二次函數(shù)與三角形的面積問題

1、二次函數(shù)與三角形的面積問題【教學目標】 1.能夠根據(jù)二次函數(shù)中不同圖形的特點選擇合適的方法解答圖形的面積。 2.通過觀察、分析、概括、總結(jié)等方法了解二次函數(shù)面積問題的基本類型，并掌握二次函數(shù)中面積問題的相關(guān)計算，從而體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用。 3.掌握利用二次函數(shù)的解析式求出相關(guān)點的坐標，從而得出相關(guān)線段的長度，利用割補方法求圖形的面積?！窘虒W重點和難點】 1.運用； 2.運用； 3.將不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則圖形，從而便于求出圖形的總面積?！窘虒W過程】 類型一：三角形的某一條邊在坐標軸上或者與坐標軸平行 例1.已知：拋物線的頂點為D（1，-4），并經(jīng)過點E（4，5），求:

2、（1）拋物線解析式； （2）拋物線與x軸的交點A、B，與y軸交點C； （3）求下列圖形的面積ABD、ABC、ABE、OCD、OCE。 解題思路：求出函數(shù)解析式_；寫出下列點的坐標：A_；B_；C_；求出下列線段的長：AO_；BO_；AB_；OC_。求出下列圖形的面積ABD、ABC、ABE、OCD、OCE。 一般地，這類題目的做題步驟：1.求出二次函數(shù)的解析式；2.求出相關(guān)點的坐標；3.求出相關(guān)線段的長；4.選擇合適方法求出圖形的面積。xABOCyP 變式訓練1.如圖所示，已知拋物線與軸相交于兩點A， B，與軸負半軸相交于點C，若拋物線頂點P的橫坐標是1，A、 B兩點間的距離為4，且ABC的面積

3、為6。（1） 求點A和B的坐標；（2） 求此拋物線的解析式；（3）求四邊形ACPB的面積。 類型二：三角形三邊均不與坐標軸軸平行，做三角形的鉛垂高。（歪歪三角形攔腰來一刀）BC鉛垂高水平寬h a 圖1 關(guān)于的知識點：如圖1，過ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. 想一想：在直角坐標系中，水平寬如何求？鉛垂高如何求？圖-2xCOyABD11例2如圖2，拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于

4、點A(3,0)，交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)PA，PB，當P點運動到頂點C時，求CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.解題思路：求出直線AB的解析式是為了求出D點的縱坐標；鉛垂高，注意線段的長度非負性；分析P點在直線AB的上方還是下方? 變式訓練2.如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線

5、的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.CBAOyxDBAOyxP 變式訓練3.如圖，拋物線與x軸交于A(1,0),B(- 3，0)兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標

6、及PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由. 一般地，所謂的鉛垂高度，實際上就是橫坐標相同的兩個點的縱坐標差的絕對值，數(shù)學表達式為。為了保證這個差值是正數(shù)，同學們可以用在鉛垂線上靠上點的縱坐標減去靠下點的縱坐標.因此，求出點D的坐標，是求鉛垂高度CD的關(guān)鍵； 所謂的水平寬，實際上就是，兩個點的橫坐標差的絕對值，數(shù)學表達式為.為了保證這個差值是正數(shù)，同學們可以用這兩個靠右點的橫坐標減去靠左點的橫坐標.因此，求出點A、B的坐標，是求水平寬的關(guān)鍵. 在解這類存在性問題時，通常先假設(shè)所要的點是存在的，然后利用給出的條件，認真加以推理求解.【自主練習】1已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將AO

7、C沿AC翻折得APC。（1）填空：PCB=_度，P點坐標為（ ， ）；（2）若P，A兩點在拋物線y=x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；（3）在（2）中的拋物線CP段（不包括C，P點）上，是否存在一點M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時M點的坐標；若不存在，請說明理由。第1題圖2如圖， 已知拋物線（a0）與軸交于點A(1，0)和點B (3，0)，與y軸交于點C(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點M ，問在對稱軸上是否存在點P，使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由(3) 如圖，

8、若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標 圖 圖3. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.（1）求這個二次函數(shù)的表達式（2）連結(jié)PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.4如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個交點分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為DE（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分