平方差公式與完全平方公式講解與例題

1、8.3完全平方公式與平方差公式1了解乘法公式的幾何背景，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，并能熟練運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算2感受生活中兩個乘法公式存在的意義，養(yǎng)成“觀察歸納概括”的數(shù)學(xué)能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和運(yùn)用知識解決問題的能力，進(jìn)一步增強(qiáng)符號感和推理能力1完全平方公式(1)完全平方公式：(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2.上式用語言敘述為：兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和加(或減)這兩個數(shù)乘積的2倍(2)完全平方公式的證明：(a±b)2(a±b)(a±b)a2±ab±abb2(多項式乘多項式)a2&#

2、177;2abb2(合并同類項)(3)完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是一個二項式的完全平方，右邊是一個二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍可簡單概括為“首平方，尾平方，積的2倍夾中央”公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式對于符合兩數(shù)和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式計算【例11】用完全平方公式計算(1)(x2y)2；(2)(2a5)2；(3)(2st)2；(4)(3x4y)2；(5)(2xy3z)2.分析：第(1)、(2)兩題可直接用和、差平方公式計算；第(3)題可先把它變成(t2s)2，然后再計算，也可以把2s看成一項，用和平方公式計算

3、；第(4)題可看成3x與4y差的平方，也可以看成3x與4y和的平方；(5)可把2xy看成一項，用差平方公式計算，然后再用和平方公式計算，也可以把它看成2x與y3z的和平方，再用差平方公式計算解：(1)(x2y)2x22·x·2y(2y)2x24xy4y2；(2)(2a5)2(2a)22·2a·5524a220a25；(3)(2st)2(t2s)2t22·t·2s(2s)2t24ts4s2；(4)(3x4y)2(3x)22·(3x)·4y(4y)29x224xy16y2；(5)(2xy3z)22x(y3z)2(2x)

4、22·2x·(y3z)(y3z)24x24xy12xzy22·y·3z(3z)24x2y29z24xy12xz6yz.(1)千萬不要與公式(ab)2a2b2混淆，發(fā)生類似(a±b)2a2±b2的錯誤；(2)切勿把“乘積項”2ab中的2漏掉；(3)計算時，應(yīng)先觀察所給題目的特點(diǎn)是否符合公式的條件，如符合，則可以直接套用公式進(jìn)行計算；如不符合，應(yīng)先變形，使其具備公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，再利用公式進(jìn)行計算，如變形后仍不具備公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則應(yīng)運(yùn)用乘法法則進(jìn)行計算此外，在運(yùn)用公式時要靈活，如第(4)題，由于(3x4y)2與(3x4y)2是相等關(guān)系，故

5、可以把(3x4y)2轉(zhuǎn)化為(3x4y)2，再進(jìn)行計算，再如(5)題，也有許多不同的方法(4)完全平方公式的幾何解釋如圖是對(ab)2a22abb2幾何意義的闡釋大正方形的面積可以表示為(ab)2，也可以表示為SSSSS，又S，S，S，S分別等于a2，ab，ab，b2，所以Sa2ababb2a22abb2.從而驗(yàn)證了完全平方公式(ab)2a22abb2.如圖是對(ab)2a22abb2幾何意義的闡釋正方形的面積可以表示為(ab)2，也可以表示為SS大SSS，又S大，S，S，S分別等于a2，ab，b2，ab，所以Sa2ababb2a22abb2.從而驗(yàn)證了完全平方公式(ab)2a22abb2.【例

6、12】下圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中的空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關(guān)于a，b的恒等式：_.解析：根據(jù)圖中的面積寫一個恒等式，需要用兩種方法表示空白正方形的面積首先觀察大正方形是由四個矩形和一個空白正方形組成，所以空白正方形的面積等于大正方形的面積減去四個矩形的面積，即(ab)24ab，空白正方形的面積也等于它的邊長的平方，即(ab)2，根據(jù)面積相等有(ab)24ab(ab)2.答案：(ab)24ab(ab)22平方差公式(1)平方差公式：(ab)(ab)a2b2.上式用語言敘述為：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差(2)平方差公式的證明：(ab)(ab)

7、a2ababb2(多項式乘多項式)a2b2(合并同類項)(3)平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項的平方差(相同項的平方減去互為相反數(shù)項的平方)；公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式利用此公式進(jìn)行乘法計算時，應(yīng)仔細(xì)辨認(rèn)題目是否符合公式特點(diǎn)，不符合平方差公式形式的兩個二項式相乘，不能用平方差公式如(ab)(a2b)不能用平方差公式計算【例21】計算：(1)(3x2y)(3x2y)；(2)(mn)(mn)；(3)(2x3)(2x3)分析：(1)本題符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，其中3x對應(yīng)“a”，2y對應(yīng)“b”；(2)題中相

8、同項為m，互為相反數(shù)的項為n與n，故本題也符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；(3)利用加法交換律將原式變形為(32x)(32x)，然后運(yùn)用平方差公式計算解：(1)(3x2y)(3x2y)(3x)2(2y)29x24y2.(2)(mn)(mn)(m)2n2.(3)(2x3)(2x3)(32x)(32x)(3)2(2x)294x2.利用公式計算，關(guān)鍵是分清哪一項相當(dāng)于公式中的a，哪一項相當(dāng)于公式中的b，通常情況下，為防止出錯，利用公式前把相同項放在前面，互為相反數(shù)的項放在后面，然后套用公式(4)平方差公式的幾何解釋如圖，陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積，即a2b2；若把小長方形旋轉(zhuǎn)

9、到小長方形的位置，則此時的陰影部分的面積又可以看成SSSS(ab)(ab)從而驗(yàn)證了平方差公式(ab)(ab)a2b2.【例22】下圖由邊長為a和b的兩個正方形組成，通過用不同的方法，計算圖中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的一個乘法公式是_分析：要表示陰影部分的面積，可以從兩個方面出發(fā)：一是觀察陰影部分是由邊長為a的正方形除去邊長為b的正方形得到的，所以它的面積等于a2b2；二是陰影部分是由兩個直角梯形構(gòu)成的，所以它的面積又等于兩個梯形的面積之和這兩個梯形的面積都等于(ba)(ab)，所以梯形的面積和是(ab)(ab)，根據(jù)陰影部分的面積不變，得(ab)(ab)a2b2.因此驗(yàn)證的一個乘法公式是(a

10、b)(ab)a2b2.答案：(ab)(ab)a2b23運(yùn)用乘法公式簡便計算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式運(yùn)算的基礎(chǔ)，而且在許多的數(shù)字運(yùn)算中也有廣泛地運(yùn)用不少數(shù)字計算題看似與平方差公式、完全平方公式無關(guān)，但若根據(jù)數(shù)字的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活巧妙地運(yùn)用平方差公式、完全平方公式，常可以使運(yùn)算變繁為簡，化難為易解答此類題，關(guān)鍵是分析數(shù)的特點(diǎn)，看能否將數(shù)改寫成兩數(shù)和的形式及兩數(shù)差的形式，若改寫成兩數(shù)和的形式乘以兩數(shù)差的形式，則用平方差公式；若改寫成兩數(shù)和的平方形式或兩數(shù)差的平方形式，則用完全平方公式【例3】計算：(1)2 01322 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(

11、1)2 0142 0131,2 0122 0131，正好符合平方差公式，可利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算；(2)可將1032改寫為(1003)2，利用兩數(shù)和的平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算；(3)可將1982改寫為(2002)2，利用兩數(shù)差的平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算解：(1)2 01322 014×2 0122 0132(2 0131)×(2 0131)2 0132(2 013212)2 01322 013211.(2)1032(1003)210022×100×33210 000600910 613.(3)1982(2002)220022×200×22

12、240 000800439 204.4利用乘法公式化簡求值求代數(shù)式的值時，一般情況是先化簡，再把字母的值代入化簡后的式子中求值在化簡的過程中，合理地利用乘法公式能使整式的運(yùn)算過程變得簡單在代數(shù)式化簡過程中，用到平方差公式及完全平方公式時，要特別注意應(yīng)用公式的準(zhǔn)確性【例4】先化簡，再求值：5(mn)(mn)2(mn)23(mn)2，其中m2，n.解：5(mn)(mn)2(mn)23(mn)25(m2n2)2(m22mnn2)3(m22mnn2)5m25n22m24mn2n23m26mn3n210n22mn.當(dāng)m2，n時，原式10n22mn10×22×(2)×.5乘法

13、公式的運(yùn)用技巧一些多項式的乘法或計算幾個有理數(shù)的積時，表面上看起來不能利用乘法公式，實(shí)際上經(jīng)過簡單的變形后，就能直接運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計算了有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂嬎愀啽阍谶\(yùn)用平方差公式時，注意以下幾種常見的變化形式：位置變化：(ba)(ba)a2b2.符號變化：(ab)(ab)(a)2b2a2b2.系數(shù)變化：(0.5a3b)(0.5a3b)(0.5a)2(3b)2.指數(shù)變化：(a2b2)(a2b2)(a2)2(b2)2a4b4.增項變化：(abc)(abc)(ab)2c2，(abc)(abc)a2(bc)2.增因式變化：(ab)(ab)(ab)(ab)(a

14、2b2)(a2b2)(a2b2)2.連用公式變化：(ab)(ab)(a2b2)(a4b4)a8b8.【例51】計算：(1)(ab1)(ab1)；(2)(m2np)2；(3)(2x3y)2(2x3y)2.解：(1)(ab1)(ab1)(ab)1(ab)1(ab)21a22abb21.(2)(m2np)2(m2n)p2(m2n)22·(m2n)·pp2m24mn4n22mp4npp2.(3)(2x3y)2(2x3y)2(2x3y)(2x3y)2(4x29y2)2(4x2)22×4x2×9y2(9y2)216x472x2y281y4.在運(yùn)用平方差公式時，應(yīng)分清

15、兩個因式是否是兩項之和與差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否則不能用；完全平方公式就是求一個二項式的平方，其結(jié)果是一個三項式，在計算時不要發(fā)生：(ab)2a2b2或(ab)2a2b2這樣的錯誤；當(dāng)因式中含有三項或三項以上時，要適當(dāng)?shù)姆纸M，看成是兩項，從而應(yīng)用平方差公式或完全平方公式【例52】計算：(21)(221)(241)(281)(22n1)的值分析：為了能便于運(yùn)用平方差公式，觀察到待求式中都是和的形式，沒有差的形式，可設(shè)法構(gòu)造出差的因數(shù)，于是可乘以(21)，這樣就可巧妙地運(yùn)用平方差公式了解：(21)(221)(241)(281)(22n1)(21)(21)(221)(241)(281

16、)(22n1)(221)(221)(241)(281)(22n1)(241)(241)(281)(22n1)(22n1)(22n1)24n1.6乘法公式的實(shí)際應(yīng)用在解決生活中的實(shí)際問題時，經(jīng)常把其中的一個量或幾個量先用字母表示，然后列出相關(guān)式子，進(jìn)而化簡，這往往涉及到整式的運(yùn)算解題時，靈活運(yùn)用乘法公式，往往能事半功倍，使問題得到快速解答【例6】一個正方形的邊長增加3 cm，它的面積就增加39 cm2，這個正方形的邊長是多少？分析：如果設(shè)原正方形的邊長為x cm，根據(jù)題意和正方形的面積公式可列出方程(x3)2x239，求解即可解：設(shè)原正方形的邊長為x cm，則(x3)2x239，即x26x9x2

17、39，解得x5(cm)故這個正方形的邊長是5 cm.7完全平方公式的綜合運(yùn)用學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”，注意為使用公式創(chuàng)造條件(1)完全平方公式變形后可得到以下一些新公式：a2b2(ab)22ab；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab)24ab；(ab)2(ab)24ab；(ab)2(ab)22(a2b2)；(ab)2(ab)24ab等在公式(a±b)2a2±2abb2中，如果把a(bǔ)b，ab和a2b2分別看做一個整體，則知道了其中兩個就可以求第三個(2)注意公式的逆用不僅會熟練地正用公式，而且也要求會逆用公式，乘法公式均可逆用，特別是完全平方公式的逆用a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2.【例71】已知a2b24a2b50，則的值是_解析：原等式可化為(a24a4)(b22b1)0，即(a2)2(b1)20，根據(jù)