6談巧用一次函數(shù)的平均值

1、*談巧用一次函數(shù)的平均值11備考綜合熱身輔導(dǎo)系列 高級物理教師 魏德田 在中學(xué)物理中，一次函數(shù)y=kx+b或y=kx等獲得了極其廣泛的應(yīng)用。利用一次函數(shù)，我們不但能正確的表達(dá)諸如由時(shí)間決定的變力，彈簧類物體的彈力，線性變化的感應(yīng)電動勢，靜液體的壓強(qiáng)，共軸轉(zhuǎn)動物體的各點(diǎn)的線速度等等一般的物理規(guī)律，更重要的是，我們還可以利用一次函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的平均值，來分析和解決許多比較復(fù)雜乃至極其困難的物理問題，從而刪繁就簡，化難為易，收到良好的教學(xué)效果。下面，我們試從三個(gè)方面展開討論。一、關(guān)于線性變力的做功問題這里所謂線性變力，是一種方向沿同一直線而大小隨位移均勻變化的力，亦即大小與位移成正比而方向相反的變

2、力，其表達(dá)式為F=kx+b或F=kx。反映在數(shù)學(xué)中，這種變力是位移的一次函數(shù)。對解決這種變力做功的問題，使許多初學(xué)者感到困惑不解或十分棘手。但是，從另一個(gè)角度著眼，若利用這種函數(shù)在0x位移內(nèi)的平均值即 ，可把它作為恒力來對待，使這類問題得以順利解決。例題1如圖1所示，把質(zhì)量為m、底面積為s的木塊，放入密度為的水內(nèi)的o點(diǎn)即木塊下底面在水下h0深度處時(shí)，由于恰好受力平衡而靜止?，F(xiàn)用力下按使其豎直向下移動Xm至o點(diǎn),然后釋放。求木塊由o點(diǎn)返回到o點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度。解析分析表明，木塊在浮力N、重力G共同作用下做簡諧運(yùn)動。選豎直向下為X軸的坐標(biāo)正方向，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)?？紤]到浮力遵守阿基米德定律，可得N=

3、gSh,其中h為木塊沒入的深度。從而，可得木塊所受的合力為-其中x為木塊在任意位置偏離O點(diǎn)的位移。依題意，當(dāng)木塊在O點(diǎn)時(shí)，-再把式代入式，我們又得 由此可見，木塊在此線性變力作用下做簡諧運(yùn)動。不難求出合力F在0Xm區(qū)間上的平均值為 -設(shè)由o點(diǎn)返回到O點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度為V，根據(jù)動能定理可得- 最后，由、式即可求出 。點(diǎn)撥應(yīng)該指出，當(dāng)線性變力F=kx與另一恒力如此例之重力共同作用于一個(gè)物體時(shí)，其合力也是線性的，從而形成F=kx+b形式的線性變力，其平均值的表達(dá)式與前者亦有所不同。并且，這一點(diǎn)對于以時(shí)間為自變量的一次函數(shù)也是如此。 例題2如圖2所示，一根輕質(zhì)彈簧豎直站立、下端固定在水平支持面上，恰好在

4、彈簧的正上方高度為h的A點(diǎn)，有一質(zhì)量為m的物體由靜止自由下落。當(dāng)物體彈簧上端的O點(diǎn)時(shí)，彈簧開始被壓縮，而當(dāng)它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，物體的速度為零。試求：物體位移多大時(shí)達(dá)到最大速度？最大速度為多少？ 彈簧的最大壓縮量？解析首先，分析可知物體在豎直向下的重力、豎直 向上的彈力等共同作用下，做先加速、后減速最后靜止的 變加速運(yùn)動。選豎直向下為X軸正方向，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。由牛二定律，可得 .其中為彈簧的彈力。然后，設(shè)物體自A點(diǎn)下落至C點(diǎn)時(shí)加速度為零，亦即物體達(dá)到最大速 度；又設(shè)OC=x1，亦即mgkx1 =0。于是，可得 -.顯然，重力、彈力的合力在位移x內(nèi)的平均值為-從而，由動能定理,我們不難得到 - 由、

5、和式，即可解得 . 最后，依題意知物體自A點(diǎn)下落到B點(diǎn)時(shí)速度為零，再設(shè)彈簧的最大壓縮量即OB=x2，我們由動能定理又得 顯然，上式是關(guān)于x2的一元二次方程。從而，又可解得 由于m2g2+2kmghm2g2，因而當(dāng)根式前為“”號時(shí)，x20，舍去負(fù)解。從而，我們最后得到顯然， 。我們再與比較，可知.亦即線段BCOC,，點(diǎn)C不是線段OB的中點(diǎn)；若h比較大，則BC段比OC段要大的多。圖3表示出合力隨位移變化的大致情形，“陰影”的面積則為合力在相應(yīng)位移內(nèi)所做的功。點(diǎn)撥由此例解析可見，我們雖然先、后在AC和AB兩段位移上都利用動能定理解決問題，但由于前者與后者的位移不同，使得同一合力的平均值顯然不同；從做

6、功角度看，造成BCOC的原因，顯然是在AC一段位移上，重力做了比在BC段更多的正功。還應(yīng)指出，若使上式中h=0，可知物體由O到B恰好完成簡諧運(yùn)動的半個(gè)全振動，此時(shí)C點(diǎn)才是OB線段的中點(diǎn)，同時(shí)也是振動的平衡位置。二、關(guān)于線性變力沖量的問題這里所謂線性變力，是另一種方向沿同一直線而大小隨時(shí)間均勻變化的力，其表達(dá)式為F=kt+b或F=kt。反映于數(shù)學(xué)中，這種線性變力是時(shí)間的一次函數(shù)。類似地，若能利用線性變力在時(shí)間0 t內(nèi)的平均值即，則也可把它作為恒力來對待，使求變力的沖量問題得以圓滿解決。例題3灑水車在灑水過程中，由于水流速度、噴水口面積等在比較長的時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為保持不變，即單位時(shí)間內(nèi)流出的水的質(zhì)

7、量相等。因而，灑水車的質(zhì)量是時(shí)間的一次函數(shù)，可以寫作m=m0kt。其中m0為初始質(zhì)量，k為質(zhì)量對時(shí)間的變化率，t為灑水的時(shí)間?，F(xiàn)設(shè)灑水車的初速度為v0，初始質(zhì)量為m0，經(jīng)過t的時(shí)間，車速增加為vt；再設(shè)它的牽引力F恒定不變，與路面的摩擦因數(shù)為。試求：灑水車在時(shí)間t內(nèi)損失的動量。解析首先，分析可知灑水車在水平方向的牽引力和滑動摩擦力等作用下做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動。顯然，由于所受合力不為零，動量守恒定律不適用。但是我們可以先用合力的平均值求出合力的沖量，再利用動量定理即可求出動量的損失。然后，依題意，可知其合力為合力隨時(shí)間變化的情形如圖4中直線AB所示，“陰影”的面積則表示了合力的沖量。在時(shí)間

8、t內(nèi)合力的平均值為 - 設(shè)灑水過程中損失的動量為，由動量定理得 - 由、式，可以解得 .點(diǎn)撥解答此題的關(guān)鍵有二：一則先用線性變力合力對時(shí)間的平均值，求出合力的沖量；進(jìn)而，再利用動量定理去求動量的變化。二則在全過程的動量變化之中，不但有末、初動量之差，同時(shí)必須包括流出的水帶走的動量，亦即題目所求的損失的動量。例題4在一根上端固定的細(xì)繩下端懸掛質(zhì)量為m的物體，使得物體恰好與平整的豎直墻壁相接觸。再以水平力N=ktk為恒量，t為時(shí)間作用于物體上，如圖5所示。當(dāng)水平力開始作用的同時(shí)，用火燒斷細(xì)繩，物體即沿豎直墻壁向下運(yùn)動而最終趨于靜止。設(shè)物體與墻壁之間的摩擦因數(shù)為，試計(jì)算物體沿墻壁運(yùn)動的最大速度和總時(shí)

9、間。解析首先，分析可知物體在豎直向下的重力、豎直向上的滑動摩擦力等的共同作用下做先加速、后減速最終趨于靜止的變加速運(yùn)動。然后，選豎直向下為F軸坐標(biāo)正方向，設(shè)物體運(yùn)動的最大速度為v1。由牛二定律得 ，在加速度=0零時(shí)，可求出物體達(dá)到最大速度的時(shí)間 -由于物體所受合力為F=mg-f=mg-kt,它在時(shí)間t1內(nèi)的平均值則可表示為 - 接下來， 在t1這段時(shí)間內(nèi)，由動量定理可得 ·-再聯(lián)立、和式，從而，我們即可求出最大速度F0OF1F/Nt/st1t2圖6 同理，設(shè)運(yùn)動的總時(shí)間為t2，由動量定理又得 ·=0 亦即 ·=0最后,我們求出運(yùn)動的總時(shí)間 圖6向右下傾斜的直線表示

10、出合力隨時(shí)間變化的大致情形，“陰影”的面積則為合力在相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的沖量。點(diǎn)撥若不采用合力對于時(shí)間的平均值，由于在高中物理中不能直接計(jì)算變力的沖量，此類問題就難以解決。需要強(qiáng)調(diào)，這里所謂線性變力對時(shí)間的平均值，是所設(shè)變力針對某一段時(shí)間的平均值；時(shí)間不同，則同一變力的平均值亦不同。這一點(diǎn)，從以上兩例解答過程中，略見一斑。三、線性長度導(dǎo)致的感應(yīng)電動勢問題饒有趣味的是，電磁感應(yīng)現(xiàn)象中也有一類隨位移或時(shí)間均勻變化的感應(yīng)電動勢問題，即感應(yīng)電動勢E是位移s或時(shí)間t的一次函數(shù)。類似地，我們也可以利用求其平均值的方法去分析和解決。例題5如圖7所示，兩條平行的虛線M、N之間存在著垂直紙面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。在磁場的左側(cè)另有一個(gè)等腰梯形線框ABCD，已知它的AB邊的長度d，底角，且總電阻為R?，F(xiàn)使線框自左至右以速度v勻速進(jìn)入磁場，自AB邊進(jìn)入直到CD邊與磁場左邊界M重合為止，所用的時(shí)間為t，那么求在此過程中通過線框某一橫截面的電量。vACDBNM圖7解析分析可知，在題設(shè)過程中梯形線框切割部分的有效長度為 由電磁感應(yīng)規(guī)律得線框中的感應(yīng)電動勢 顯見，它是時(shí)間的一次函數(shù)。 然后，該電動勢在時(shí)間0-t內(nèi)的平均值 B 最后由歐姆定律求出通過線框某一橫截面的電量 . 點(diǎn)撥解決此題的關(guān)鍵在于，先求出線框勻速進(jìn)入磁場時(shí)切割磁感線的有效長度L，再由感應(yīng)電動勢的瞬時(shí)表達(dá)