高中數(shù)學(xué)解題思想方法大全

1、目 錄前言 2第一章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 3一、 數(shù)形結(jié)合思想 3二、 分類討論思想 9三、 函數(shù)與方程思想 15 四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 22第二章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 23一、 配方法 23 二、 換元法 27三、 待定系數(shù)法 34四、 定義法 39五、 數(shù)學(xué)歸納法 43六、 參數(shù)法 48七、 反證法 52八、 消去法 54九、 分析與綜合法 55十、 特殊與一般法 56十一、 類比與歸納法 57十二、 觀察與實(shí)驗(yàn)法 58第三章 高考熱點(diǎn)問題和解題策略 59一、 應(yīng)用問題 59二、 探索性問題 65三、 選擇題解答策略 71四、 填空題解答策略 77附錄 一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 二、

2、 兩套高考模擬試卷 三、 參考答案 前 言美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查： 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等； 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜

3、合法、反證法、歸納法、演繹法等； 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的

4、行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得?？梢哉f，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)

5、策略和高考中的幾個熱點(diǎn)問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對方法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。第一章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析

6、幾何。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為

7、易、化繁為簡，從而得到解決。“數(shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識，有的本

8、身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)命題甲：0<x<5；命題乙：|x2|<3，那么甲是乙的_。 （90年全國文）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2. 若log2<log2<0，則_。(92年全國理)A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>13. 如果|x|,那么函數(shù)f(x)cosxsinx的最小值是_。 (89年

9、全國文)A. B. C. 1 D. 4. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。(91年全國)A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5 D.減函數(shù)且最大值為5 5. 設(shè)全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，那么等于_。 (90年全國)A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 6. 如果是第二象限的角，且滿足cossin,那么是_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角7. 已知集合E|cos<sin，02，

10、F|tg<sin，那么EF的區(qū)間是_。（93年全國文理）A. (,) B. (,) C. (, ) D. (,) 8. 若復(fù)數(shù)z的輻角為，實(shí)部為2，則z_。A. 22 B. 22 C. 22 D. 229. 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x2)y3，那么的最大值是_。 (90年全國理)A. B. C. D. 10. 滿足方程|z3|的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_?！竞喗狻?小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲>乙，選A;2小題：由已知畫出對數(shù)曲線，選B；3小題：設(shè)sinxt后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱畫出圖像，選B；5小題：將幾個集合的

11、幾何意義用圖形表示出來，選B；6小題：利用單位圓確定符號及象限；選B；7小題：利用單位圓，選A；8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問題；選D；10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案。【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸（題）、圖像（、題）、單位圓（、題）、復(fù)平面（、題）、方程曲線（題）。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x、示范性題組：例1. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！痉治觥繉?shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在

12、某個范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決?！窘狻?原方程變形為 即：設(shè)曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示。由圖可知： 當(dāng)1m0時，有唯一解，m1; 當(dāng)11m<4時，有唯一解，即3<m0, m1或3<m0此題也可設(shè)曲線y(x2)1 , x(0,3)和直線ym后畫出圖像求解?！咀ⅰ?一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡單明了。此題也可用代數(shù)方法來討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來求（也注意結(jié)合圖像分析只一個x值）。 y A D O B x C例2. 設(shè)|z|5，|z|2, |z|，求的值。

13、【分析】 利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問題用幾何圖形幫助求解?！窘狻?如圖，設(shè)z、z后，則、如圖所示。由圖可知，|，AODBOC，由余弦定理得：cosAOD (±)2± y A D O x 【另解】設(shè)z、如圖所示。則|，且cosAOD，sinAOD±，所以(±)2±，即2±?！咀ⅰ勘绢}運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動活潑。 一般地，復(fù)數(shù)問題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。本題設(shè)三角形

14、式后轉(zhuǎn)化為三角問題的求解過程是：設(shè)z5(cossin)，zsin)，則|z|(5cos2cos)(5sin2sin)|，所以cos(),sin()±，cos()sin()(±)2±。本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過程是：由|z|得：（z）(z)zzzz254zz13,所以zz16,再同除以z得4，設(shè)z，解得z2±。幾種解法，各有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選擇的方法也有別。一般地，復(fù)數(shù)問題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三角問題求解；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾

15、何問題求解。例3. 直線L的方程為：x (p>0),橢圓中心D(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個不同的點(diǎn)，它們中每一個點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離？【分析】 由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成：p為何值時，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題（研究方程組解的情況）?！窘狻?由已知得：a2，b1, A(,0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：，消y得：x(47p)x(2p)0所以1664p48p>0,即6p8p2>0，解得：p<或p>1。結(jié)合范圍(,4+)內(nèi)兩根，設(shè)f

16、(x)x(47p)x(2p)，所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>43。結(jié)合以上，所以43<p<?！咀ⅰ?本題利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問題。一般地，當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時可以考慮應(yīng)用了“判別式法”，其中特別要注意解的范圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識都在本題進(jìn)行了綜合運(yùn)用。例4. 設(shè)a、b是兩個實(shí)數(shù)，A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，討論是否，使得AB與(a,b)C同時成立

17、。(85年高考)【分析】集合A、B都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b，使得AB”的含意就是“存在a、b使得nab3n15(nZ)有解（AB時xnm）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線L的距離12。【解】 由AB得：nab3n15 ;設(shè)動點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，所以圓心到直線距離d3()12 n為整數(shù) 上式不能取等號，故a、b不存在?！咀ⅰ?集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集（即曲線），而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了

18、對有公共點(diǎn)問題的恰當(dāng)處理方法。本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：由AB得：nab3n15 ,即b3n15an （式）；由(a,b)C得，ab144 （式）；把式代入式，得關(guān)于a的不等式：(1n)a2n(3n15)a(3n15)1440 （式）,它的判別式4n(3n15)4(1n)(3n15)14436(n3)因?yàn)閚是整數(shù)，所以n30,因而<0，又因?yàn)?n>0,故式不可能有實(shí)數(shù)解。所以不存在a、b，使得AB與(a,b)C同時成立、鞏固性題組：1. 已知5x12y60，則的最小值是_。A. B. C. D. 12. 已知集合P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若PQ，則b的取值

19、范圍是_。A. |b|<3 B. |b|3 C. 3b3 D. 3<b<33. 方程2x2x1的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是_。A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不對4. 方程x10sinx的實(shí)根的個數(shù)是_。5. 若不等式m>|x1|x1|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_。6. 設(shè)zcos且|z|1,那么argz的取值范圍是_。7. 若方程x3ax2a0的一個根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。8. sin20°cos80°sin20°·cos80°_。9. 解不等式： >bx10. 設(shè)Ax|<

20、;1x<3，又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組的解集，試確定a、b的取值范圍，使得AB。 （90年高考副題）11. 定義域內(nèi)不等式xa恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。12. 已知函數(shù)y，求函數(shù)的最小值及此時x的值。13. 已知zC，且|z|1，求|(z1)(z)|的最大值。14. 若方程lg(kx)2lg(x1)只有一個實(shí)數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。二、分類討論思想方法在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)

21、分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面： 問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。 問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。 解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

22、另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。、再現(xiàn)性題組：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范

23、圍是_。A. 0a1 B. a1 C. a<1 D. 0<a<12.若a>0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，則p、q的大小關(guān)系是_。A. pq B. p<q C. p>q D.當(dāng)a>1時，p>q；當(dāng)0<a<1時，p<q3.函數(shù)y的值域是_。4.若(0, )，則的值為_。A. 1或1 B. 0或1 C. 0或1 D. 0或1或15.函數(shù)yx的值域是_。A. 2,+) B. (-,-22,+) C. (-,+) D. -2,26.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為_。A. B. C. D. 或

24、7.過點(diǎn)P(2,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_。A. 3x2y0 B. xy50 C. 3x2y0或xy50 D.不能確定【簡解】1小題：對參數(shù)a分a>0、a0、a<0三種情況討論，選B；2小題：對底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選C；3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0；4小題：分、0<<、<<三種情況，選D；5小題：分x>0、x<0兩種情況，選B；6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。、示范性題組：例1. 設(shè)0

25、<x<1，a>0且a1，比較|log(1x)|與|log(1x)|的大小。【分析】 比較對數(shù)大小，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論。【解】 0<x<1 0<1x<1 , 1x>1 當(dāng)0<a<1時，log(1x)>0，log(1x)<0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x)log(1x)log(1x)>0; 當(dāng)a>1時，log(1x)<0，log(1x)>0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)&g

26、t;0；由、可知，|log(1x)|>|log(1x)|。【注】本題要求對對數(shù)函數(shù)ylogx的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>1時其是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時其是減函數(shù)。去絕對值時要判別符號，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。例2. 已知集合A和集合B各含有12個元素，AB含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： . CAB且C中含有3個元素； . CA 。【分析】 由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于A 元素；不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。【解】 C·CC·

27、CC·C1084【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即CC1084。例3. 設(shè)a是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項(xiàng)和。 . 證明： <lgS； .是否存在常數(shù)c>0，使得lg（Sc）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時，由于公式的要求，分q1和q1兩種情況。【解】 設(shè)a的公比q，則a>0，q>0 當(dāng)q1時，Sn

28、a，從而SSSna(n2)a(n1)aa<0； 當(dāng)q1時，S，從而SSSaq<0；由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。. 要使lg（Sc）成立，則必有(Sc)(Sc)(Sc),分兩種情況討論如下：當(dāng)q1時，Sna，則(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca<0當(dāng)q1時，S，則(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS<0 對數(shù)式無意義由上綜述，不存在常數(shù)c>0, 使得lg（Sc）成立?！咀ⅰ?本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問題為：證明&g

29、t;logS ，和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時，對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時按要求進(jìn)行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例4. 設(shè)函數(shù)f(x)ax2x2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 1 4 x 1 4 x【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解。【解】當(dāng)a>0時，f(x)a（x）2 或或 a1或<a<

30、;1或 即 a>；當(dāng)a<0時，解得；當(dāng)a0時，f(x)2x2, f(1)0，f(4)6， 不合題意由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a> ?！咀ⅰ勘绢}分兩級討論，先對決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時將對稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。例5. 解不等式>0 (a為常數(shù)，a)【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號和兩根4a、6a的大小，故對參數(shù)a分四種情況a>0、a0、<

31、a<0、a<分別加以討論。【解】 2a1>0時，a>； 4a<6a時，a>0 。 所以分以下四種情況討論：當(dāng)a>0時，(x4a)(x6a)>0，解得：x<4a或x>6a；當(dāng)a0時，x>0，解得：x0；當(dāng)<a<0時，(x4a)(x6a)>0，解得: x<6a或x>4a；當(dāng)a>時，(x4a)(x6a)<0，解得： 6a<x<4a 。綜上所述，當(dāng)a>0時，x<4a或x>6a；當(dāng)a0時，x0；當(dāng)<a<0時，x<6a或x>4a；當(dāng)a>時，

32、6a<x<4a ?！咀ⅰ?本題的關(guān)鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型。例6. 設(shè)a0,在復(fù)數(shù)集C中，解方程：z2|z|a 。 (90年全國高考)【分析】由已知z2|z|a和|z|R可以得到zR，即對z分實(shí)數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進(jìn)行討論求解?！窘狻?|z|R，由z2|z|a得：zR； z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)當(dāng)zR時，|z|2|z|a,解得：|z|1 z±(1)；當(dāng)z為純虛數(shù)時，設(shè)z±y (y>0)， y2ya 解得：y1± （0a1）由上可得，z

33、±(1)或±(1±)【注】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法（設(shè)zxy再代入原式得到一個方程組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對z分兩類討論則簡化了數(shù)學(xué)問題?！玖斫狻?設(shè)zxy，代入得 xy22xya； 當(dāng)y0時，x2|x|a，解得x±(1)，所以z±(1)；當(dāng)x0時，y2|y|a，解得y±(1±)，所以±(1±)。由上可得，z±(1)或±(1±)【注】此題屬于復(fù)數(shù)問題的標(biāo)準(zhǔn)解法，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy0而分x0和y0兩種情況進(jìn)行討論求解。實(shí)際上，每種情況中絕對值方程的求解，也

34、滲透了分類討論思想。例7. 在xoy平面上給定曲線y2x，設(shè)點(diǎn)A(a,0)，aR，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。 （本題難度0.40）【分析】 求兩點(diǎn)間距離的最小值問題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。【解】 設(shè)M(x,y)為曲線y2x上任意一點(diǎn)，則|MA|(xa)y(xa)2xx2(a1)xax(a1)(2a1)由于y2x限定x0，所以分以下情況討論：當(dāng)a10時，xa1取最小值，即|MA2a1；當(dāng)a1<0時，x0取最小值，即|MAa；綜上所述，有f(a) ?！咀ⅰ勘绢}解題的基本思路是先建立目

35、標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x0的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到df(a)的函數(shù)表達(dá)式。、鞏固性題組：1. 若log<1，則a的取值范圍是_。A. (0, ) B. (,1) C. (0, )(1,+) D. (,+)2. 非零實(shí)數(shù)a、b、c，則的值組成的集合是_。A. -4,4 B. 0,4 C. -4,0 D. -4,0,43. f(x)(ax)|3ax|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_。A.當(dāng)x2a時有最小值0 B.當(dāng)x3a時有最大值0C.無最大值，且無最小值 D.有最小值但無最大值4. 設(shè)f(x,y)0是橢圓方程，

36、f(x,y)0是直線方程，則方程f(x,y)f(x,y)0 （R）表示的曲線是_。 A.只能是橢圓 B.橢圓或直線 C.橢圓或一點(diǎn) D.還有上述外的其它情況5. 函數(shù)f(x)ax2ax2b (a0)在閉區(qū)間2,3上有最大值5，最小值2，則a、b的值為_。 A. a1,b0 B. a1，b0或a1,b3 C. a1，b3 D. 以上答案均不正確6.方程(xx1)1的整數(shù)解的個數(shù)是_。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 57. 到空間不共面的4個點(diǎn)距離相等的平面的個數(shù)是_。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 48.zC，方程z3|z|20的解的個數(shù)是_。A. 2 B. 3 C. 4 D. 59

37、.復(fù)數(shù)zaa (a0)的輻角主值是_。10.解關(guān)于x的不等式： 2log(2x1)>log(xa) (a>0且a1)11.設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q (q>0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，又設(shè)T，求T 。12. 若復(fù)數(shù)z、z、z在復(fù)平面上所對應(yīng)三點(diǎn)A、B、C組成直角三角形，且|z|2，求z 。13. 有卡片9張，將0、1、2、8這9個數(shù)字分別寫在每張卡片上?，F(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù)，若6可以當(dāng)作9用，問可組成多少個不同的三位數(shù)。14. 函數(shù)f(x)(|m|1)x2(m1)x1的圖像與x軸只有一個公共點(diǎn)，求參數(shù)m的值及交點(diǎn)坐標(biāo)。三、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去

38、分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)y0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列

39、方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼

40、的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識涉及的知識點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。、

41、再現(xiàn)性題組：1.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函數(shù)f(x)xbxc對于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)3.已知函數(shù)yf(x)有反函數(shù)，則方程f(x)a (a是常數(shù)) _。A.有且僅有一個實(shí)根 B.至多一個實(shí)根 C.至少一個實(shí)根 D.不同于以上結(jié)論4.已知sincos，(，)，則tg的值是_。A. B. C. D.

42、 5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且SS (pq，p、qN)，則S_。6.關(guān)于x的方程sinxcosxa0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為_。8. 建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為_?！竞喗狻?小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個數(shù)（特值法或代入法），選C；2小題：函數(shù)f(x)的對稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；4小題：設(shè)tgx (x>0），則，解出x2，再用萬能公式，選A；5小題：

43、利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0；6小題：設(shè)cosxt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；7小題：設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；8小題：設(shè)長x，則寬，造價(jià)y4×1204x×80×801760，答案：1760。、示范性題組：例1. 設(shè)a>0，a1，試求方程log(xak)log(xa)有實(shí)數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)【分析】由換底公式進(jìn)行換底后出現(xiàn)同底，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程組，分離參數(shù)后分析式子特點(diǎn)，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解?！窘狻?

44、將原方程化為：log(xak)log， 等價(jià)于 （a>0,a1） k ( |>1 ）, 設(shè)csc， (,0)(0, )，則 kf()csc|ctg|當(dāng)(,0)時，f()cscctgctg<1，故k<1；當(dāng)(0, )時，f()cscctgtg(0,1)，故0<k<1；綜上所述，k的取值范圍是：k<1或0<k<1。 y C C -ak -a a x 【注】 求參數(shù)的范圍，分離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問題，觀察所求函數(shù)式，引入新的變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，在進(jìn)行三角換元時，要注意新的變量的范圍。一般地，此種思路可以解決有關(guān)不等式、方程、最大值和

45、最小值、參數(shù)范圍之類的問題。本題還用到了分離參數(shù)法、三角換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法。另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”： 將原方程化為：log(xak)log，等價(jià)于xak (xak>0)，設(shè)曲線C：yxak，曲線C：y (y>0)，如圖所示。由圖可知，當(dāng)ak>a或a<ak<0時曲線C與C有交點(diǎn)，即方程有實(shí)解。所以k的取值范圍是：k<1或0<k<1。還有一種思路是直接解出方程的根，然后對方程的根進(jìn)行討論，具體過程是：原方程等價(jià)變形為后，解得：，所以>ak，即k>0，通分得<0，解得k<1或0<k<1。所

46、以k的取值范圍是：k<1或0<k<1。例2. 設(shè)不等式2x1>m(x1)對滿足|m|2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍?！痉治觥?此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負(fù)值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件?！窘狻繂栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2 恒成立，設(shè)f(m)(x1)m(2x1),則 解得x（,）【注

47、】 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)的解集是-2,2時求m的值、關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)在-2,2上恒成立時求m的范圍。一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化?；蛘吆袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。例3. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)的和為S，已知a12，S>0，S<0 。.求公差d的取值范圍； .指出S、S、S中哪一個值最大，并說明理由。(92年全國高

48、考)【分析】 問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題?！窘狻?由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：<d<3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因?yàn)閐<0，故n(5)最小時，S最大。由<d<3得6<(5)<6.5，故正整數(shù)n6時n(5)最小，所以S最大?！咀ⅰ?數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義

49、在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進(jìn)行算式化，從而簡潔明快。由次可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>>a，由S13a<0得a<0，由S6(aa)>0得a>0。所以，在S、S、S中，S的值最大。例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和A

50、C的距離?！痉治觥?異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一點(diǎn)M，作MDAC于D，MHAB于H，設(shè)MHx，則MH平面ABC，ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當(dāng)x時，MD取最小值為兩異面直線的距離?！咀ⅰ?本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實(shí)際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)

51、系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進(jìn)行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。例5. 已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC2，又知頂點(diǎn)C的對邊c上的高等于4,求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角?！痉治觥恳阎艘粋€積式，考慮能否由其它已知得到一個和式，再用方程思想求解?！窘狻?由A、B、C成等差數(shù)列，可得B60°；由ABC中tgAtgBtgCtgA·tgB·tgC，得tgAtgCtgB(tgA·tgC1) (1)設(shè)tgA、tgC是方程x(3)x20的兩根，解得x1，x2設(shè)A<C，則tgA1，tgC2， A，C由此容易得到a8，b4，c44?！咀ⅰ勘绢}的解答關(guān)鍵是利用“ABC中tgAtgBtgCtgA·tgB·tgC”這一條性質(zhì)得到tgAtgC，從而設(shè)立方程求出tgA和tgC的值，使問題得到解決。