理論力學(xué)簡明教程復(fù)習(xí)題題庫物理專業(yè)用

1、理論力學(xué)復(fù)習(xí)題 計(jì)算題題庫第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)M處其速度為 ，加速度與速度夾角，且。求軌跡在該點(diǎn)密切面內(nèi)的曲率半徑和切向加速度。答：由已知條件得 法向加速度則曲率半徑 切向加速度 一點(diǎn)向由靜止開始作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，試證明點(diǎn)的全加速度和切向加速度的夾角與其經(jīng)過的那段圓弧對應(yīng)的圓心角之間有如下關(guān)系證明：設(shè)點(diǎn)M沿半徑為R的圓作圓周運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻走過的路程為AM=s，速度為，對應(yīng)的圓心角為。由題設(shè)條件知C為常數(shù) 積分(b)式得 所以將（c）式代入（a），并考慮，所以質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為 求t=1秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)速度、切向加速度、法向加速度的大小。解：由于 所以有又： 則點(diǎn)M沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。

2、如果為已知常數(shù)），以初始位置為原點(diǎn)，原點(diǎn)初速度為。求點(diǎn)的弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程及點(diǎn)的速度減少一半時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間。解：設(shè)點(diǎn)的初始位置為A。依題意積分上式 得則弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)時(shí)一質(zhì)點(diǎn)沿圓滾線的弧線運(yùn)動(dòng)，如為常數(shù)，則其加速度亦為一常數(shù)，試證明之。式中為圓滾線某點(diǎn)P上的切線與水平線（x軸）所成的角度，s為P點(diǎn)與曲線最低點(diǎn)之間的曲線弧長。解：因 故式中=常量（題設(shè)）又 而所以故=常數(shù) 結(jié)論得證設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線運(yùn)動(dòng)，試求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度和軌道的曲率半徑。解：因故所以又所以又所以而小環(huán)的質(zhì)量為m。套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為，試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度及小環(huán)在此時(shí)所受到的

3、約束反作用力。解：小環(huán)受力如圖示，重力豎直向下，約束力的方向沿著拋物線的法線小環(huán)在任意位置P處的運(yùn)動(dòng)微分方程為因 而 （s增大而y減小故為負(fù)值）（1）式變?yōu)?即積分得（因）此即小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度。又 則在拋物線頂點(diǎn)處所以在拋物線頂點(diǎn)處由（2）式知 （因在頂點(diǎn)處）小環(huán)在頂點(diǎn)處所受到的約束反作用力為。質(zhì)點(diǎn)所受的力如恒通過一定點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)必在一平面上運(yùn)動(dòng)，試證明之。證明：取力通過的定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的位矢與力共線，則有所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒，即其分量式為由得到由解析幾何知識知上式為一平面方程，故質(zhì)點(diǎn)只能在這個(gè)平面上運(yùn)動(dòng)。一物體質(zhì)量m=10kg ,在變力作用下運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體初速度

4、，開始時(shí)力的方向與速度方向相同。問經(jīng)過多長時(shí)間后物體速度為零，此前走了多少路程？（知識要點(diǎn)）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題解答：由 得 積分得 再積分 得 由 解得 再代入前式得 S=7.07 m質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常數(shù)，試證明速度矢量與加速度矢量正交。證明：采用自然坐標(biāo)系，由題意知 c為常量于是有又在自然坐標(biāo)系中所以由于 故 得證動(dòng)點(diǎn)M以勻速沿軌跡運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的速度沿x和y分量的大小，以及M的加速度解：由根據(jù)求導(dǎo)數(shù)得而時(shí)（2）代入（1）得整理得代入（2）得又 則即又由數(shù)學(xué)知識知 而根據(jù)微分得 當(dāng) 時(shí)所以有故某力場的力矢為 其中分別為x,y,z軸的單位矢，試證明該力場是

5、否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。解： +故力場為保守力場。由 （1） 式積分得：對（4）式求偏導(dǎo)數(shù)得： 即上式得： 代入（4）式得：對（5）式求偏導(dǎo)數(shù)得：即 積分得：代入（5）式得： 取 則所以勢能函數(shù)為 某力場的力矢為試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。解：故力場為保守力場。由 對（1）式積分得：對（4）式求偏導(dǎo)數(shù)得：即上式得： 代入（4）式得：對（5）式求偏導(dǎo)數(shù)得：即 積分得：代入（5）式得：取 則所以勢能函數(shù)為已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力為式上系數(shù)都是常數(shù)，問這些滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿足，試計(jì)算其勢能。解：要滿足勢能存在須使力場為保守力場，既力

6、場的旋度為零，所以即 即勢能存在滿足條件是： 由（1）式積分得（4）式對y偏微分=（2）式得即（5）式積分得（6）式代入（4）式得（7）式對z偏微分=（3）式得即（8）式積分得（9）式代入（4）式得取 則得勢能為某力場的力矢為試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。解：由于故力場為保守力場由 積分（1）式得（4）式對y偏微分=（2）式得 積分得代（5）入（4）得（6）式對z偏微分=（3）式得 積分得代（7）入（6）得取 則得勢能函數(shù)為有一質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受到的力為，質(zhì)點(diǎn)在平面上由點(diǎn)A（1,0）沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（1,1）,求力所作的功解法1：由功的定義計(jì)算又所以解法2

7、：由功的定義計(jì)算或解法3：由保守力性質(zhì)計(jì)算故力場為保守力場積分（1）式得（4）式對y偏微分=（2）式得 積分得代（5）入（4）得取 則得勢能函數(shù)為則由保守力與功的關(guān)系可知設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力場的力矢為求此質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線運(yùn)行，自至?xí)r力場所作的功解：由保守力性質(zhì)計(jì)算故力場為保守力場積分（1）式得（4）式對y偏微分=（2）式得 積分得代（5）入（4）得（6）式對z偏微分=（3）式得 積分得代（7）入（6）得取 則得勢能函數(shù)為又由知當(dāng)時(shí)；時(shí)則由保守力與功的關(guān)系可知有一劃平面曲線的點(diǎn)，其速度在y軸上的投影于任何時(shí)刻均為常數(shù)c，試證明在此情形下，加速度的量值可用下式表示證明1：由 （1）式求導(dǎo)得 （因，故）

8、由此得出 又（2）=（3）得整理得 結(jié)論得證證明2： 如圖設(shè)v與y軸夾角為，則由，故有由圖示幾何關(guān)系知 即又 則有（2）代入（1）得 結(jié)論得證33、船得一初速 ，在運(yùn)動(dòng)中受到水的阻力，阻力的大小與船速的平方成正比，而比例系數(shù)為，其中為船的質(zhì)量。問經(jīng)歷多長時(shí)間船速減為其初速的一半。（15分）解：由題意知 阻力為 則船的運(yùn)動(dòng)方程為 即 而時(shí) 設(shè)船經(jīng)歷時(shí)間為時(shí)， 積分上式得 即從而得質(zhì)點(diǎn)M在力的作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，在初瞬時(shí)，。 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解：由 積分 ，得 即 積分 得 已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程, 求其軌跡方程, 并自起始位置計(jì)算弧長,求出點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.(1) x=4t-2t2 , y=3

9、t1.5t2(2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2(3) x=4cos2t, y=3sin2t解（1）由x=4t-2t2 , y=3t1.5t2.（1）兩式相除得所以軌跡方程為是一直線方程得所以速度為全加速度為而切線加速度為，法線加速度由此說明質(zhì)點(diǎn)作勻減速直線運(yùn)動(dòng)。（2） 由x=5cos5t2 , y=5sin5t2.（1）得軌跡方程為是一圓的方程，其半徑R=5由（1）式得所以速度為切線加速度為 說明質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)法線加速度為全加速度為（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t.（1）得軌跡方程為為一橢圓方程由（1）式得所以速度為全加速度為如圖6 -1 所示, 半徑為R

10、的車輪在直線軌道上滾動(dòng)而不滑動(dòng), 已知輪心C 的速度是常量u , 求輪緣上一點(diǎn)M 的軌跡, 速度和加速度及軌跡的曲率半徑.圖6-1解 將M點(diǎn)與地面的接觸時(shí)的位置作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O , 并建立直角坐標(biāo)系如圖所示, 經(jīng)過時(shí)間t, M 點(diǎn)的坐標(biāo)為: x = ut - Rsiny = R - Rcos因輪純滾動(dòng), 線段O D 與弧長D M 相等,整理后得運(yùn)動(dòng)方程為 從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t 后, 得軌跡方程為: .即M 點(diǎn)的軌跡為旋輪線(或擺線) , 速度在x , y 軸上的投影、大小及方向余弦分別為M 點(diǎn)的加速度在x , y 軸上的投影、大小及方向余弦分別為即各點(diǎn)加速度指向輪心又而,由此可求得:

11、證明題證明：質(zhì)量為m的質(zhì)量從圓的最高點(diǎn)O由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間相同。證明：考慮質(zhì)點(diǎn)在任意一條與過圓心的鉛垂線夾角為q 的弦上的運(yùn)動(dòng)，則在任意位置的受力如圖所示。沿弦的方向用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程得質(zhì)點(diǎn)加速度 ，即質(zhì)點(diǎn)作勻加速運(yùn)動(dòng)?？紤]到初始條件，不難求得其運(yùn)動(dòng)方程為又弦長（從圓頂點(diǎn)滑到圓周上的路程）為質(zhì)量為m的質(zhì)量從圓的最高點(diǎn)O由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間 ，與無關(guān)，故質(zhì)量為m的質(zhì)量從圓的最高點(diǎn)O由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間相同。證畢。重為P的小球位于半徑為r的光滑球面頂點(diǎn)，小球從靜止開始下滑，求小球脫離球面的位置。解：小球運(yùn)動(dòng)過程中受力

12、為重力和支持力，只有重力作功，機(jī)械能守恒。設(shè)球面頂點(diǎn)處為零勢能面由機(jī)械能守恒定律有故小球在法向方向運(yùn)動(dòng)微分方程為小球脫離球面時(shí)N=0，所以有（1）代入（2）式有整理有又由幾何關(guān)系知 （h為自球面頂點(diǎn)起下降高度）得討論：由以上結(jié)論知小球脫離球面位置與小球（質(zhì)量）無關(guān)，當(dāng)球面不光滑時(shí)與小球（質(zhì)量）有關(guān)?？傻玫竭\(yùn)動(dòng)軌道方程是，此為圓的極坐標(biāo)方程，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為以a為半徑的圓。第二章質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身及炮車質(zhì)量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度，炮彈對炮身的相對速度為V，試求炮彈離炮身時(shí)對地面的速度及炮車反沖的速度U。解：由于在水平方向（x

13、方向）無外力作用，火藥爆炸力為內(nèi)力，故水平方向動(dòng)量守恒 即又由相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系知（2）代入（1）得所以如設(shè)與水平面夾角為，則討論：由（4）式知炮車反沖時(shí)，由（5）式知重G的物體A帶動(dòng)單位長度的質(zhì)量為q的軟鏈，以速度向上拋出，如圖示。假定軟鏈有足夠的長度，求重物所能達(dá)到的最大高度。解：取OZ軸鉛直向上，O點(diǎn)位于地面。將在空中運(yùn)動(dòng)的鏈條的物體A視為主體。則并入主體的質(zhì)量元（原先靜止于地面）的絕對速度 于是密歇爾斯基方程為因，代入（1）式得用乘上式兩端得已知初始條件為時(shí)， 所以積分上式得 當(dāng)時(shí)，上升高度正好就是最大值 即某質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程用矢量式可表達(dá)為 ，式中：為質(zhì)點(diǎn)的矢徑，分別為的單位矢。

14、試求：（1） 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、動(dòng)量及對坐標(biāo)原點(diǎn)O的動(dòng)量矩。（2） 質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)A（a,b,c）的動(dòng)量矩。（3） 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力及力的功率。解：（1）動(dòng)能 動(dòng)量 動(dòng)量矩（4） 動(dòng)量矩（5） 力 功率一人在水平臺上走動(dòng)，此臺可通過其中心的鉛直軸而旋轉(zhuǎn)，人走的軌跡是以平臺中心為圓心，r為半徑的圓周，假定人重為p，平臺重也為p，其半徑也為r，試求當(dāng)人在平臺上走完一周時(shí)平臺轉(zhuǎn)過的角度。解：以作平臺為質(zhì)點(diǎn)系，受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。假設(shè)平臺與轉(zhuǎn)軸接觸面光滑無摩擦，故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)， 在某時(shí)刻人相對于平臺的速度為u，平臺的角速度為，則人的絕對速度為 人的動(dòng)量矩為： 方向沿轉(zhuǎn)

15、軸方向。平臺動(dòng)量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動(dòng)量矩守恒定律得： 又 即 積分得：故32、一均質(zhì)木板放在光滑的水平面上，板的一端站著一個(gè)人。在某一時(shí)刻，人以不變的速度u向x軸正向運(yùn)動(dòng)。設(shè)板的質(zhì)量為m1，人的質(zhì)量為m2。試求t秒鐘后，人的絕對速度v與位移以及板的絕對速度v1與位移。解：以人和板為研究對象。系統(tǒng)受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面對板的正壓力FN。以上受力均在豎直方向，所以水平方向受力為零，則動(dòng)量守恒。 在初始時(shí)刻t=0，人和板都靜止，動(dòng)量pax=0，任意時(shí)刻t，設(shè)板的絕對速度v1沿x軸正向，則由點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)可知，人的絕對速度為v=v1+u。 由動(dòng)量守恒定律得：m1v1+m2(

16、v1+u)=0解此方程得 負(fù)號表示板的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正向相反。由此得人的絕對速度為 正號表示人的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正向相同因u與v都是常量，故人和板的位移分別為設(shè)矢量在笛卡兒坐標(biāo)系中的投影為，證明并求使的函數(shù)解：（1） （2）（3）由可知?jiǎng)莺瘮?shù)必存在，由故 積分（1）式得代（4）入（2）得 積分得代（5）入（4）得代（6）入（3）得 積分得代（7）入（6）得m1m2v1v2r質(zhì)量為及的兩自由質(zhì)點(diǎn)互相以引力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離的平方成反比，比例常數(shù)為，開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)皆處于靜止?fàn)顟B(tài)，其間距離為a，試求兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。 解法1：用機(jī)械能守恒定律求解令質(zhì)量為自由質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)量

17、為的自由質(zhì)點(diǎn)速度為，則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故方向相反，取方向?yàn)檎较蛉鐖D示由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，故動(dòng)量守恒有兩質(zhì)點(diǎn)間的相互吸引力為萬有引力是保守力由保守力性質(zhì)得勢能為式中是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。由機(jī)械能守恒定律即解（1）（2）式得 解法2：用動(dòng)能定理求解令質(zhì)量為自由質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)量為的自由質(zhì)點(diǎn)速度為，則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故方向相反，取方向?yàn)檎较蛉鐖D示由得積分上式得由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，故動(dòng)量守恒有解（1）（2）式得 解法3：用兩體問題方法求解由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用可視為兩體問題由兩體問題運(yùn)動(dòng)方程得又代入（1）式有積分得由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)，原來質(zhì)心靜止，故由得又根據(jù)速度合成方法知解（

18、2）（3）（4）式得 為負(fù)值表明與方向相反如圖示，一長為的均質(zhì)鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為，某人持鏈條一端以勻速將其提高，試證：當(dāng)他的手離開水平面的高度為時(shí)（），鏈條對手的作用力大小為解法1：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解取鏈條整體為研究對象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力，拉力和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得 式中為質(zhì)心的加速度。上式在x軸上的投影式為由于鏈條的質(zhì)心坐標(biāo)為則有代入投影式得所以解法2：用動(dòng)量定理求解取鏈條整體為研究對象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力，拉力和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力鏈條整體的總動(dòng)量在豎直方向分量為整體所受的外力有重力，拉力和水平面對靜止

19、的那部分鏈條的支持力上式在x軸上的投影式為由動(dòng)量定理得解法3：用變質(zhì)量問題方法求解如圖示，取已上升部分為主體，其質(zhì)量為，速度為，不斷增加部分為變體，其速度，主體和變體所受合外力為由密歇爾斯基方程得 即故圓環(huán)質(zhì)量為M，放在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m的小蟲在圓環(huán)上爬行，如圖示，求證：小蟲在圓環(huán)上相對地爬行一周時(shí)，圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角度不超過180°。設(shè)初始時(shí)系統(tǒng)靜止。另正解：以小蟲+圓環(huán)為質(zhì)點(diǎn)系，圓環(huán)圓心為參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)， 在某時(shí)刻小蟲相對于圓環(huán)的速度為u，圓環(huán)的角速度為，則小蟲的絕對速度為 小蟲的動(dòng)量矩為： 方向沿

20、轉(zhuǎn)軸方向。圓環(huán)動(dòng)量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動(dòng)量矩守恒定律得： 有又 即 積分得：假設(shè)小蟲和圓環(huán)質(zhì)量相等 M=m 故假設(shè)M=2m故一般 故一光滑球A與另一靜止的光滑球B發(fā)生斜碰，如兩球均為完全彈性體，且兩球質(zhì)量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。證明：設(shè)兩球質(zhì)量為，光滑球A碰前速度矢量為，光滑球B碰前速度矢量為0，A和B碰撞后的速度的速度矢量為由于兩球碰撞過程中動(dòng)量守恒有又兩球?yàn)橥耆珡椥泽w動(dòng)能守恒有（1） 式代入（2）式有整理上式得，由于所以欲使兩矢量的乘積為零，只有兩矢量互相垂直即 結(jié)論得證有三個(gè)完全彈性的小球,質(zhì)量分別為m1、m2、及m3，靜止于一直線上，今于第一球上加上的速度，

21、其方向沿此直線，設(shè)m1、m3及為已知，求第二球的速度為何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：設(shè)第一、第二球碰撞后第一球的速度為，第二球的速度為則由速度公式得 而 故又設(shè)第三、第二球碰撞后第三球的速度為 已知 則由速度公式得欲使第三球的速度最大，須有即 所以有時(shí)第三球的速度最大。一條柔軟、無彈性、質(zhì)量均勻的繩子，豎直的自高處墜落至地板上，如繩子的長度為，每單位長度的質(zhì)量等于，求當(dāng)繩子剩在空中的長度為時(shí)，繩子的速度及它對地板的壓力。設(shè)開始時(shí)繩子的速度為零，它的下端離地面的高度為。解法1：用自由落體公式和動(dòng)量定理求解 當(dāng)繩子的上端離地面的高度為時(shí)，由自由落體公式知繩子的速度為地板對繩子的作用

22、力有兩部分，其一為與已經(jīng)落地的繩子的重力大小相等，方向相反，設(shè)為， 其二是即將落地的繩子對地板的沖力，設(shè)為設(shè)在時(shí)間內(nèi)落地的繩子的質(zhì)量為，該質(zhì)量元的動(dòng)量為，該質(zhì)量元一經(jīng)落地動(dòng)量即變?yōu)榱?。?dòng)量的變化為由動(dòng)量定理得 （此處忽略重力） 所以總的壓力為解法2：用變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程求解當(dāng)繩子的上端離地面的高度為時(shí)，由自由落體公式知繩子的速度為取已落地部分為主體，其質(zhì)量為速度為不斷落地部分為變體，（）其速度為 主體和變體受力為方向向上由密歇爾斯基方程得即所以長L的均勻細(xì)鏈條伸直平放水平光滑桌面上，方向與桌面邊緣垂直（圖）。開始時(shí)鏈條靜止，一半從桌上下垂，求鏈條末端滑到桌子邊緣時(shí)鏈條的速度v。 解：如圖選取

23、坐標(biāo)系，以下垂段為研究對象。方法一：用變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程求解 以長為x的 一段和x的一段分別作m和dm，m=x，速度為，dm=dx, dx段合并于x段的速度 （x段的速度）,作用于它們的合外力為重力 和桌面上的一段對它的拉力T。由密歇爾斯基方程得 u=v， （1） 設(shè)線質(zhì)量密度，取桌面上為主體，其質(zhì)量，速度為，不斷減少部分為變體，速度 （x段的速度），作用于它們的合外力為桌面上的一段對它的拉力T，由密歇爾斯基方程得 （2） 將（2）代入（1），并注意m=x， ，可得 ，積分： ，求出 方法二：用機(jī)械能守恒定律求解 以下垂的一段為研究對象，以桌面為零勢能位置，則由機(jī)械能守恒： 其中： ； ，

24、由此得 雨滴開始自由落下時(shí)的質(zhì)量為M，單位時(shí)間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水汽質(zhì)量為，略去空氣阻力，試求雨滴在t時(shí)間后所下落的距離。解：以豎直向下為正方向，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為m=M+t，速度為v，增加的水汽為變體，質(zhì)量為dm=dt, 速度為u=0,作用于其的合外力為雨滴的重力由密歇爾斯基方程得積分（1）式得因t=0時(shí)v=0,故c=0所以積分（3）式得因t=0時(shí)s=0,故所以這就是雨滴在t時(shí)間后所下落的距離討論：由上式知說明雨滴在t時(shí)間后所下落的距離小于自由落體在同等時(shí)間內(nèi)下落的距離。雨滴下落時(shí)其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比，試求雨滴下落速度與時(shí)間的關(guān)系解：以豎直向下為正方向，設(shè)起始時(shí)刻（

25、t=0）雨滴半徑為a，某時(shí)刻雨滴半徑為r，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為，速度為v不斷增加的水汽為變體，質(zhì)量為 速度為u=0,作用于其的合外力為雨滴的重力（1） 式對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得（3）=（2）得積分（4）式得雨滴半徑變化規(guī)律是所以主體質(zhì)量為合外力為由密歇爾斯基方程得積分得說明雨滴在t時(shí)間后所達(dá)到的速度小于自由落體在同等時(shí)間內(nèi)達(dá)到的速度質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)M , 如圖10 -2 所示, 在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng), 其運(yùn)動(dòng)方程為: x=acoskt, y=bsin kt, 其中a , b , k 為正的常量, t 為時(shí)間. 求作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力圖10-2解此題為第一類問題. 其運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓由x = ac

26、oskt, y = bsin kt先求加速度= - ak2cos kt = - bk2sin kt由運(yùn)動(dòng)微分方程得Fx = m = - m ak2coskt = - k2 m xFy = m= - bk2sin kt = - k2 m y或F = Fxi+Fyj = - k2mr質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn), 在力F = - m k2r作用下沿平面繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng), 如圖10 -3 所示. 其中r是質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的矢徑, k為常數(shù). 設(shè)t=0時(shí)x=l, y=0 , vx=0 , vy= v0, O為坐標(biāo)原點(diǎn). 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程.圖10-3解 此題屬于第二類問題, 其直角坐標(biāo)形式的微分方程為其中Fx = -

27、 m k2 rcos= - m k2 xFy = - m k2 rsin= - m k2 y則其微分方程可改寫為: = - k2 x , = - k2 y,其通解為x = c1sin kt + c2 cos kty = c3sin kt + c4cos kt初始條件t= 0時(shí)x=l, y=0 , 􊉺=vx=0 , 􊉺=vy=v0可求得其積分常數(shù)分別為c1 = 0 , c2 = l, c3 =v0/k, c4 =0由此得運(yùn)動(dòng)方程為x = lcoskt, y =v0/ksin kt其軌跡方程為x2/l2 +k2 y2/v20= 1第三章剛體力學(xué)在直角坐標(biāo)系中，三

28、軸的單位矢為。物體的慣量張量為。設(shè)一轉(zhuǎn)軸通過上述直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，方向?yàn)?，那么物體對于該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？解：由于 于是物體對于該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為勻質(zhì)圓盤，半徑為，放在粗糙水平桌上，繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)的角速度為 。已知圓盤與桌面的摩擦系數(shù)為，問經(jīng)過多長時(shí)間后盤將靜止？解：當(dāng)角速度為常數(shù)時(shí)，則有；當(dāng)末角速度為零時(shí)，。則有（注意，并非t為負(fù)值）。作用于圓盤的反力矩的大小為由題意，圓盤的面密度為 ，代入上式定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為 已知圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為將（2）（4）代入（3）得 于是得代（5）入（1）得如圖示，一直角三角形薄板，兩個(gè)直角邊的長度分別為a、b，試求該板的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。解

29、：因該板的z坐標(biāo)為零，故 慣性積三角形斜邊的方程為 即取質(zhì)量元如圖示，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同理有同時(shí)由垂直軸定理還可求得慣性積為有一質(zhì)量為m、邊長為a的正方形薄板，試求其過一頂點(diǎn)A且與對角線DB平行的軸AF的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：建主軸坐標(biāo)系如圖示，由于Z坐標(biāo)為零平行于X軸距X軸為Y處取質(zhì)量元由轉(zhuǎn)軸公式得同理平行于Y軸距Y軸為X處取質(zhì)量元由轉(zhuǎn)軸公式得由垂直軸定理知對角線DB的方向余弦為 所以由主軸坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)軸公式得再由平行軸定理知一塊正方形薄板的邊長為,質(zhì)量為m，求在其中心的慣量張量，已知軸垂直于板面，與軸平行于兩邊。解：由于薄板的坐標(biāo)，所以慣量積，又由于薄板相對于平面對稱，所以慣量積薄板相對

30、于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因軸與軸均為對稱軸，所以由垂直軸定理知于是正方形薄板相對于中心的慣量張量為一端系于天花板頂上的繩子，在另一端系一半徑為r，重量為p的滑輪，求滑輪中心向下運(yùn)動(dòng)的加速度和滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度。 解：建坐標(biāo)如圖示 滑輪受力：重力p，繩子張力T 建動(dòng)力學(xué)方程式：又由約束條件： 即解（1）（2）（3）式得圖示半徑為R的均質(zhì)圓柱A纏以細(xì)繩，繩的B端固定，圓柱自靜止下落，其軸心速度為（h為軸心至初始位置的距離）。求圓柱A的運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)圓柱質(zhì)量為m，繩的張力為T。由圖可知圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為由于，,又t=0時(shí)，代入上式得解：1°研究系統(tǒng)。作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，作直線平動(dòng)，取為桿的轉(zhuǎn)

31、角。由題意知桿的角速度w 轉(zhuǎn)向如圖示，并設(shè)出e 的轉(zhuǎn)向。2°運(yùn)動(dòng)速度分析。桿上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為其速度、加速度為有一直角三角形薄板,兩個(gè)直角邊的連長分別為a、b，試求該板的三個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)慣量積。解：由于板的z坐標(biāo)為零，故：慣量積三角形斜邊的方程為即：在三角形薄板上取質(zhì)量元所以主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 又 所以有同理： 由垂直軸定理得慣量積（習(xí)題 3.8題）求半徑為R，質(zhì)量密度為的非均質(zhì)圓球繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑K，其中均為常數(shù)。 解：取半徑為rr+dr的球殼做作質(zhì)量元，它的質(zhì)量dm和對直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI分別為： 球體對球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI=r2dm而球體對任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 球體對直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I

32、和總質(zhì)量m分別為 所以回轉(zhuǎn)半徑 長為2的均質(zhì)棒，一端抵在光滑墻上，而棒身則如圖示斜靠在與墻相距為的光滑棱角上，求棒在平衡時(shí)與水平面所成的角 解：如圖示，均質(zhì)棒受力為光滑墻、光滑棱角的彈力，及棒自身重力G，由于棒處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力系平衡條件有由（1）（2）得所以一根均勻的棍子。重為P，長為長為2，今將其一端置于粗糙地面上，又以其上的C點(diǎn)靠在墻上，墻離地面的高度為h，當(dāng)棍子與地面的角度為最小值時(shí)，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù)。解：如圖示棍子受力為：重力P，C點(diǎn)上的作用力N1，A點(diǎn)上的作用力N2，摩擦力f 建坐標(biāo)如圖示 由于棍子處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力系平衡條件有 對A而言有由（

33、3）得由（1）得由（2）得所以矩形均質(zhì)薄片ABCD，邊長為a與b，重為mg，繞豎直軸AB以初角速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)薄片的每一部分都受到空氣的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值與面積及速度平方成正比，比例系數(shù)為k，問經(jīng)過多長時(shí)間，薄片的角速度減為初角速的一半。解：建坐標(biāo)系0xyz與薄片固連，z軸為轉(zhuǎn)軸。則沿z軸方向有在薄片上取質(zhì)量元面積為，該區(qū)域受到的阻力為對z軸的力矩為所以又薄片對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由（1）（2）（3）得而 積分 得均勻長方形薄片的邊長為a與b，質(zhì)量為m，求此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：用主軸坐標(biāo)系求解，建主軸坐標(biāo)系如圖示 設(shè)薄片質(zhì)量密度為，厚度為t。由轉(zhuǎn)軸公式得由圖知

34、又，所以有而 故一輪的半徑為r，以勻速無滑動(dòng)地沿一直線滾動(dòng)，求輪緣上任一點(diǎn)的速度及加速度。又最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度和加速度各是多少。哪一點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。解：如圖示建立坐標(biāo)系oxyz，由于球作無滑滾動(dòng)，球與地面接觸點(diǎn)A的速度為零，所以A點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。以O(shè)為基點(diǎn)，設(shè)球的角速度為，則 設(shè)輪緣上任一點(diǎn)P，與x軸的夾角為，則故 而加速度為當(dāng)時(shí)為最高點(diǎn)，其速度和加速度分別為當(dāng)時(shí)為最高點(diǎn)，其速度和加速度分別為滾子質(zhì)量m , 外輪半徑為R , 滾子的鼓輪半徑為r, 回轉(zhuǎn)半徑為, 習(xí)題3.32）高為h、頂角為的圓錐在一平面上滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如已知此錐以勻角速繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度和向軸加速度的量值。

35、解：如圖示，動(dòng)坐標(biāo)系oxyz隨圓錐一起運(yùn)動(dòng)，ox軸過圓錐與地面的接觸線OB，設(shè)圓錐繞自己的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，又圓錐的軸線繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為所以合角速度為由于OB為瞬軸，故沿ox軸，由圖可知 故又A點(diǎn)的位置矢量為所以A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度向軸加速度為故轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的量值是向軸加速度的量值是一直線以勻角速在一固定平面內(nèi)繞其一端O轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)直線位于OX的位置時(shí)，有一質(zhì)點(diǎn)P開始從O點(diǎn)沿該直線運(yùn)動(dòng)，如欲使此點(diǎn)的絕對速度的量值為常數(shù)，問此點(diǎn)應(yīng)按何種規(guī)律運(yùn)動(dòng)。解：如圖示以O(shè)X為極軸，直線轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?yàn)闃O角建立極坐標(biāo)系，OZ軸垂直紙面向外，設(shè)P點(diǎn)的相對速度為，故P點(diǎn)的絕對速度為設(shè)P點(diǎn)的絕對速度的量值為，則有 上式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得 由題意知所以有 其通解為當(dāng)時(shí)有代入上式得 故運(yùn)動(dòng)規(guī)律為如題圖5 1 所示, 細(xì)直管長OA=l , 以勻角速度繞固定軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)。管內(nèi)有一小球M, 沿管道以速度v 向外運(yùn)動(dòng)。設(shè)在小球離開管道的瞬時(shí)v=l, 求這時(shí)小球M 的絕對速度。答: , ( va , i) = 45°題圖5 1解：小