稱(chēng)為n維向量x的長(zhǎng)度長(zhǎng)度（或范數(shù)）。向量的長(zhǎng)度有下述性質(zhì)：1.非負(fù)性非負(fù)性 當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) x=0 時(shí)， =0；2.齊次性齊次性 ；3.三角不等式三角不等式 。 當(dāng) =1時(shí)，稱(chēng)x為單位向量單位向量。cosyxyx332211321321),(),(yxyxyxyyyxxx22221,nxxxxxxx0 x0 xxxxyxyxx向量的內(nèi)積滿足上式稱(chēng)為施瓦茨不等式施瓦茨不等式，這里不予證明。由此得于是有下面的定義： 當(dāng) 時(shí),稱(chēng)為n維向量x與y的夾角夾角。當(dāng)x, y =0時(shí)，稱(chēng)向量x與y正交正交。顯然，若x=0，則x與任意向量都正交。 , ,2yyxxyx時(shí)）

3、當(dāng)0(1,yxyxyx0, 0yx1.向量的內(nèi)積yxyx,arccos下面討論正交向量組正交向量組的性質(zhì)。所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量。定理定理1 若n維向量a1，a2,ar是一組兩兩正交的非零向量，則 a1，a2,ar線性無(wú)關(guān)。證證 設(shè)有 使以 左乘上式兩端，得 ，因 故 ，從而必有 。類(lèi)似可證 ， 。于是向量組a1，a2,ar線性無(wú)關(guān)。 證畢 我們常采用正交向量組作為向量空間的基，稱(chēng)為向量空間的正交基正交基。例如n個(gè)兩兩正交的n維非零向量，可構(gòu)成向量空間Rn的一個(gè)正交基。 r,2102211rraaaTa10111aaT01a02111 aaaT01020r1.向量的內(nèi)積例1

4、 已知3維向量空間R3中兩個(gè)向量正交，試求一個(gè)非零向量a3，使a1,a2,a3兩兩正交。 121,11121aa解解 記 ， a3應(yīng)滿足齊次線性方程Ax=0,即 ，由 ，得 ，從而有基礎(chǔ)解系 。取 即合所求。 12111121TTaaA00121111321xxx010101030111A0231xxx1011013a定義定義3 設(shè)n維向量e1,e2,er是向量空間 的一個(gè)基，如果e1, e2, ,er兩兩正交，且都是單位向量，則稱(chēng)e1,e2,er是V的一個(gè)規(guī)范正規(guī)范正交基。交基。 例如 就是R4的一個(gè)規(guī)范正交基。 若e1,e2,er是V的一個(gè)規(guī)范正交基，那么V中任一向量a應(yīng)能由e1,e2,e

5、r線性表示，設(shè)表示式為 。為求其中的系數(shù) （i=1,r）,可用 左乘上式，有即 )(nRVV0021211e0021212e2121003e2121004erreeea2211,iiTiiTieeae,iTiieaaeiTie1.向量的內(nèi)積 設(shè)a1,a2,ar是向量空間V的一個(gè)基，要求V的一個(gè)規(guī)范正交基。這也就是要找一組兩兩正交的單位向量e1,e2,er，使e1,e2,er與a1,a2,ar等價(jià)。這樣一個(gè)問(wèn)題，稱(chēng)為把把a(bǔ)1,a2,ar這個(gè)基規(guī)范正交化這個(gè)基規(guī)范正交化。 我們可以用以下辦法把a(bǔ)1,a2,ar規(guī)范正交化：取 容易驗(yàn)證b1,br,兩兩正交，且b1,br與a1,ar等價(jià)。然后只要把它們

6、單位化，即取 就得V的一個(gè)規(guī)范正交基。上述從線性無(wú)關(guān)向量組a1,ar導(dǎo)出正交向量組b1,br的過(guò)程稱(chēng)為施密特施密特（Schimidt）正交化過(guò)程正交化過(guò)程。它不僅滿足b1,br與a1,。,ar等價(jià)，還滿足：對(duì)任何k (1 ),向量組b1,，bk與a1,ak等價(jià)。.,;,;111122221111111212211rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbababbbbababab,1,11222, 111rrrbbebbebberk 例2 設(shè) 試用施密特正交化過(guò)程把這組向量規(guī)范正交化。解解 取再把它們單位化，取 ,014,131,121321aaa11ab ;1113512164131,12

7、11222bbbaab12131014,2222, 31211333bbbabbbaab.101211135.10121,11131,12161333222111bbebbebbe1.向量的內(nèi)積1.向量的內(nèi)積例4 驗(yàn)證矩陣P是正交矩陣 P解解 P的每個(gè)列向量都是單位向量，且兩兩正交，所以P是正交矩陣。 定義定義5 若P為正交矩陣，則線性變換y=Px 稱(chēng)為正交變換正交變換。 設(shè)y=Px為正交變換，則有 按 表示向量的長(zhǎng)度，相當(dāng)于線段的長(zhǎng)度。 說(shuō)明經(jīng)正交變換線段長(zhǎng)度保持不變，這是正交變換的優(yōu)良特性。2121000021212121212121212121xxxPxPxyyyTTTTxxy 2.方陣

8、的特征值與特征向量 工程技術(shù)中的一些問(wèn)題，如振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題，?？蓺w結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征的問(wèn)題。數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組等問(wèn)題，也都要用到特征值的理論。定義定義6 設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù) 和n維非零列向量x使關(guān)系式 （1）成立，那么，這樣的數(shù) 稱(chēng)為方陣A的特征值特征值，非零向量x稱(chēng)為A的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量特征向量。 xAx2.方陣的特征值與特征向量（1）式也可寫(xiě)成 （2）這是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 （3）即 上式是以 為未知數(shù)的一元n次方程，稱(chēng)為方陣A的特征方程。其左端是的n次多項(xiàng)式，記作f( )，稱(chēng)為方陣A的特征

9、多項(xiàng)式。顯然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），因此，n階矩陣A有n個(gè)特征值。 0 xEA0 EA0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa2.方陣的特征值與特征向量設(shè)n階矩陣A=（aij）的特征值為 ，由多項(xiàng)式的根與系數(shù)之間的關(guān)系，不難證明（1）（2）請(qǐng)讀者證明之。設(shè)為方陣A的一個(gè)特征值，則由方程可求得非零解x=pi，那么pi便是A的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量。（若 為實(shí)數(shù)，則pi可取實(shí)向量；若 為復(fù)數(shù)，則pi為復(fù)向量。） n,21nnnaaa221121An210)(xEAiiii例5 求 的特征值和特征向量。解解 A

10、的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為 ， 。當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 即解得x1=x2,所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為 。 3113A)2)(4(681)3(3113222142210023112321xx. 0, 02121xxxx111p當(dāng) 時(shí)，由即解得x1=-x2 ，所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為 顯然，若pi是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量，則 也是對(duì)應(yīng)于 的特征向量。420043114321xx00111121xx111pi)0(kkpii例6 求矩陣 的特征值和特征向量。解解 A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為 , 。當(dāng)時(shí) ，解方程 。由 得基礎(chǔ)解系 ，所以 是對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量。 2010

11、34011A2)1)(2(201034011 EA21132210)2(xEA0000100010010140132EA1001p)0(1kkp21當(dāng)時(shí) ，解方程由 ，得基礎(chǔ)解系 ，所以 是對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量。 1320)(xEA000210101101024012EA1212p)0(2kkp132例7 求矩陣 的特征值和特征向量。解解當(dāng) 時(shí)，解方程 。由 得基礎(chǔ)解系 ，所以對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為 。314020112A22)2)(1()2)(2(3412)2(314020112EA000010101414030111EA1011p1111)0(1kkp0)(xEA當(dāng) 時(shí)，解方程 。由

12、，得基礎(chǔ)解系 ， ， 所以對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為 （k2,k3不同時(shí)為0）。 2320)2(xEA0000001141140001142EA1102p4011p3322pkpk232例8 設(shè) 是方陣A的特征值，證明 是A2的特征值。證證 因 是A的特征值，故有 使 。于是 ，所以 是A2的特征值。按此類(lèi)推，不難證明：若 是A的特征值，則 是Ak的特征值； 是 的特征值。（其中， ）定理定理2 設(shè) 是方陣A的m個(gè)特征值，p1,p2,pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量。如果 各不相等，則p1,p2,pm線性無(wú)關(guān)。20ppAppAppAApApA22)()()(2k)()(Ammaaa10)(mmAaA

13、aEaA10)(m,21m,213.相似矩陣定義定義7 設(shè)A,B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P,使 P-1AP=B,則稱(chēng)B是A的相似矩陣相似矩陣，或說(shuō)矩陣A與B相似。對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P-1AP稱(chēng)為對(duì)A進(jìn)行相似變換相似變換，可逆矩陣P稱(chēng)為把A變成B的相似變換矩陣。定理定理3 若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相同，從而A與B的特征值亦相同。證證 因A與B相似，即有可逆矩陣P,使P-1AP=B,故 EAPEAPPEAPPEPAPPEB1111)()(3.相似矩陣推論推論 若n階矩陣A與對(duì)角矩陣 相似，則 即是A的n個(gè)特征值。下面我們要討論的主要問(wèn)題是：對(duì)n階矩陣A，尋求相似變換矩陣P,使 P-1

14、AP= 為對(duì)角矩陣，這就稱(chēng)為把方陣把方陣A對(duì)角化對(duì)角化。定理定理4 n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似（即A能對(duì)角化）的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。聯(lián)系定理2，可得推論推論 如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角矩陣相似。 n21n,214.對(duì)稱(chēng)矩陣的相似矩陣定理定理5 對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。定理定理6 設(shè) 是對(duì)稱(chēng)矩陣A的兩個(gè)特征值，p1,p2是對(duì)應(yīng)的特征向量。若 ，則p1與p2正交。定理定理7 設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣， 是A的特征方程的r重根，則矩陣 的秩 ,從而對(duì)應(yīng)特征值 恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 這定理不予證明。定理定理8 設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣P，使P-1AP

15、= 其中 是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。21,21EArnEAR)(例9 設(shè) ，求一個(gè)正交矩陣P,使P-1AP= 為對(duì)角矩陣。解解 故得特征值 =2， 。當(dāng) =2時(shí)，由解得 單位特征向量可取 310130004A1122)4)(2()86)(4(310130004 EA432000110110002321xxx1101321kxxx212110p當(dāng)時(shí) ，由 解得 ，基礎(chǔ)解系中兩個(gè)向量恰好正交，單位化即得兩個(gè)單位正交的特征向量， 于是得正交矩陣 可以驗(yàn)知確有 2121212132100010),(pppP212130p0012p11000121321kkxxx0001101100003

16、21xxx4324421APPAPPT此例中對(duì)應(yīng)于 =4，若求得方程（A- 4E）x = 0的基礎(chǔ)解系為 ， ，則需把它規(guī)范正交化：取 。要 即 ;有 ，故 再單位化，即得于是 可以驗(yàn)知仍有P-1AP= 。 11232111311112311121TTk01121TTk021T12211,k11121111112311112p112611223p61312161312162310P5.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形定義定義8 含有n個(gè)變量 的二次齊次函數(shù) （5）稱(chēng)為二次型二次型取 ,則 ，于是（5）式可寫(xiě)成 （6） nxxx,21nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1, 13113211222222211121222),(jiijaa ijjijiijjiijxxaxxaxxa2njijiijnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaf1,22211222222122111211221115.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換 （7） 使二次型只含平方項(xiàng)，也就是用（7）代入（5），能使 這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。當(dāng)aij為復(fù)數(shù)時(shí)，f稱(chēng)為復(fù)二次型；當(dāng)aij為實(shí)數(shù)時(shí)，f稱(chēng)為實(shí)二次型。這里我們僅討論實(shí)二次型，所求的