二次函數(shù)復(fù)習專題講義52547

1、 二次函數(shù)【知識清單】一、網(wǎng)絡(luò)框架二、清單梳理1、一般的，形如的函數(shù)叫二次函數(shù)。例如等都是二次函數(shù)。注意：系數(shù)不能為零，可以為零。2、二次函數(shù)的三種解析式（表達式）一般式：頂點式：，頂點坐標為交點式：3、二次函數(shù)的圖像位置與系數(shù)之間的關(guān)系：決定拋物線的開口方向及開口的大小。當時，開口方向向上；當時，開口方向向下。決定開口大小，當越大，則拋物線的開口越?。划斣叫?，則拋物線的開口越大。反之，也成立。：決定拋物線與軸交點的位置。當時，拋物線與軸交點在軸正半軸（即軸上方）；當時，拋物線與軸交點在軸負半軸（即軸下方）；當時，拋物線過原點。反之，也成立。 ：共同決定拋物線對稱軸的位置。當時，對稱軸在軸右邊

2、；當時，對稱軸在軸左邊；當（即當時）對稱軸為軸。反之，也成立。特別：當時，有；當，有。反之也成立。4、二次函數(shù)的圖像可由拋物線向上（向下），向左（向右）平移而得到。具體為：當時，拋物線向右平移個單位；當時，拋物線向左平移個單位，得到；當時，拋物線再向上平移個單位，當時，拋物線再向下平移個單位，而得到的圖像。5、拋物線與一元二次方程的關(guān)系：若拋物線與軸有兩個交點，則一元二次方程有兩個不相等的實根。若拋物線與軸有一個交點，則一元二次方程有兩個相等的實根（即一根）。若拋物線與軸無交點，則一元二次方程沒有實根。6、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)關(guān)系式圖像形狀拋物線頂點坐標對稱軸增減性在圖像對稱軸左側(cè)，即或，隨的

3、增大而減??；在圖像對稱軸右側(cè)，即或，隨的增大而增大；在圖像對稱軸左側(cè)，即或，隨的增大而增大；在圖像對稱軸右側(cè)，即或，隨的增大而減小；最大值最小值當時，當時，當時，當時，【考點解析】考點一：二次函數(shù)的概念【例1】下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（ ） 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可做出判斷，中符合的形式，所以是二次函數(shù)，分別是一次函數(shù)和反比例函數(shù)，中右邊不是整式，顯然不是二次函數(shù)?！敬鸢浮俊纠?】已知函數(shù)是二次函數(shù)，則?！窘馕觥扛鶕?jù)二次函數(shù)的定義，只需滿足兩個條件即可“二次項系數(shù)不為零，且的最高次數(shù)為”。故有，解得，綜上所述，取1。【答案】1【針對訓練】1、 若函數(shù)是二次函數(shù)，則該函數(shù)的表達式為?？键c二

4、：待定系數(shù)法在求解二次函數(shù)解析式中的應(yīng)用【例1】已知點在二次函數(shù)的圖象上，則的值是（） 【解析】因為點在二次函數(shù)的圖象上，所以將點代入二次函數(shù)中，可以得出，則可得，【答案】【例2】（2011，泰安）若二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表，則當時，的值為（） 【解析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為，因為當或時，由拋物線的對稱性可知，所以，把代入得，所以二次函數(shù)的解析式為，當時，。 【答案】【針對訓練】1、 (2002年太原)過,三點的拋物線的頂點坐標是（） 2、無論為何實數(shù)，二次函數(shù)的圖象總是過定點（ ） 【例3】（2010，石家莊一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象頂點為，且過點，則與的函數(shù)關(guān)系

5、式為（） 【解析】設(shè)這個二次函數(shù)的關(guān)系式為，將代入得，解得：，故這個二次函數(shù)的關(guān)系式是，【答案】【針對訓練】1、 二次函數(shù)的頂點為，則二次函數(shù)的解析式為_.【例4】二次函數(shù)過點，則二次函數(shù)的解析式為_?？键c三：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（與系數(shù)的關(guān)系）【例1】（2012，蘭州）已知二次函數(shù)有最小值1，則、的大小關(guān)系為（ ） 不能確定【考點】涉及二次函數(shù)頂點坐標和最值【解析】因為二次函數(shù)有最小值1，所以，所以?！敬鸢浮俊踞槍τ柧殹?1、二次函數(shù)的最小值是 。2、（2013，蘭州）二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（ ） 3、拋物線的頂點坐標是（ ） 【例2】（2012，蘭州）拋物線可以由拋物線平移得

6、到，則下列平移過程正確的是（ ）先向左平移2個單位，再向上平移3個單位先向左平移2個單位，再向下平移3個單位先向右平移2個單位，再向下平移3個單位先向右平移2個單位，再向上平移3個單位【考點】涉及函數(shù)平移問題【解析】拋物線向左平移2個單位可得到拋物線，再向下平移3個單位可得到拋物線?！敬鸢浮俊踞槍τ柧殹?1、（2012，南京）已知下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）。其中，圖象通過平移可以得到函數(shù)的圖象的有 （填寫所有正確選項的序號）。2、（2009，上海）將拋物線向上平移一個單位后，得到新的拋物線，那么新的拋物線的表達式是 。3、將拋物線向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是（ ） 4、將拋

7、物線向下平移3個單位，在向左平移4個單位得到拋物線，則原拋物線的頂點坐標是_?！纠?】（2013，長沙）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式錯誤的是（ ） 【考點】圖像與系數(shù)的關(guān)系【解析】觀察題中圖象可知，拋物線的開口方向向上，拋物線與軸的交點在軸的正半軸上，與軸有兩個交點，所以，且當時，。顯然選項A、B、C都正確，只有選項D錯誤。 【答案】【例4】（2011，山西）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）方程的兩根是，當時，隨的增大而減小【考點】圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【解析】由圖象可知，故A錯誤；因?qū)ΨQ軸為直線，所以，故C錯誤；由圖象可知當時，隨的增大而增大，故D錯誤

8、；由二次函數(shù)的對稱性可知B選項正確，【答案】【針對訓練】 1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖象可能是（ ） 2、（2011，重慶）已知拋物線在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（ ） 3、在反比例函數(shù)中，當時，隨的增大而減小，則二次函數(shù)的圖象大致是（ ） 4、如圖所示，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，且與軸的交點的橫坐標分別為，其中，下列結(jié)論：；，其中正確的選項有_?！纠?】已知關(guān)于的函數(shù)，求當時函數(shù)的最大值和最小值【針對訓練】1、 已知函數(shù)，試求當?shù)淖畲笾岛妥钚≈?、 已知函數(shù)，試求當?shù)淖畲笾岛妥钚≈怠纠?】已知二次函數(shù)其中滿足和，則該二次

9、函數(shù)的對稱軸是直線_。【針對訓練】1、 已知是二次函數(shù)的圖像上的兩點，則當時，二次函數(shù)的值是_.【例7】已知二次函數(shù)，當時，的值隨值的增大而增大，則實數(shù)的取值范圍是_?！踞槍τ柧殹?、 若二次函數(shù)，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是_。講到這兒了考點四：二次函數(shù)的實際應(yīng)用【例1】（2011，重慶）某企業(yè)為重慶計算機產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件，受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價格一路攀升，每件配件的原材料價格（元）與月份（，且取整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：月份123456789價格（元/件）560580600620640660680700720隨著國家調(diào)控措施的出臺，原材料價格的漲勢

10、趨緩，10至12月每件配件的原材料價格（元）與月份（1012，且取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢：（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出與之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；（2）若去年該配件每件的售價為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其它成本30元，該配件在1至9月的銷售量（萬件）與月份滿足函數(shù)關(guān)系式（19，且取整數(shù)）10至12月的銷售量（萬件）與月份滿足函數(shù)關(guān)系式（1012，且取整數(shù)）求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；（3）今年1至5月，每件配件的原材料價格均比去年12

11、月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其它成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價在去年的基礎(chǔ)上提高，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成了1至5月的總利潤1700萬元的任務(wù)，請你參考以下數(shù)據(jù)，估算出的整數(shù)值（參考數(shù)據(jù)：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考點】涉及函數(shù)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，用函數(shù)的觀點來解決問題，綜合性比較強，一般還涉及不等式，最值問題?！窘馕觥浚?）把表格（1）中任意2點的坐標代入直線解析式可得的解析式把（10，730）（12，750）代入直線解析式可得的解析式，

12、；（2）分情況探討得：19時，利潤=（售價各種成本）；1012時，利潤=（售價各種成本）；并求得相應(yīng)的最大利潤即可；（3）根據(jù)1至5月的總利潤1700萬元得到關(guān)系式求值即可。解：（1）設(shè)，則，解得，（19，且取整數(shù)）；設(shè)，則，解得，（1012，且取整數(shù)）；（2）設(shè)去年第月的利潤為元19，且取整數(shù)時=4時，最大=450元；1012，且取整數(shù)時，=10時，最大=361元；（3）去年12月的銷售量為0.112+2.9=1.7（萬件），今年原材料價格為：750+60=810（元）今年人力成本為：50（1+20%）=60元51000（1+）81060301.7（10.1）=1700，設(shè)，整理得，解得94

13、01更接近于9409，0.1，9.8，10或980，1.7（10.1）1，10【答案】（1）（1012，且取整數(shù)）；（2）=10時，最大=361元；（3）10【針對訓練】1、（2013湖北孝感）在“母親節(jié)”前夕，我市某校學生積極參與“關(guān)愛貧困母親”的活動，他們購進一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親。經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，若每件按24元的價格銷售時，每天能賣出36件；若每件按29元的價格銷售時，每天能賣出21件假定每天銷售件數(shù)y（件）與銷售價格x（元/件）滿足一個以x為自變量的一次函數(shù)。（1）求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）在不積壓且不考慮

14、其他因素的情況下，銷售價格定為多少元時，才能使每天獲得的利潤最大？【例2】（2010，孝感）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，0），直線與二次函數(shù)的圖象交于兩點，其中點在軸上（1）二次函數(shù)的解析式為= ；（2）證明點不在（1）中所求的二次函數(shù)的圖象上；（3）若為線段的中點，過點作軸于點，與二次函數(shù)的圖象交于點軸上存在點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，則K點的坐標是 ；二次函數(shù)的圖象上是否存在點，使得？求出點坐標；若不存在，請說明理由【考點】考察函數(shù)的圖像與性質(zhì)，與平面圖形綜合為主，一般涉及存在性問題和動點問題?！窘馕觥浚?）由二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，故根據(jù)拋物線的頂點式寫出拋物線解析

15、式（2）把該點代入拋物線上，得到的一元二次方程，求根的判別式（3）由直線與二次函數(shù)的圖象交于兩點，解得兩點坐標，求出點坐標，設(shè)點坐標，使為頂點的四邊形是平行四邊形，則，且，進而求出點的坐標過點作軸于，則，又為中點，求得點坐標，可得到，設(shè)，由題意可以解出（1）解：（2）證明：設(shè)點在二次函數(shù)的圖象上，則有：，整理得，原方程無解，點不在二次函數(shù)的圖象上（3）解：或二次函數(shù)的圖象上存在點，使得，如圖，過點作軸于，則，又為中點，由于和可求得點 軸，設(shè)，由題意得：解得或，當時，當時，存在點和，使得【答案】（1）； （2）見上述解答過程； （3）存在，點和【例3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，

16、與軸的另一個交點為。（1） 求拋物線的函數(shù)表達式；（2） 點在對稱軸的右側(cè)、軸上方的拋物線上，且，求點的坐標；（3） 在（2）的條件下，連接，交拋物線對稱軸于點，連接。判斷四邊形的形狀，并說明理由；點是的中點，點是直線上的一個動點，且點和點不重合，當時，請直接寫出線段的長【答案】（1）（2）（3）平行四邊形；或【針對訓練】1、（2012，泉州）如圖，為坐標原點，直線l繞著點旋轉(zhuǎn)，與經(jīng)過點的二次函數(shù)的圖象交于不同的兩點（1）求的值；（2）通過操作、觀察，算出的面積的最小值（不必說理）；（3）過點作直線，與軸交于點，試問：在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊

17、形的形狀【基礎(chǔ)闖關(guān)】1、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么這個函數(shù)的解析式為。 2、已知二次函數(shù)，則函數(shù)的最小值是。3、把拋物線向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為。4、（2011，濟寧）將二次函數(shù)化成的形式，則。5、（2006，陜西）如圖，拋物線的函數(shù)表達式是（） 6、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（ ） 7、（2013，蘭州）二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（ ）（1，3） （，3） （1，） （，）8、（2013，泰安）對于拋物線，下列結(jié)論：拋物線的開口向下；對稱軸為直線；頂點坐標為（1，3）；時，隨的增大而減小，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（） 1 2 3 49、（2013，貴陽）已知：直線

18、過拋物線的頂點，如圖所示（1）頂點的坐標是_（2）若直線經(jīng)過另一點（0，11），求出該直線的表達式；（3）在（2）的條件下，若有一條直線與直線關(guān)于軸成軸對稱，求直線與拋物線的交點坐標10、（2010，虹口區(qū)一模）已知二次函數(shù)，解答下列問題：（1）用配方法將該函數(shù)解析式化為的形式；（2）指出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸，以及它的變化情況【拓展提高】1、將二次函數(shù)的圖象沿軸向上平移3個單位，那么平移后的二次函數(shù)圖象的頂點坐標是 。2、若拋物線的最低點的縱坐標為，則的值是 。3、拋物線的頂點坐標是，且過點，那么二次函數(shù)的解析式為（） 4、（2010，蘭州）拋物線圖象向右平移2個單位再向下平

19、移3個單位，所得圖象的解析式為，則、的值為（ ） ， ， ， ，5、（2010，蘭州）拋物線圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（ ） 6、（2012，南寧）如圖，在平面直角坐標系中，有兩條位置確定的拋物線，它們的對稱軸相同，則下列關(guān)系不正確的是（） k=n h=m kn h0，k0 7、（2010，北京）將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為（ ） 8、（2012，重慶）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進行處理某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時進行1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1（噸）與月份（16，且取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表： 月份x（月） 1 23 45 6 輸送的污水量y1（噸） 12000 6000 4000 3000 24002000 7