基于matlab的信號(hào)合成與分解

1、為了便于進(jìn)行周期信號(hào)的分析與處理，常要把復(fù)雜的周期信號(hào)進(jìn)行分解，即將周期信號(hào)分解為正余弦等此類基本信號(hào)的線性組合，通過對(duì)這些基本信號(hào)單元在時(shí)域和頻域特性的分析來達(dá)到了解信號(hào)特性的目的。本文主要闡述了傅立葉級(jí)數(shù)的推演過程，從而得出周期信號(hào)的分解與合成的基本原理。1 緒論- 1 - 研究信號(hào)是為了對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理和分析，信號(hào)處理是對(duì)信號(hào)進(jìn)行某些加工或變換，目的是提取有用的部分，去掉多余的部分，濾除各種干擾和噪聲，或?qū)⑿盘?hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，便于分析和識(shí)別。信號(hào)的特性可以從時(shí)間特性和頻率特性兩方面進(jìn)行描述，并且信號(hào)可以用函數(shù)解析式表示（有時(shí)域的，頻域的及變化域的），也可用波形或頻譜表示。系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是分析

2、系統(tǒng)對(duì)指定激勵(lì)所產(chǎn)生的影響。其分析過程主要包括建立系統(tǒng)模型，根據(jù)模型建立系統(tǒng)的方程，求解出系統(tǒng)的響應(yīng)，必要時(shí)對(duì)解得的結(jié)果給出物理解釋。系統(tǒng)分析是系統(tǒng)綜合與系統(tǒng)診斷的基礎(chǔ)。任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)都是由各種不同頻率、幅度和初相的正弦波疊加而成的。對(duì)周期信號(hào)由它的傅立葉級(jí)數(shù)展開式可知，各次諧波為基波頻率的整數(shù)倍。而非周期信號(hào)包括了從零到無窮大的所有頻率成分，每一個(gè)頻率成分的幅度均趨向無窮小，但其相對(duì)大小式不同的。信號(hào)的分解與合成周期信號(hào)的信號(hào)分解與合成設(shè)有周期信號(hào)，它的周期為T，角頻率，則的三角傅里葉級(jí)數(shù)表示的一般形式為 （2.2-1） 其中 可以寫成更緊湊的和式為：式（2.2-1）中的系數(shù)

3、、稱為傅里葉系數(shù)，為在函數(shù)中的分量（相對(duì)大?。?；為在函數(shù)中的分量，它可由式（2.1-7）求得。為簡(jiǎn)便，式（2.1-7）的積分區(qū)間取為或。考慮到正、余弦函數(shù)的正交條件（2.1-3），由式（2.1-7），可得傅立葉系數(shù) （2.2-2） 周期信號(hào)也可分解為一系列余弦信號(hào)，即： 其中 方波信號(hào)的分解與合成現(xiàn)以周期為T、幅值為1的方波信號(hào)為例 方波信號(hào)的分解與合成【12】由式（2）可得 圖1 周期為T的方波圖 考慮到，可得 將它們代入（1）式，可得圖1所示的方波信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為 它只含一、三、五、等奇次諧波分量。方波信號(hào)的分解仿真由周期T=1為例：圖2為周期為T=1的方波信號(hào)，經(jīng)傅立葉級(jí)數(shù)分解以

4、后而得到的基波到七次諧波的仿真圖，左上角為基波圖，它是一個(gè)非常正規(guī)的正弦波，幅值在1到1.5之間，要高于原方波的幅值。而且它的角頻率與原方波信號(hào)相同。右上角為三次諧波圖，其也是正弦波，明顯，其幅值降到了0.5以下，但是三次諧波的頻率是基波的1.5倍。其它圖形依次為五次諧波，七次諧波。 圖2 周期為T=1方波信號(hào)的分解圖方波信號(hào)的合成仿真圖3為方波信號(hào)分解以后取有限次諧波的合成波形。左上方圖是單獨(dú)的基波，是正弦波，波身較為平滑，波峰和波谷尖銳。右上方是基波和三次諧波疊加而成的波，大體仍是正弦的形式，但是波身已經(jīng)比單獨(dú)的基波較為陡峭，波峰和波谷出現(xiàn)波動(dòng)，已經(jīng)趨向方波，有了方波的雛形。以下依次疊加起

5、五次諧波，七次諧波的波形。圖3 周期為T=1方波信號(hào)的合成圖 圖4 偶次諧波與奇次諧波的對(duì)比由圖4可以看出，由于原方波信號(hào)經(jīng)傅立葉級(jí)數(shù)分解后，偶次諧波不存在，所以在圖中只能觀察到奇次諧波。方波信號(hào)的頻譜圖 圖5 方波信號(hào)的頻譜圖 圖5為周期信號(hào)的頻譜圖，在頻譜圖中，=1時(shí)，信號(hào)的幅值在1.2到1.4之間，=2時(shí)，信號(hào)的幅值為0，=3時(shí)，幅值在0.2到0.4之間， =4、5、6、7、時(shí)，幅值有起伏，但總體趨勢(shì)是呈下降趨勢(shì)。方波信號(hào)的誤差分析 方波信號(hào)的誤差分析表3-1 方波信號(hào)前七項(xiàng)合成的誤差分析前N之和基波基波+三次諧波基波+三次諧波+五次諧波基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波en（t）0.9

6、9800.99600.99400.9920圖6 方波的誤差分析圖由圖6和表3-1知道，在信號(hào)合成時(shí)，其疊加的諧波次數(shù)越多，將產(chǎn)生的誤差值將越小，說明，合成波形越加的向原三角波形靠近。三角波信號(hào)的分解與合成現(xiàn)以周期為T、幅值為1的三角波信號(hào)如圖7進(jìn)行信號(hào)分解與合成仿真為例三角波的分解與合成【 以周期T=2的三角波為例：圖10 三角信號(hào)與分解的前次諧波分解的對(duì)比圖圖10為三角信號(hào)的分解圖，左上角是分解后基波的圖形，它的幅值接近0.5，而周期和原三角波的周期一樣，是1。右上角是分解后的三次諧波的圖形，其幅值接近于0.05，周期也減小，在0.3到0.4之間。后兩幅分別為五次諧波和七次諧波分解出來的圖形

7、，明顯它們的幅值依次減小，周期也依次減小。3.2.3 三角信號(hào)的合成仿真圖11為三角波形分解合成的圖形，左上角是單獨(dú)基波的圖形，明顯，它是一個(gè)余弦波，周期是2，波峰和波谷比較平滑，右上角是基波與三次諧波疊加以后的波形，這時(shí)已經(jīng)有了三角波的雛形，波峰和波谷已經(jīng)明顯的尖銳了。圖12分別為基波到五次諧波的疊加和基波到七次諧波的疊加，它們已經(jīng)逐漸形成了三角波形，波峰和波谷更加尖銳。圖13分別為三角波奇次諧波與偶次諧波合成波形?？梢钥闯觯捎谌遣ㄐ盘?hào)經(jīng)傅立葉級(jí)數(shù)分解后，偶次諧波不存在，所以在圖中只能觀察到奇次諧波。圖11 周期三角信號(hào)的合成圖圖12 周期三角信號(hào)與前七次諧波疊加的對(duì)比圖圖13 奇次諧波

8、與偶次諧波疊加的對(duì)比圖3.2.4 三角信號(hào)的頻譜圖14 三角信號(hào)的頻譜圖圖14為周期三角信號(hào)的頻譜圖，在頻譜圖中，=1時(shí)，信號(hào)的幅值在0.4到0.45之間，=2時(shí)，信號(hào)的幅值為0，=3時(shí)，幅值在0.05到0.1之間， =4、5、6、7、時(shí)，幅值有起伏，但總體趨勢(shì)是呈下降趨勢(shì)3.3結(jié)論一、周期信號(hào)的頻譜圖有以下特點(diǎn)：（1）離散性。頻譜圖中的變量為，由于n只能是整數(shù)（單邊頻譜中是正整數(shù)），因而譜線是離散的而非連續(xù)的，譜線的間隔是，所以周期信號(hào)的頻譜是離散頻譜。（2）諧波性。由于n只取整數(shù)，因而譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。（3）收斂性。幅度譜中各譜線的高度盡管不一定歲隨諧波次數(shù)的增高作單調(diào)的減小，中間有可能有起伏，但總的趨勢(shì)是隨n的增高而減小的，當(dāng)n為時(shí)，高度趨于零。 二、任何周期信號(hào)都可以由一系列的正弦（或余弦）波組成，隨著諧波次數(shù)的增大，諧波的幅值越來越小，頻率越來越大。三、合成波形所包含的諧波分量越多時(shí)，除間斷點(diǎn)附近外