P03機(jī)械轉(zhuǎn)子陀螺儀-二自由度

1、.1機(jī)械轉(zhuǎn)子式陀螺儀的概述機(jī)械轉(zhuǎn)子式陀螺儀的概述陀螺的基本部件陀螺的基本部件 陀螺轉(zhuǎn)子陀螺轉(zhuǎn)子(Rotator) 內(nèi)、外框架內(nèi)、外框架(Gimbal)（支承部件）（支承部件） 附件（電機(jī)、力矩器、傳感器等）附件（電機(jī)、力矩器、傳感器等）陀螺的分類（機(jī)械轉(zhuǎn)子式）陀螺的分類（機(jī)械轉(zhuǎn)子式） 二自由度二自由度(Two-Degree-of-Freedom) 單自由度單自由度(Single-Degree-of-Freedom)（速率（速率 、積分）、積分）.2二自由度陀螺儀進(jìn)動(dòng)性：演示二自由度陀螺儀進(jìn)動(dòng)性：演示進(jìn)動(dòng)性進(jìn)動(dòng)性(Proceeding)轉(zhuǎn)子沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)子沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，給陀螺懸掛重物給陀螺懸掛重物

2、 錄像：轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)的陀螺懸掛重物錄像：轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)的陀螺懸掛重物 .3進(jìn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)動(dòng)的規(guī)律錄像：沿著陀螺儀外框架軸施加力矩錄像：沿著陀螺儀外框架軸施加力矩進(jìn)動(dòng)性進(jìn)動(dòng)性：陀螺儀受到外力矩時(shí)，陀螺儀受到外力矩時(shí)，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與外力矩轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與外力矩方向相垂直的現(xiàn)象方向相垂直的現(xiàn)象進(jìn)動(dòng)、進(jìn)動(dòng)角速度進(jìn)動(dòng)、進(jìn)動(dòng)角速度 .4用動(dòng)量矩定理解釋進(jìn)動(dòng)：近似推導(dǎo)用動(dòng)量矩定理解釋進(jìn)動(dòng)：近似推導(dǎo)動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 MdtdHH 的近似表示的近似表示： kJHz動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 + 苛氏定律苛氏定律 MHdtHddtdHHM此即二自由度陀螺儀的進(jìn)動(dòng)方程此即二自由度陀螺儀的進(jìn)動(dòng)方程 .5進(jìn)動(dòng)角

3、速度的方向和大小進(jìn)動(dòng)角速度的方向和大小進(jìn)動(dòng)角速度的方向：最短路徑法則進(jìn)動(dòng)角速度的方向：最短路徑法則 （H 沿最短路徑趨向沿最短路徑趨向 M）進(jìn)動(dòng)角速度的大小進(jìn)動(dòng)角速度的大?。焊鶕?jù)根據(jù) M = H，寫成標(biāo)量形式，寫成標(biāo)量形式： M = Hsin 因此因此 = M /（Hsin）進(jìn)動(dòng)角速度大小與外力矩的大小成正比，與轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩的大小進(jìn)動(dòng)角速度大小與外力矩的大小成正比，與轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩的大小成反比成反比。.6陀螺動(dòng)力效應(yīng)：陀螺力矩陀螺動(dòng)力效應(yīng)：陀螺力矩外加力矩外加力矩 HM陀螺力矩陀螺力矩(Gyro Torque)：反作用力矩反作用力矩 HHMg陀螺力矩的方向判斷陀螺力矩的方向判斷陀螺力矩的作用對(duì)象

4、陀螺力矩的作用對(duì)象 .7陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)外框架有效陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)外框架有效.8陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)內(nèi)框架無(wú)效陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)內(nèi)框架無(wú)效.9定軸性：不通電時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)基座定軸性：不通電時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)基座錄像錄像(61s)(61s)：陀螺不通電時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)基座：陀螺不通電時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)基座.10定軸性：通電后轉(zhuǎn)動(dòng)基座定軸性：通電后轉(zhuǎn)動(dòng)基座錄像錄像(35s)(35s)：通電后，轉(zhuǎn)動(dòng)基座：通電后，轉(zhuǎn)動(dòng)基座.11定軸性：不通電時(shí)敲打框架定軸性：不通電時(shí)敲打框架錄像錄像(26s)(26s) ：不通電時(shí)，敲打框架不通電時(shí)，敲打框架 .12定軸性：通電后敲打框架定軸性：通電后敲打框架錄像錄像(35s)(

5、35s) ：通電后，敲打框架通電后，敲打框架.13定軸性總結(jié)；漂移、章動(dòng)定軸性總結(jié)；漂移、章動(dòng)二自由度陀螺儀二自由度陀螺儀的定軸性的定軸性二自由度陀螺儀具有抵抗干二自由度陀螺儀具有抵抗干擾力矩，力圖保持其自轉(zhuǎn)軸擾力矩，力圖保持其自轉(zhuǎn)軸相對(duì)慣性空間方位不變的特相對(duì)慣性空間方位不變的特性（定軸性、或穩(wěn)定性）。性（定軸性、或穩(wěn)定性）。 定軸性的相對(duì)性定軸性的相對(duì)性( (一一) )：陀螺漂移：陀螺漂移 d = Md / H 定軸性的相對(duì)性定軸性的相對(duì)性( (二二) )：章動(dòng)：章動(dòng)(Nutation)現(xiàn)象現(xiàn)象陀螺受沖擊力矩時(shí)，自轉(zhuǎn)軸將在原來(lái)的空陀螺受沖擊力矩時(shí)，自轉(zhuǎn)軸將在原來(lái)的空間方位附近作錐形振蕩運(yùn)動(dòng)

6、間方位附近作錐形振蕩運(yùn)動(dòng) .14章動(dòng)錄像章動(dòng)錄像錄像錄像（20s20s）：二自由度陀螺的章動(dòng)：二自由度陀螺的章動(dòng)(nutation)現(xiàn)象現(xiàn)象.15二自由度陀螺二自由度陀螺 運(yùn)動(dòng)方程：初步分析運(yùn)動(dòng)方程：初步分析從定性到定量：引入坐標(biāo)系從定性到定量：引入坐標(biāo)系 外、內(nèi)框架和轉(zhuǎn)子外、內(nèi)框架和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系坐標(biāo)系任務(wù)任務(wù)：描述當(dāng)沿著內(nèi)外框架軸描述當(dāng)沿著內(nèi)外框架軸施加力矩時(shí)，陀螺框架角施加力矩時(shí)，陀螺框架角、的的變化規(guī)律變化規(guī)律方法方法：動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 + 苛氏定律苛氏定律 .16二自由度陀螺二自由度陀螺 運(yùn)動(dòng)方程：矢量表示運(yùn)動(dòng)方程：矢量表示轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：分解轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：分解表示表示內(nèi)框架坐

7、標(biāo)系的牽連角速度內(nèi)框架坐標(biāo)系的牽連角速度： kjizyx轉(zhuǎn)子相對(duì)內(nèi)框架的角速度轉(zhuǎn)子相對(duì)內(nèi)框架的角速度：ks轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度： kjizyx)(轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩： kJjJiJHzzyyxx)(.17二自由度陀螺二自由度陀螺 運(yùn)動(dòng)方程：推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程：推導(dǎo)根據(jù)動(dòng)量矩定理和苛氏定律根據(jù)動(dòng)量矩定理和苛氏定律 MHdtHddtdH其中其中 kdtdJjdtdJidtdJdtHdxzyyxx)()(zzyyxxzyxJJJkjiHiJJzyyyzz)(jJJxzzzxx)(kJJyxxyxy.18二自由度陀螺二自由度陀螺 運(yùn)動(dòng)方程：合并簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程：合并簡(jiǎn)化對(duì)每個(gè)坐標(biāo)分量，分別寫出

8、方程對(duì)每個(gè)坐標(biāo)分量，分別寫出方程 xzyyyzzxxMJJdtdJ)(yzxxxzzyyMJJdtdJ)(zxyxyxyzzMJJdtdJ)(以上稱變態(tài)歐拉動(dòng)力學(xué)方程以上稱變態(tài)歐拉動(dòng)力學(xué)方程實(shí)際的陀螺中，一般赤道轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)際的陀螺中，一般赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量 Jx = Jy，由第三式可得，由第三式可得 zzzMdtdJ )(陀螺穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，陀螺穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，Mz = 0Mz = 0，因此，因此 常量 )(zzJ對(duì)前兩式，忽略對(duì)前兩式，忽略角速度高階小量，角速度高階小量，得到簡(jiǎn)化方程得到簡(jiǎn)化方程 yxyyxyxxMHdtdJMHdtdJ關(guān)于框架角速度和關(guān)于框架角速度和外加力矩的方向外加力矩的方向 .19二

9、自由度陀螺二自由度陀螺 運(yùn)動(dòng)方程：角速度投影運(yùn)動(dòng)方程：角速度投影兩種角速度的關(guān)系兩種角速度的關(guān)系 內(nèi)框架坐標(biāo)系內(nèi)框架坐標(biāo)系 x y z 的的等等于兩個(gè)歐拉角速度的矢量和于兩個(gè)歐拉角速度的矢量和 kjizyx根據(jù)投影根據(jù)投影 sincoszyx代入簡(jiǎn)化方程，得到代入簡(jiǎn)化方程，得到 yyxxMHdtdJMHdtdJcos)cos(求導(dǎo)式展開，忽略高階求導(dǎo)式展開，忽略高階小量，得到小量，得到 yyxxMHJMHJcoscos .20二自由度陀螺二自由度陀螺 運(yùn)動(dòng)方程：力矩投影運(yùn)動(dòng)方程：力矩投影yyxxMHJMHJcoscos 力矩的變換力矩的變換cos1xxMM代入上式，得到代入上式，得到 yyxx

10、MHJMHJcoscoscos1 實(shí)際實(shí)際角很小，上式簡(jiǎn)化成角很小，上式簡(jiǎn)化成 yyxxMHJMHJ 1上式稱為陀螺儀的上式稱為陀螺儀的技術(shù)方程技術(shù)方程。技術(shù)方程的物理意義（慣性力技術(shù)方程的物理意義（慣性力矩和進(jìn)動(dòng)力矩）矩和進(jìn)動(dòng)力矩） .21二自由度陀螺二自由度陀螺 系統(tǒng)模型：拉氏變換系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術(shù)方程二自由度陀螺儀的技術(shù)方程 yyxxMHJMHJ 1拉氏變換拉氏變換 )()()()()()(000210002sMssHsssJsMssHsssJyyxx整理整理 000200012)()()()()()(HsJsMsHsssJHsJsMsHsssJyyyxxx當(dāng)當(dāng)初始條

11、件初始條件都為零，得到都為零，得到 .22二自由度陀螺二自由度陀螺 系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程拉氏變換方程 )()()()()()(212sMsHsssJsMsHsssJyyxx改寫方程，畫出系統(tǒng)方塊圖改寫方程，畫出系統(tǒng)方塊圖 )(1)()(21ssJsHssMxx)(1)()(2ssJsHssMyy每個(gè)力矩都同時(shí)引起陀每個(gè)力矩都同時(shí)引起陀螺儀的兩種運(yùn)動(dòng)，陀螺螺儀的兩種運(yùn)動(dòng)，陀螺力矩起耦合作用力矩起耦合作用.23二自由度陀螺二自由度陀螺 系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)由拉氏變換方程求解兩個(gè)框架角由拉氏變換方程求解兩個(gè)框架角、 ，得到，得到 )()()()()()

12、()()(1222222122sMHsJJsHsMHsJJJssMHsJJsHsMHsJJJsxyxyyxxyyxxyxy由此可以得到從由此可以得到從 Mx1Mx1、My My 分別到分別到和和的四個(gè)傳遞函數(shù)的四個(gè)傳遞函數(shù) 改寫分母改寫分母項(xiàng)項(xiàng))()(2022222sJJJJHsJJHsJJyxyxyxyx固有振蕩頻率固有振蕩頻率.24二自由度陀螺二自由度陀螺 脈沖響應(yīng)：輸入輸出脈沖響應(yīng)：輸入輸出沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型：脈沖函數(shù)，數(shù)值極大，時(shí)間極短，對(duì)脈沖函數(shù)，數(shù)值極大，時(shí)間極短，對(duì)時(shí)間的積分是一個(gè)有限值時(shí)間的積分是一個(gè)有限值 )()(11tMtMxx代入系統(tǒng)的拉氏變換模型：代入

13、系統(tǒng)的拉氏變換模型： 0)()()()(212sHsssJMsHsssJyxx求解求解(s) (s) 和和(s)(s)，得到，得到 )()()(221221HsJJsHJsHsJJJJsyxxyxxy)/(/221221yxyyxJJHssJHJJHsxxJM1其中其中.25二自由度陀螺二自由度陀螺 脈沖響應(yīng)：響應(yīng)軌跡脈沖響應(yīng)：響應(yīng)軌跡假設(shè)假設(shè) Jx = Jy = JeJx = Jy = Je，并令，并令0 02 2 = H= H2 2 / (JxJy) / (JxJy)，部分分式展開，反拉氏變換得：部分分式展開，反拉氏變換得： tt001sin)(tt00101cos)(可見，力矩可見，力矩

14、 Mx1 Mx1 引起轉(zhuǎn)子軸引起轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外兩個(gè)框架作等幅振同時(shí)繞內(nèi)外兩個(gè)框架作等幅振蕩，相位相差蕩，相位相差9090度。度。消去時(shí)間變量，得軌跡方程消去時(shí)間變量，得軌跡方程 2012012軌跡圓，半徑軌跡圓，半徑圓心圓心頻率頻率 .26二自由度陀螺二自由度陀螺 脈沖響應(yīng)：計(jì)算例子脈沖響應(yīng)：計(jì)算例子例子：設(shè)例子：設(shè) Jx = Jy = Je = 1.38 Jx = Jy = Je = 1.38 克克厘厘米米秒秒2 2， H = 5160 H = 5160 克克厘米厘米秒，秒， Mx1 = 36200 Mx1 = 36200 克克厘米厘米 10 10-5-5 秒秒（注：克（注：克 = = 克

15、重，相當(dāng)克重，相當(dāng) 于每克物體的重量）于每克物體的重量） s /sradJMxxdeg15/262. 038. 1362. 011HzsradJHe595/374038. 151600章動(dòng)的幅度（半徑）章動(dòng)的幅度（半徑）23. 0107501rad角分角分章動(dòng)的特點(diǎn)：高頻、微幅章動(dòng)的特點(diǎn)：高頻、微幅 .27二自由度陀螺二自由度陀螺 階躍響應(yīng)：輸入輸出階躍響應(yīng)：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，可以用階躍函數(shù)表示如果陀螺儀受到的力矩為常值，可以用階躍函數(shù)表示： )( 1)(0tMtMyysMsMyy0)(陀螺系統(tǒng)的初始條件都為零時(shí)，頻域輸出響應(yīng)為：陀螺系統(tǒng)的初始條件都為零時(shí)，頻域輸出響應(yīng)為：

16、sMHsJJJssMHsJJsHsyyxxyyx022022)()()(.28設(shè)設(shè) Jx = Jy = JeJx = Jy = Je，并令，并令0 02 2 =H / (JxJy) =H / (JxJy)反拉氏變換，得時(shí)域響應(yīng)：反拉氏變換，得時(shí)域響應(yīng)： 二自由度陀螺二自由度陀螺 階躍響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)階躍響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng))cos1 ()(sin)(0020020tMHJttMHJtHMtyeyey動(dòng)態(tài)響應(yīng)：章動(dòng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)：章動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：進(jìn)動(dòng)和等效彈簧效應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：進(jìn)動(dòng)和等效彈簧效應(yīng).29二自由度陀螺二自由度陀螺 階躍響應(yīng)：軌跡階躍響應(yīng)：軌跡對(duì)前式移項(xiàng)后兩邊平方相加，得到轉(zhuǎn)子軸的軌跡方程對(duì)前式移項(xiàng)后兩邊

17、平方相加，得到轉(zhuǎn)子軸的軌跡方程 22022020HMJHMJtHMyeyey旋輪線：圓周運(yùn)動(dòng)（章動(dòng)）和平移運(yùn)動(dòng)（進(jìn)動(dòng)）的合成。解釋：旋輪線：圓周運(yùn)動(dòng)（章動(dòng)）和平移運(yùn)動(dòng)（進(jìn)動(dòng)）的合成。解釋：HMJHHMJyeye020圓周運(yùn)動(dòng)線速度圓周運(yùn)動(dòng)線速度： 圓心移動(dòng)速度圓心移動(dòng)速度： HMy0兩種運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果：車輪無(wú)摩擦滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果：車輪無(wú)摩擦滾動(dòng)旋輪線旋輪線其中進(jìn)動(dòng)起主導(dǎo)作用其中進(jìn)動(dòng)起主導(dǎo)作用 .30二自由度陀螺二自由度陀螺 階躍響應(yīng)：計(jì)算例子階躍響應(yīng)：計(jì)算例子例題：例題：My = 1 My = 1 克克厘米；厘米； H = 10000 H = 10000 克克厘米厘米秒；秒； Jx =

18、Jx = Jy = Je = 4 Jy = Je = 4 克克厘米厘米秒秒2 2；常值干擾力矩作用時(shí)間；常值干擾力矩作用時(shí)間 t = 60t = 60秒。秒。 陀螺漂移率陀螺漂移率 hrradHMy/7 .20/345. 0sec/100001度分度漂移的角度漂移的角度 度分分度0.345)(1)/345. 0(tHMy章動(dòng)振幅章動(dòng)振幅 角秒3221036. 11000014radHMJye章動(dòng)頻率章動(dòng)頻率 HzradJHe397sec/2500410000常值干擾力矩的產(chǎn)生原因及影響常值干擾力矩的產(chǎn)生原因及影響 .31二自由度陀螺二自由度陀螺 正弦響應(yīng)：輸入輸出正弦響應(yīng)：輸入輸出如果外加力矩方向不斷改變，大致可以用簡(jiǎn)諧函數(shù)描述如果外加力矩方向不斷改變，大致可以用簡(jiǎn)諧函數(shù)描述 tMtMaoxxsin)(1221)(aaoxxsMsM初始條件都為零時(shí)，陀螺頻域輸出響應(yīng)為：初始條件都為零時(shí)，陀螺頻域輸出響應(yīng)為： )()()()(22222222ayxaoxayxaoxysHsJJsHMssHsJJMJs令令 0 02 2 = H