高中數(shù)學數(shù)列中的常見錯誤素材新人教A版必修5

1、1數(shù)列中的易錯問題分析一、數(shù)列基礎知識上的常見錯誤在數(shù)列概念考察上常見題型有：(1)已知 an與 Sn的關系，求通項 an，% = F =1注意分清 n =1 與 n 啟 2 兩種情況的討論。S丄,n亠2形如 an+i-an=f(n)的遞推數(shù)列可用迭代法或累加法，求通項 ana形如 也=f(n)的遞推數(shù)列可用累乘法，求通項 anan形如 an+i二 kan的遞推數(shù)列可構造等差或等比數(shù)列求通項an(一)概念理解錯誤例題 1 :兩個數(shù)列gj與bn?的前n項和分別為Sn,Tn，且Sn:Tn=(5n 13): (4n5)，則印。：0。=()易錯警示：Sn=(5n，13)k,Tn=(4n 5)k則an=

2、Sn-Sn=5k,bn=Tn-人丄=4k所以a10:bw=4:3,故選 C,從 &：=(5n 13): (4n 5)可知，比值 &: (5n - 13)=Tn:(4n 5)隨著項數(shù)n的變化而變化，不能設為常數(shù) k，這里忽略了項數(shù)n的可變性而致錯。解析：設Sn=(5n 13)nk,Tn=(4n 5)nk，貝Uan= Sn-Snj = (10n 8)kbn=Tn-Tn4、=(8n1)k，其中2an:bn=(10n 8):(8n 1)所以a10: b10=4:3，故選 D。例題2:已知等差數(shù)列 訂鳥的前 m 項，前 2m 項，前 3m 項的和分別為Sm.S2m.S3m， 若Sm=30

3、.S2m=90，求Ssm。易錯警示：由a,為等差數(shù)列，得出Sm.S2m.S3m為等差數(shù)列的結論是錯誤的。解析：設數(shù)列的公差為 d，則Sm -a1a2a3amS2m= aia2a3am am 1 a2m2S3m= aia2a3 . a2m a2m 1 a3mm1、5=(4 2)m3m -1、S?m-Sm- (ai2 ) m5m -1、S3m -S2m= (ai2)m所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m是公差為md的等差數(shù)列,所以 2 S2m- Sm= Sm S3m- S2m即2 (90 -30) =30 &m-90S3m= 180（二）公式應用錯誤 例題 3:已知數(shù)列,a1=1,an1

4、-an=2n，求數(shù)列aj的通項公式。易錯警示：錯因一：知識殘缺，忽視 n=1 時的檢驗。錯因二：未明確規(guī)律，累加時誤認為是 n 個式子相加而導致求和錯誤解析：由a- -a.=2n得a?- a1= 2a3_ a?= 2a4 _a3二n 4an _an 4、=2將這 n-1 個式子相加，得an-a22223-2心an =2n-1，當 n=1 時，此式子仍舊成立。所以通項公式為.an=2n-1。例題 4：已知數(shù)列的前項和為Sn，Sn=3n-2求數(shù)列V的通項公式 易錯警示:在利用公式an二Sn- Sn/解題時一定要注意只有 n 2 時才能成立，當3n=1 要單獨驗證，這一點易被忽視，從而得出al3n-

5、錯誤結論解析：當 n=1，ai= S=1當 n _2 時an-S =3n-2 -（3心-2） =2J3n，由于ai=1不適合上式，因此數(shù)列aj 的通項公式為a|1（niJ1）（三）審題不細例題 5：在等差數(shù)列匕奩中，an=3n-31，記b忸|，求數(shù)列 g 的前 30 項和。 易錯警示：這里易錯點是 怕昇也為等差數(shù)列，而解題的關鍵是絕對值號內(nèi)的an的 正負號進行討論，當 n10 時，an 0, n_11時，an00解析:S30 =| | | a21 |a31 | a30|1 oa a2(四)用特殊代一般例題 5:求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,. (2 n -1)an,.(a=0)的前 n 項和

6、。易錯警示：由于an=(2n -1)anJ(n N*)，Sn =13a 5a27a3. (2n -3)an，(2n -1)anJaSn =a 3a25a3a4. . . . . n-(卸一3 )n- a(n21 )兩式相減得(1 -a)Sn= 1 2a 2a2- 2a3.2anJ-(2n -1)an-(2 n -1)an-1解析：上述解法只適合的情形，事實上，當 a=1 時Sn-1 3 5 7 . (2 n - 3) (2 n -1)2_3n(n _2)2a011a3_1 -a24n (1+2 1)2=n21 _an(2n _ 1)an+1吐1 j2L2 ,a式1所以sn=1 時,a* =Sn

7、_Sn4 2n -1當n=1時也適合上式所以a*= 2n -1f (x)二x 3x25x3. (2 n - 1)xn(1)當 n 為正偶數(shù)時f(-1) - -13-5 7-9 11-. 2n-1 = nfg)=2 3(1)25(2)37(2)4(2n -3)(1)nJ(2n1)g)n2f(233)電個)?5( ) .n. 2 n3)()；(2 1)()111_1213141 J1卄(1)f( )2 (；)()()()-(2n-1)()222222 22即f(2=21 (2(1)2(1)3-例題 2:已知數(shù)列faj是遞增數(shù)列且an二n2n，求實數(shù)的取值范圍易錯警示：因為a*二n2 n為 n 的二

8、次函數(shù)，它的對稱軸方程為n =，所以 若使數(shù)列為遞增數(shù)列，則必須使1，即得 _ -2。本題的陷阱“在1，2 2它只是數(shù)列為遞增數(shù)列的充分條件， 并非為必要條件，所以解此題用此法是錯誤 的。解析：因為數(shù)列 f 是遞增數(shù)列所以 an：an1對所有的正整數(shù)都成立。即n2 n-(2 n+1)21F(3f26又因為 n N*所以-3例題 3：已知數(shù)列為等差數(shù)列,log2(an-1)；(n N*)且a3,a9(1)求數(shù)列；Gn/的通項公式17易錯題分析：錯因一：Clog2（an-1）?是等差數(shù)列，只要知到首項與公差可知log2（an-1），學生對概念理解不透，往往只想求log2（an-1）的通項公式，而忽視 從三項入手。錯因二：設bn=log2（an-1），:bn!是等差數(shù)列，由題意得 0,鳥，而不是b1,b2，此處容易發(fā)生審題錯誤，以為求的是b1,b2解析：（1）設，則fbn?是等差數(shù)列，所以心昇是以 1 為首項，以 1 為公差的等差數(shù)列 bn二n即log2（an-1