中考二次函數(shù)壓軸題解題通法研究(LPG)

1、中考二次函數(shù)壓軸題-解題通法研究四川省高縣勝天中學校李培高（LPG）編制QQ:762008390電話考二次函數(shù)壓軸題-解題通法研究四川高縣勝天中學校 李培高（LPG）二次函數(shù)在全國中考數(shù)學中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學競賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學生在有限的時間內都不能很好完成。由于在高中和大學中很多數(shù)學知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關，學生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學得好否，直接關系到未來數(shù)學的學習。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關命題老師和專家、

2、學者的必選內容。我通過近年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)壓軸題，總結出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個自定義概念：（1）三角形基本模型：有一邊在X軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y軸的三角形稱為三角形基本模型。（2）動點（或不確定點）坐標“一母示”：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析式，用一個字母把該點坐標表示出來，簡稱“設橫表縱”。如：動點P在y=2x+1上， 就可設P（t, 2t+1）.若動點在，則可設為（，）當然若動點M 在X軸上，則設為（t, 0）.若動點M在軸上，設為（，）（3）動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的?；蛑辽儆幸粋€頂點是運動，變化的

3、三角形稱為動三角形。（4）動線段：其長度是運動，變化，不確定的線段稱為動線段。（5）定三角形：三邊的長度固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。（6）定直線：其函數(shù)關系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：。（7）X標，Y標：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標稱為x標，縱坐標稱為y標。（8）直接動點：相關平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動點稱為直接動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標“一母示”是針對直接動點坐標而言的。（9）交點三角形：拋物線與X、Y的交點構成的三角形。（10）頂點三角形：拋物線與X軸的兩個交點和頂點構成的三角形。1.求證“兩線段相等”的問題：借

4、助于函數(shù)解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離，還是“點軸距離”，還是“點線距離”，再運用兩點之間的距離公式或點到x軸（y軸）的距離公式或點到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等（常設為t），借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于y軸的線段長度計算公式，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)

5、的性質，即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。3、求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題：先用點斜式（或稱K點法）求出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點坐標，最后用中點坐標公式即可。4、“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題：（方法1）先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關于x的的一元二次方程，由題有=-4ac=0（因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以-4ac=0）從而就可求出該

6、切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點坐標，然后再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。（方法2）該問題等價于相應動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。（方法3）先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數(shù)的幾何意義，當該導數(shù)等于定直線的斜率時，求出的點的坐標即為符合題意的點，其最大距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。5.常數(shù)問題：（1）點到直線的距離中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個固定常數(shù)”的問題：先借助于拋物線的解析式

7、，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。（2）三角形面積中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構成的動三角形的面積等一個定常數(shù)”的問題：先求出定線段的長度，再表示出動點（其坐標需用一個字母表示）到定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。（3）幾條線段的和、差、積、商為常數(shù)的問題：用K點法設出直線方程，求出該直線與其它直線的交點坐標；若涉及

8、直線與拋物線（或雙曲線）截得的弦長，就運用弦長公式：AB=最后運用兩點間的距離公式或弦長公式，把問題中的所有線段表示出來，代入并化解即可。6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度應用兩點間的距離公式計算即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其坐標很易求出（利用求交點坐標的方法）。7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題：（1）“在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構成

9、的三角形周長最小”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）：由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊（其長度利用兩點間距離公式計算），只需另兩邊的和最小即可。（2） “在拋物線上是否存在一點，使之到定直線的垂線，與y軸的平行線和定直線，這三線構成的動直角三角形的周長最大”的問題（簡稱“三邊均動的問題）：在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形，在動點坐標一母示后，運用，把動三角形的周長轉化為一個開口向下的拋物線來破解。8.三角形面積的最大值問題：（1）“拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構成的三角形積最大”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）：(方法1)先利用兩點間的距離公式求出定線段的

10、長度；然后再利用上面4的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式 底·高。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中，切點即為符合題意要求的點。（方法2）過動點向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點，從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母示后，進一步可得到，轉化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。（2） “三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的問題）：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設出動點在x軸或y

11、軸上的點的坐標，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那一個三角形）。利用相似三角形的性質（對應邊的比等于對應高的比）可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關系式，相應問題也就輕松解決了。9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構成的四邊形面積最大的問題”：由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形（連結兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求

12、法與8相同。10、“定四邊形面積的求解”問題：有兩種常見解決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點，向x軸（或y軸）作垂線，或者把該點與原點連結起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的和（差）11.“兩個三角形相似”的問題：<一>兩個定三角形是否相似：（1） 已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。（2） 不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長，看看是否

13、成比例？若成比例，則相似;否則不相似。<二>一個定三角形和動三角形相似：（1） 已知有一個角相等的情形：先借助于相應的函數(shù)關系式，把動點坐標表示出來（一母示），然后把兩個目標三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應成比例（要注意是否有兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動點的橫坐標，進而求出縱坐標，注意去掉不合題意的點。（2）不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點坐標求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直角

14、三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標“一母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助于特殊角，為動點尋找一個直角三角形，求出動點坐標，從而轉化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點坐標符合題意，否則這樣的點不存在。簡稱“找特角，求（動）點標，再驗證”?；蚍Q為“一找角，二求標，三驗證”。2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構成等腰三角形”的問題：首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構成等腰三角形，則有

15、三種情況）。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標（一母示），按分類的情況，分別利用相應類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點的橫坐標，再借助動點所在圖象的函數(shù)關系式，可求出動點縱坐標，注意去掉不合題意的點（就是不能構成三角形這個題意）。3、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構成平行四邊形”問題：這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母示”分別設出余下所有動點的坐標（若有兩個動點，顯然每個動點應各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點坐標），任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線（顯然最多有3條），此時與之對應的另一

16、條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一種情況兩條對角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其坐標對應相等，列出兩個方程，求解即可。進一步有：（1） 若是否存在這樣的動點構成矩形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構成矩形，否則這樣的動點不存在。（2） 若是否存在這樣的動點構成棱形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點能構成棱形，否則這樣的動點不存在。（3） 若是否存在這樣的動點構成正方形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點能構成正方形，

17、否則這樣的動點不存在。4、“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關系”的問題：（此為“單動問題”即定解析式和動圖形相結合的問題，后面的20實為本類型的特殊情形。）先用動點坐標“一母示”的方法設出直接動點坐標，分別表示（如果圖形是動圖形就只能表示出其面積）或計算（如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積），然后由題意建立兩個圖形面積關系的一個方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點），如果問題中求的是間接動點坐標，那么在求出直接動點坐標后，再往下繼續(xù)求解即可。5、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點，使之與另兩定點構成直角三角形”的問題：（1）若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設出動點坐

18、標（一母示），視題目分類的情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運用兩直線（沒有與y軸平行的直線）垂直的斜率結論（兩直線的斜率相乘等于-1），得到一個方程，解之即可。（2）若夾直角的兩邊中有一邊與y 軸平行，此時不能使用斜率公式。補救措施是：過余下的那一個點（沒在平行于y軸的那條直線上的點）直接向平行于y的直線作垂線或過直角點作平行于y軸的直線的垂線與另一相關圖象相交，則相關點的坐標可輕松搞定。6、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構成等腰直角三角形”的問題。（1）若定點為直角頂點：先用k點法求出另一直角邊所在直線的解析式（如斜率不存在，根據(jù)定直角點，可以直接寫出另一直角邊所在直線

19、的方程），利用該解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再用兩點間的距離公式計算出兩條直角邊等否？若等，該交點合題，反之不合題，舍去。（2）若動點為直角頂點：先利用k點法求出定線段的中垂線的解析式，再把該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再分別計算出該點與兩定點所在的兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看其結果是否為-1？若為-1，則就說明所求交點合題；反之，舍去。7、“題中含有兩角相等，求相關點的坐標或線段長度”等的問題：題中含有兩角相等，則意味著應該運用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是關鍵和突破口。18.“在相關函數(shù)的解

20、析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關點的坐標或線段長”的問題：（此為“單動問題”即定解析式和動圖形相結合的問題，本類型實際上是前面14的特殊情形。）先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或軸上，或者有一邊平行于x軸或y軸）面積的和或差，設出相關點的坐標（一母示），按化分后的圖形建立一個面積關系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單動問題”，解題方法是“設點（動點）標，圖形轉化（分割），列出面積方程”。19、“一個已知點關于一條已知的斜直線的對稱點坐標的求法”問題：由于已知點和對稱點所在的直線與已知直線垂直，運用點斜式

21、（或稱K點法），求出已知點和對稱點所在的直線的解析式，再求兩直線的交點坐標，最后用中點坐標公式即可求出對稱點的坐標。簡稱“一直解二交點三對標”。20、“在相關函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母）的情況下，題中又含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關點的坐標或參數(shù)的值”的問題：此為“雙動問題”（即動解析式和動圖形相結合的問題）。如果動圖形不是基本模型，就先把動圖形的面積進行轉化或分割（轉化或分割后的圖形須為基本模型），設出動點坐標（一母示），利用轉化或分割后的圖形建立面積關系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應點的橫坐標，再利用該點所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點

22、的縱坐標（注意，此時，一定不能把該點坐標再代入對應函數(shù)圖象的解析式，這樣會把所有字母消掉）。再注意圖中另一個點與該點的位置關系（或其它關系，方法是常由已知或利用（2）問的結論，從幾何知識的角度進行判斷，表示出另一個點的坐標，最后把剛表示出來的這個點的坐標再代入相應解析式，得到僅含一個字母的方程，解之即可。如果動圖形是基本模型，就無須分割（或轉化）了，直接先設出動點坐標（一母式），然后列出面積方程，往下操作方式就與不是基本模型的情況完全相同。一句話，該問題簡稱“雙動問題”，解題方法是“轉化（分割），設點標，建方程，再代入，得結論”。常用公式或結論：（1）橫線段的長 = 橫標之差的絕對值 = =縱

23、線段的長=縱標之差的絕對值=（2）點軸距離：點P（ ，）到X軸的距離為，到Y軸的距離為。（3）兩點間的距離公式：若A（）,B(),則AB=（4）點到直線的距離：點P（）到直線Ax+By+C=0 (其中常數(shù)A,B,C最好化為整系數(shù)，也方便計算)的距離為：或（5）中點坐標公式:若A()，B（），則線段AB的中點坐標為（）（6）直線的斜率公式：若A（），B（），則直線AB的斜率為：,（7）兩直線平行的結論：已知直線若若 （8）兩直線垂直的結論：已知直線若若（9）直線與拋物線（或雙曲線）截得的弦長公式：直線與拋物線（或雙曲線）截得的弦長公式是：AB=證明如下：設直線與拋物線（或雙曲線）交于A（x1,

24、y1）,B（x2, y2）兩點，由兩點間的距離公式可得：AB=，因為A（x1, y1）,B（x2, y2）兩點是直線與拋物線（或雙曲線）的交點，所以A（x1, y1）,B（x2, y2）兩點也在直線上，所以y1=kx1+n, y2=kx2+n, 所以y1-y2=（kx1+n）（kx2+n）=kx1-kx2=k（x1-x2），所以AB=而x1,x2顯然是直線與拋物線（或雙曲線）組成方程組后，消去y（用代入法）所得到的那個一元二次方程的兩根，從而運用韋達定理x1+x2 , x1x2可輕松求出，進而直線與拋物線（或雙曲線）截得的弦長就很容易計算或表示出來。（10）由特殊數(shù)據(jù)得到或猜想的結論：已知點的

25、坐標或線段的長度中若含有等敏感數(shù)字信息，那很可能有特殊角出現(xiàn)。在拋物線的解析式求出后，要高度關注交點三角形和頂點三角形的形狀，若有特殊角出現(xiàn)，那很多問題就好解決。還要高度關注已知或求出的直線解析式中的斜率K的值，若，則直線與X軸的夾角為；若；則直線與X軸的夾角為；若，則直線與X軸的夾角為【這些結論在高中數(shù)學的圓錐曲線中還有進一步的運用例如：【2013福建高考】橢圓：的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為2c。若直線y=（）與橢圓的一個焦點M滿足MF1F2=2MF2F1，則該橢圓的離心率e=.，這道題如果不能發(fā)現(xiàn)直線y=（）與X軸的夾角是600（K=），那么就不能做出來】。這就為計算線段的長度或點

26、的坐標或三角形相似等問題創(chuàng)造條件。二次函數(shù)基本公式訓練：-破解函數(shù)難題的基石（一）橫線段的長度計算：【特點：兩端點的y標相等，長度=】。（1）若A（2,0），B（10,0），則AB=。（2）若A（-2,0），B（-4,0），則AB=。（3）若M（-3,0），N（10,0），則MN=。（4）若O（0,0），A（6,0），則OA=。（5）若O（0,0），A（-4,0），則OA=。（6）若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，則OA=。（7） 若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，則OA=。（8）若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，則AB=。（9） 若A（4t,m）,B

27、(1-2t,m),且B在A的左端，則AB=。（10）若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在B的右端，則PM=。注意：橫線段上任意兩點的y標是相等的，反之y標相等的任意兩個點都在橫線段上。（二）縱線段的長度計算：【特點：兩端點的x標相等，長度=】。（1）(若A(0,5)，B（0,7），則AB=。（2） 若A（0，-4），B（0，-8),則AB=。（3） 若A（0,2），B（0，-6），則AB=。（4）若A（0,0），B（0，-9),則AB=。（5）若A(0,0)，B(0,-6)，則AB=。（6） 若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，則OA=。（7）若O（0,0），A（0，t),

28、且A在O的下端，則OA=。（8） 若A（6，-4t),B(6,3t),且A在B的上端，則AB=。（9） 若M（m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，則MN=。（10）若P（t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端，則PM=。注意：縱線段上任意兩點的x標是相等的，反之x標相等的任意兩個點都在縱線段上。（三）點軸距離：一個點到x軸的的距離等于該點的y標的絕對值（即），到y(tǒng)軸的距離等于該點的x標的絕對值（即）。（1） 點（-4,-3)到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。（2） 若點A（1-2t,)在第一象限，則點A到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為_。（3） 若點M（t,)在第二象限

29、，則點M到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。（4） 若點A（-t,2t-1)在第三象限，則點A到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。（5） 若點N（t，)點在第四象限，則點N到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為_。（6） 若點P（t ,)在x軸上方，則點到軸的距離為_。（7） 若點（，）在軸下方，則點到軸的距離為_。（8） 若點（，）在軸左側，則點到軸的距離為_。（9） 若點（，）在軸的右側，則點到軸的距離為_。（10） 若動點（，）在軸上方，且在軸的左側，則點到軸的距離為_，到軸的距離為。（11） 若動點（，）在軸上方，且在軸的右側，則點到軸的距離為，到軸的距離為。（12） 若動點（，）在軸下方，且在軸的左

30、側，則點到軸的距離為，到軸的距離為。（13）若動點（，）在軸下方，且在軸的右側，則點到軸的距離為，到軸的距離為。注意：在涉及拋物線，直線，雙曲線等上的動點問題中，在動點坐標“一母示”后，還要高度關注動點運動變化的區(qū)域（例如：動點在拋物線上位于軸下方，軸右側的圖象上運動），以便準確寫出動點坐標中參數(shù)字母的取值范圍，以及點軸距離是等于相應的相反數(shù)，還是其本身。（四）中點坐標的計算：若【（），（），則線段的中點坐標為（）】（1）若（，），（，），則中點為。（2）若M（0，-6），N（6，-4），則MN的中點坐標為。（3） 若P（），Q（），則PQ的中點坐標為。（4） 若A(1,2),B(-3,4),

31、且B為AM的中點，則M點的坐標為。（5） 若A(-1,3),B(0,2),且A為中點，則點坐標為。（6）點（,）關于直線的對稱點的坐標為。（7） 點（,）關于直線的對稱點的坐標為。（8）點（,）關于直線的對稱點的坐標為_。（9） 點（,）關于直線的對稱點的坐標為。（10） 點（，）關于直線的對稱點的坐標為。（11） 點（，）關于直線的對稱點的坐標為。（12） 點（,）關于直線的對稱點的坐標為。（13） 點（，）關于直線的對稱點的坐標為。（14） 點（，）關于軸的對稱點的坐標為。（15）點（,）關于軸的對稱點的坐標為。（五）由兩直線平行或垂直，求直線解析式。【兩直線平行，則兩個k值相等；兩直線垂

32、直，則兩個k值之積為-1.】（1） 某直線與直線y=2x+3平行，且過點（1，-1），求此直線的解析式。（2） 某直線與直線y=x+1平行，且過點（2，3），求此直線的解析式。（3） 某直線與直線y=平行，且過點（-3，0），求此直線解析式。（4） 某直線與y軸交于點P（0,3），且與直線y=平行,求此直線的解析式。（5） 某直線與x軸交于點P（-2,0），且與直線y=平行，求此直線的解析式。（6） 某直線與直線y=2x-1垂直，且過點（2,1），求此直線的解析式。（7） 某直線與直線y=-3x+2垂直，且過點（3,2），求此直線的解析式。（8） 某直線與直線y=垂直，且過點（2，-1），求此

33、直線的解析式。（9） 某直線與直線y=垂直，且過點（1，-2），求此直線的解析式。（10） 某直線與x軸交于點P（-4,0），且與直線y=垂直，求此直線的解析式。（六）兩點間的距離公式：則AB=（1） 若A（-2,0），B（0，3），則AB=。（2） 若P（-2,3），Q（1，-1），則PQ=。（3） 若M（0,2），N（-2,5），則MN=。（4） 若P（），Q（），則PQ=。（5） 若A（),B(-1,),則AB=。（6） 若P(),B(),則。（7） 若P(),B(),則=。（8） 若P()，M()，則PM=。（9） 若（），（），則。（10） 若（），（），則。（11） 若（,），（,

34、），則。（12） 若P(0，-4)，Q(0，-2)，則PQ=。（13） 若P(3,0)，Q(4,0)，則PQ=。（14）若P(1，-4)，Q(2,0)，則PQ=。（七）直線的斜率公式：【注：所謂斜率，就是一次函數(shù)y=kx+b中k的值；可由兩個點的坐標直接求得：若A()，B()（），則，（y標之差除以對應的x標之差）】例題：若A(2，-3)，B(-1,4)，則 解：A(2，-3)，B(-1,4)， =（1）。（2）。（3）。（4） 。（5）。（6）。（7）。（8）。（八）點到直線的距離公式：到直線Ax+By+C=0（為了方便計算，A,B,C最好化為整系數(shù)）的距離公式為：；運用該公式時，要先把一次

35、函數(shù)y=kx+b化為一般式Ax+By+C=0的形式（即：先寫x項，再寫y項，最后寫常數(shù)項，等號右邊必須是0）。例題：求點P(2,-3)到直線的距離。解：先把直線化為一般式3x-6y-4=0所以的值就是把點對應代入代數(shù)式Ax+By+C中?；蛘甙淹ㄟ^移項化為（同樣要先寫x項，再寫y項，最后寫常數(shù)項，等號右邊必須是0）。從而另解：因為，P(2,-3)所以(注：由于系數(shù)中有分數(shù)，計算比較繁雜)。（1）（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）。（8）。（9）。（10）。（11）。（12）。（13）。（九）一個點關于一條斜直線的對稱點：（1）求點A（-2,3）關于直線y=x-2的對稱點坐標。（2）求

36、點B（3，-1,）關于直線y=2x-5的對稱點坐標.（3）求點Q（3，2,）關于直線y=-3x+5的對稱點坐標。（4）求點N（1，-2,）關于直線的對稱點坐標。（5）求點D關于直線y=-2x+1的對稱點坐標。（6）求點關于直線的對稱點坐標。（十）直線與拋物線（或雙曲線）截得的弦長：（1）求直線y=x+2與拋物線截得的長。（2）求直線y=-x+3與拋物線截得的弦長。（3）求直線y=2x-1與拋物線截得的弦長。（4）求直線y=x+1與雙曲線截得的弦長。（5）求直線y=-2x-3與雙曲線截得的弦長。（6）求直線y=-x+3與雙曲線截得的弦長。（7）求直線y=3x-5與雙曲線截得的弦長在一個題中設計若

37、干常見問題：，與y軸交于點B，與x軸交于C,D（C在D點的左側），點A為頂點。 （1）判定三角形ABD的形狀？并說明理由. 【通法：運用兩點間的距離公式，求出該三角形各邊的長】（2）三角形ABD與三角形BOD是否相似？說明理由。 【通法：用兩點間的距離公式分別兩個三角形的各邊之長，再用相似的判定方法】（3）在x軸上是否存在點P，使PB+PA最短？若存在求出點P的坐標，并求出最小值。若不存在，請說明理由。 【通法：在兩定點中任選一個點（為了簡單起見，常常取軸上的點），求出該點關于題中的動點運動所經(jīng)過的那條直線的對稱點的坐標，再把此對稱點與余下定點相連】（4）在y軸上是否存在點P，使三角形PAD的

38、周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標，并求出周長的最小值;若不存在，請說明理由。 【通法：注意到AD是定線段，其長度是個定值，因此只需最小】（5）在對稱軸上是否存在點，使三角形是等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。 【通法：對動點的坐標一母示（，）后，分三種情況，若為頂點，則；若B為頂點，則BP=；若為頂點，則。分別用兩點間的距離公式求出或表示各線段的長度】。（6）若平行于軸的動直線與直線交于點，與拋物線交于點P，若三角形ODF為等腰三角形，求出點P的坐標. 【通法：分類討論，用兩點間的距離公式】。（7）在直線BD下方的拋物線上是否存在點P，使的面積最大？若存在，求出點P的坐標

39、，若不存在，請說明理由。 【通法：】（8）在直線BD下方的拋物線上是否存在點P，使四邊形DOBP的面積最大？若存在，求出點P的坐標，并求出四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由。 【通法：或】（9）在直線BD下方的拋物線上，是否存在點P，使四邊形DCBP的面積最大？若存在，求出點P的坐標，并求出四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由. 【通法：】（10）在直線下方的拋物線上，是否存在點，使點到直線BD的距離最大？若存在，求出點P的坐標，并求出最大距離；若不存在，請說明理由。 【通法：因為是定線段，點到直線的距離最大，意味著三角形的面積最大】（11）在拋物線上，是否存在點，使點到直線BD的距

40、離等于，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。 【通法：在動點坐標一母示后，用點到直線的距離公式，列出方程，求解即可】。（12）在拋物線上是否存在點P，使，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。 【通法;在動點P的坐標一母示后，把到圖形三角形ABD的面積算出，借助于動點坐標把動三角形PBC的面積表示出來，再代入已知中的面積等式】。（13）若點P在拋物線上，且PDB=，求點P的坐標。 【通法：利用，及點B的坐標，求出直線PB的解析式，再把此解析式與拋物線方程組成方程組，即可求出P點的坐標】。（14）若Q是線段CD上的一個動點（不與C,D重合），QEBD交BC于點E，當三角形QBE

41、的面積最大時，求動點Q的坐標。 【通法：三角形QBE是三邊均動的動三角形，把該三角形分割成兩個三角形基本模型的差，即，題中平行線的作用是有兩個三角形相似，從而有對應邊的比等于對應高的比，最后該動三角形的面積方可表示為，以動點Q(t,0)的坐標有關的開口向下的二次函數(shù)?！?（15）若E為x軸上的一個動點，F(xiàn)為拋物線上的一個動點，使B,D,E,F構成平行四邊形時，求出E點的坐標。 【通法：以其中一個已知點（如：點B）作為起點，列出所有對角線的情況（如：BD，BE，BF），分別設出兩個動點（點E，點F），運用中點坐標公式，求出每一種情況下，兩條對角線的中點坐標，注意到兩個中點重合，其坐標對應相等，列

42、出方程組，求解即可】。中考二次函數(shù)壓軸題分析（一）【2012宜賓中考】如圖，拋物線的頂點A在直線l:y=x-5上。（1）求拋物線頂點A的坐標。（2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C，D（C點在D點的左側），試判斷三角形的形狀；（3）在直線上是否存在一點，使以點，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。 （二）【2012涼山州中考】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于A,B,兩點，拋物線經(jīng)過A,B,兩點，并與x軸交于另一點C（點C在點 A的右側），點P是拋物線上一動點。(1)求拋物線的解析式及點C的坐標.(2)若點P在第二象限內，過點

43、P作PDx軸于D，交AB于點E.當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此時等于多少？(3) 如果平行于軸的動直線與拋物線交于點，與直線交于點，點為的中點，那么是否存在這樣的直線，使得三角形是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理. （三）【2012廣安市中考】在平面直角坐標系xOy中，ABx軸于點B，AB=3，tanAOB=3/4。將OAB繞著原點O逆時針旋轉90o，得到OA1B1；再將OA1B1繞著線段OB1的中點旋轉180o，得到OA2B1，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點B、B1、A2。（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內，拋物線上的點P在什么位置時，PBB

44、1的面積最大？求出這時點P的坐標；（3）在第三象限內，拋物線上是否存在點Q，使點Q到線段BB1的距離為？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。（四）【2012樂山中考】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C已知實數(shù)m、n（mn）分別是方程x22x3=0的兩根（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接OD、BD當OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；求BOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標. （

45、五）【2012成都中考】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)(為常數(shù))的圖象與x軸交于點A(，0)，與y軸交于點C以直線x=1為對稱軸的拋物線(為常數(shù)，且0)經(jīng)過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B（1）求的值及拋物線的函數(shù)表達式；（2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；（3）若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于，兩點，試探究 是否為定值，并寫出探究過程 （6） 【2

46、012黃岡中考】如圖，已知拋物線的方程：（m>0)與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點E，且點B在點C的左側。（1） 若拋物線過點M(2,2)，求實數(shù)m的值。（2） 在(1)的條件下，求三角形BCE的面積。（3） 在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點的坐標。（4） 在第四象限內，拋物線上是否存在點，使得以點,為頂點的三角形與三角形BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由. （七）【2013宜賓中考】如圖，拋物線經(jīng)過A（-1,0），C(0,4)兩點，與x軸交于另一點B。（1）求拋物線的解析式；（2）已知點D(m,m+1)在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點的坐標；（3）在（2）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且求點P的坐標。 易求得BC：y=-x+4（八）【2013山西中考】如圖，拋物線與X軸交于A,B,兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作棱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m,0）,過點P作x軸的垂線l交拋