垂徑定理及推論教學(xué)設(shè)計(jì)

1、24.1.2 垂徑定理及其推論教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)是圓這一章的重要內(nèi)容，也是本章的基礎(chǔ)。它揭示了垂直于弦的直徑和這條弦及這條弦所對(duì)的弧之間的內(nèi)在關(guān)系，是圓的軸對(duì)稱性的具體化；也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)；同時(shí)也為進(jìn)行圓的有關(guān)計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)；由垂徑定理的得出， 使學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性到理性， 從具體到抽象， 有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。同時(shí)，通過本節(jié)課的教學(xué)，對(duì)學(xué)生滲透類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程、建模等數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、抽象、概括、推理等邏輯思維能力和識(shí)圖能力。所以它在教材中處于非常重要的位置?！窘虒W(xué)目標(biāo)】根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求， 課

2、改應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)； 應(yīng)有利于引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)；有利于進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)。因此，我把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為以下三個(gè)方面：知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性； 掌握垂徑定理； 學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)的證明、 計(jì)算和作圖問題。培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、分析能力及聯(lián)想能力。方法與過程目標(biāo)：經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性， 證明垂徑定理及推論的過程， 鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)， 學(xué)習(xí)證明的方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):在學(xué)生通過觀察、操作、 變換和研究的過程中進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，創(chuàng)新意識(shí)和良好的運(yùn)用數(shù)學(xué)的習(xí)慣和意識(shí)。【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：垂徑定理及其推論的發(fā)現(xiàn)、記憶與證明。難點(diǎn)：對(duì)垂徑定理及其推論的探索和證明，

3、并能應(yīng)用垂徑定理及推論進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算或證明。【學(xué)生分析】九年級(jí)學(xué)生已了解圓的有關(guān)概念； 但根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論： 這個(gè)階段的學(xué)生思維正處于具體思維向抽象思維發(fā)展、 邏輯思維向形式思維發(fā)展、 內(nèi)部心理上逐步朝著自我反省的思維發(fā)展。 雖然他們具有一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、 生活經(jīng)驗(yàn)和操作技能， 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的說(shuō)理，但他們的邏輯思維能力和抽象思維能力還比較薄弱。對(duì)如何從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型的能力較差?！窘虒W(xué)方法】鑒于教材特點(diǎn)及九年級(jí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)， 根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平， 讓學(xué)生在課堂上多活動(dòng)、多觀察、多合作、多交流，主動(dòng)參與到整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，組織學(xué)生參與“實(shí)驗(yàn)- 觀察 -猜想

4、 -證明”的活動(dòng)，最后得出定理， 這符合新課程理念下的“要把學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)當(dāng)作認(rèn)識(shí)事物的過程來(lái)進(jìn)行教學(xué)” 的觀點(diǎn)， 也符合教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位相統(tǒng)一的原則。 同時(shí)，在教學(xué)中， 我充分利用教具和課件， 提高教學(xué)效果， 在實(shí)驗(yàn)、 演示、 操作、觀察、練習(xí)等師生的共同活動(dòng)中啟發(fā)學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)眼、動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力，這符合新課程理念下的直觀性與可接受性原則?！驹O(shè)計(jì)理念】在教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)中應(yīng)充分了解學(xué)生，研究學(xué)生， 我們不僅要備教材，而且還要備學(xué)生。要真正樹立以學(xué)生的發(fā)展為本的教學(xué)理念。只有這樣， 才能為學(xué)生提供充分的教學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，使學(xué)生從單純的的知識(shí)接受者變

5、為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。【教師準(zhǔn)備】問題導(dǎo)讀 - 評(píng)價(jià)單、問題生成 - 評(píng)價(jià)單、問題訓(xùn)練 - 評(píng)價(jià)單【教學(xué)過程的設(shè)計(jì)】問題情境創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課1. 將你手中的圓沿圓心對(duì)折， 你會(huì)發(fā)現(xiàn)圓是一個(gè)什么圖形？2. 將手中的圓沿直徑向上折， 你會(huì)發(fā)現(xiàn)折痕是圓的一條弦， 這條弦被直徑怎樣了？3. 一個(gè)殘缺的圓形物件， 你能找到它的圓心嗎？4. 趙州橋是我國(guó)古代橋梁史的驕傲，我們能求出主橋拱的半徑嗎？師生活動(dòng)上課之前先檢查學(xué)生對(duì) 問題導(dǎo)讀評(píng)價(jià)單 的完成情況將學(xué)生分組， 然后由小組長(zhǎng)發(fā)放問題生成評(píng)價(jià)單 ，然后小組根據(jù)評(píng)價(jià)單中的問題進(jìn)行討論，交流。然后由組長(zhǎng)進(jìn)行匯總， 選出小組代表進(jìn)行發(fā)言我們一起來(lái)完成這個(gè)結(jié)論的證

6、明教師出示問題， 前兩個(gè)問題可以由學(xué)生動(dòng)手操作，并觀察結(jié)果，得到初步結(jié)論。后兩個(gè)問題作為問題情境， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣， 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。設(shè)計(jì)意圖教師循序漸進(jìn)地將一個(gè)個(gè)的問題拋出，引導(dǎo)學(xué)生一步步地進(jìn)行思考和總結(jié)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。合作交流，探究新知1. 圓的對(duì)稱性（探究） 圓是軸對(duì)稱圖形嗎？它有幾條對(duì)稱軸？分別是什么？圓的對(duì)稱性由學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)，2. 垂徑定理教師進(jìn)行板書。（思考）如圖 ：CAB 是 O 的一條弦，作直徑 CD ，O教師出示問題使 CD AB，垂足 E。E學(xué)生小組討論， 發(fā)現(xiàn)垂徑定理的AB證明方法，并由學(xué)生代表發(fā)言。培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，概括能力，分析

7、能力，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生主動(dòng)的獲得知識(shí)D這個(gè)圖形是對(duì)稱圖形嗎你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。空?qǐng)說(shuō)明理由。你能用一句話概括這些結(jié)論嗎？垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。你能用幾何方法證明這些結(jié)論嗎？ 你能用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)結(jié)論嗎？學(xué)生嘗試將文字轉(zhuǎn)變?yōu)榉?hào)語(yǔ)言，用幾何符號(hào)表達(dá)定理的邏輯關(guān)系。教師更正。教師明確定理中的條件和結(jié)論，初步理解 “知二得三” 口訣的含義。讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉垂徑定理的條件與結(jié)論，并為探索垂徑定理的推論打基礎(chǔ)3垂徑定理的推論教師提出問題， 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思如上圖，若直徑 CD平分弦 AB則考和討論。讓學(xué)生親自探索出直徑 CD是否垂直且平分弦所對(duì)

8、的學(xué)生嘗試得出垂徑定理和推論，各條推論，以使學(xué)兩條??？如何證明？教師規(guī)范并板書。生以后在應(yīng)用中可你能用一句話總結(jié)這個(gè)結(jié)論嗎？教師提醒學(xué)生此中的弦一定不明明白白不加懷疑（即推論：平分弦的直徑也垂直于能是直徑。的應(yīng)用知二推三，弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┎⑴囵B(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)如果弦 AB 是直徑，以上結(jié)論還成意識(shí)及資源共享的立嗎？意識(shí)例題示范，變式練習(xí)例 1. 如圖。在 O 中弦 AB 的長(zhǎng)為8cm，圓心 O 到 AB的距離 OD=3cm ，則在例 1 中教師可通過問題設(shè)置,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系弦、半徑、弦心距O 的半徑為cmOADB或者拱高等因素， 從而構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理解決問（ 1） 連結(jié)什么可得

9、到一個(gè)直角三形？（ 2） 利用什么知識(shí)可以解得半徑。（ 3） 從中你可總結(jié)出利用垂徑定理計(jì)算的什么技巧？例 2. 如圖，是趙州橋的幾何示意圖，若其中題。這也是解決計(jì)算問題的主要方法，教師一定要重點(diǎn)重申。垂徑定理的應(yīng)用，了解圓中輔助線的添法，并規(guī)范論證書寫過程，能利用圖形迅速獲取信息，并找出垂徑定理所需的條件，鞏固并熟練垂徑定理的使用方法CAB是橋的跨度DAB為 37.4O米, 橋拱高 CD為7.2 米 , 你能求出它所在的圓的主橋拱半徑嗎 ?此題是垂徑定理計(jì)算題中另一種題型，主要利用將垂徑定理、勾股定理、方程的知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用。教師在提示后讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，然后進(jìn)行總結(jié)， 得出結(jié)論，讓學(xué)生做

10、好筆記， 養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。靈活應(yīng)用，提高能力1. 已知：如圖 ,AB 是 O直徑， CD是弦， AE CD， BF CD.求證： ECDFBO.AECDF綜合應(yīng)用，鞏固提高課本例題涉及的問題，因此設(shè)計(jì)該分層推進(jìn)的補(bǔ)充題，鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)。2、已知：如圖，O 中 AB 為弦 C為AB 的中點(diǎn)，OC交AB 于D，AB = 6cm ， CD=1cm. 求 O 的半徑 OA.CABDO輕松過關(guān)發(fā)放 問題訓(xùn)練評(píng)價(jià)單 ，讓學(xué)生獨(dú)立完成其練習(xí)題歸納總結(jié)，形成體系通過這堂課的學(xué)習(xí)你有什么收獲 ?知道了哪些新知識(shí)？學(xué)會(huì)了做什么學(xué)生獨(dú)立練習(xí)， 而后再與同桌交流，上講臺(tái)演示， 教師要重點(diǎn)關(guān)注“學(xué)困生” 生獨(dú)立完

11、成問題評(píng)價(jià)單中的練習(xí)題，老師進(jìn)行講評(píng)， 主要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解題能力鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法學(xué)生暢所欲言， 從知識(shí)、 方和數(shù)學(xué)情感等方面法、情感態(tài)度等方面談收獲， 談 進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，培體會(huì)，并結(jié)合本節(jié)教學(xué)目標(biāo)， 發(fā) 養(yǎng)學(xué)生歸納和語(yǔ)言現(xiàn)在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)了什么， 還存在 表達(dá)能力。使學(xué)生哪些問題。的知識(shí)更加完整和清晰，形成知識(shí)體系。 24.1.2 垂徑定理及其推論教學(xué)設(shè)計(jì)問題導(dǎo)讀評(píng)價(jià)單設(shè)計(jì)者：班級(jí)：姓名：【教學(xué)目標(biāo)】根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求， 課改應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)； 應(yīng)有利于引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)；有利于進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)。因此，我把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為以下三個(gè)方面：知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性

12、； 掌握垂徑定理； 學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)的證明、 計(jì)算和作圖問題。培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、分析能力及聯(lián)想能力。方法與過程目標(biāo)：經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性， 證明垂徑定理及推論的過程， 鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)， 學(xué)習(xí)證明的方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):在學(xué)生通過觀察、操作、 變換和研究的過程中進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，創(chuàng)新意識(shí)和良好的運(yùn)用數(shù)學(xué)的習(xí)慣和意識(shí)。【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：垂徑定理及其推論的發(fā)現(xiàn)、記憶與證明。難點(diǎn)：對(duì)垂徑定理及其推論的探索和證明，并能應(yīng)用垂徑定理及推論進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算或證明。1已知 AB是 O的弦， AB8cm， OCAB 與 C，OC=3cm，則 O的半徑為cm2如圖，O 的直徑 AB垂直于

13、弦 CD，垂足為 E，若 COD 120， OEA3 厘米，則 CD厘米O3.半徑為 6cm的圓中，垂直平分半徑OA的弦長(zhǎng)為cm.CED4.過 O內(nèi)一點(diǎn) M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為6cm ，最短的弦長(zhǎng)為4cm，則 OM的長(zhǎng)B圖 4等于cm5. 如圖， AB為 O 的弦， O的半徑為 5， OC AB于點(diǎn) D，交 O于點(diǎn) C， 且 CD l ，則弦AB的長(zhǎng)是通過預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容你未解決的問題有：自我評(píng)價(jià)：小組評(píng)價(jià)：教師評(píng)價(jià)：24.1.2 垂徑定理及推論教學(xué)設(shè)計(jì)問題生成評(píng)價(jià)單請(qǐng)同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上， 將生成的問題充分交流后， 在單位時(shí)間內(nèi)完成下列題目， 并準(zhǔn)備多元化展示 .帶著問題走進(jìn)豐富多彩的數(shù)學(xué)世界1.將你

14、手中的圓沿圓心對(duì)折，你會(huì)發(fā)現(xiàn)圓是一個(gè)什么圖形？2.將手中的圓沿直徑向上折，你會(huì)發(fā)現(xiàn)折痕是圓的一條弦，這條弦被直徑怎樣了？3.一個(gè)殘缺的圓形物件，你能找到它的圓心嗎？4. 趙州橋是我國(guó)古代橋梁史的驕傲，我們能求出主橋拱的半徑嗎？分析通過上述問題，學(xué)生自己動(dòng)手操作可以得出圓是軸對(duì)稱圖形，而且對(duì)稱軸是過直徑的直線，由此我們可以得出垂徑定理及推論歸納垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理推論：平分弦 （不是直徑） 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。注意在推論里，平分的這條弦一定不能為直徑，否則推論不成立。例 1. 如圖在 O 中弦 AB 的長(zhǎng)為 8cm，圓心 O 到

15、 AB 的距離 OD=3cm ，則 O 的半徑為cm（ 1）連結(jié)什么可得到一個(gè)直角三形？（ 2）利用什么知識(shí)可以解得半徑。（ 3）從中你可總結(jié)出利用垂徑定理計(jì)算的什么技巧？例 2. 如圖，是趙州橋的幾何示意圖，若其中 AB是橋的跨度為 37.4 米, 橋拱高CCD為 7.2 米 , 你能求出它所在的圓的主OADB橋拱半徑嗎 ?DABO小組評(píng)價(jià)：教師評(píng)價(jià)：24.1.2 垂徑定理及推論教學(xué)設(shè)計(jì)問題訓(xùn)練評(píng)價(jià)單設(shè)計(jì)者：班級(jí)：姓名：1如圖 1， O的直徑為10，圓心 O到弦 AB的距離 OM的長(zhǎng)為 3，那么弦AB的長(zhǎng)是（）A4B6C7D82. 如圖， O的半徑為 5，弦 AB的長(zhǎng)為 8，M是弦 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段 OM長(zhǎng)的最小值為（）A2B3C4D53下列命題中，正確的是（）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦C弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心D在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)的弦的直線必經(jīng)過這個(gè)圓的圓心4. 如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為 24米，拱的半徑為13 米，則拱高為()A5米B8米C7米D53米5 O的半徑為A 1 cmB5cm，弦 7cmAB/CD，且 AB=8cm,CD=6cm,則 AB與C 3 cm 或 4 cmD 1cmCD之間的距離為或 7cm()6. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P 為圓心