兩小球非對(duì)心碰撞軌跡線分析

1、兩小球非對(duì)心碰撞軌跡線分析王璐凱（浙江萬(wàn)里學(xué)院錢湖校區(qū)電子信息學(xué)院）摘要：在經(jīng)典力學(xué)分析中，一般把兩小球看成質(zhì)點(diǎn)，然后碰撞前后能量守恒，動(dòng)能守恒。E總12122m v12M v2（ 1）碰撞前m v1 M v2m v3 M v4（ 2）E總E損失12122m v32M v4（ 3）碰撞后但是在兩小球質(zhì)心連線的非慣性參考系上，把兩小球當(dāng)質(zhì)點(diǎn)來(lái)觀察和非質(zhì)點(diǎn)（有體積）來(lái)觀察，最終確定的速度，轉(zhuǎn)換回到地面參考系， 得到的能動(dòng)方程有所區(qū)別，軌跡線誤差很大。不考慮引力時(shí)，小球非對(duì)心碰撞最后運(yùn)動(dòng)軌跡可能是拋物線，而非直線。關(guān)鍵字：自旋、比值常數(shù)、引力拋物線。第一部分：自旋現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)條件： 在兩小球質(zhì)心連線的

2、非慣性參考系上， 把兩小球當(dāng)非質(zhì)點(diǎn) （有體積） 來(lái)觀察，最終確定速度，以及能動(dòng)方程。如圖所示：小球O 相對(duì)地面靜止（非固定） ，另一小球 O 以速度沿垂直 OS 方向前v0進(jìn)，設(shè)從起始點(diǎn)到達(dá)S 點(diǎn)的時(shí)間為 t，其中已知OS=d， OOd ，則小球 O （非質(zhì)點(diǎn)）上紅色小點(diǎn) A 相對(duì)于質(zhì)心連線OO 有一個(gè)速度vAA r這個(gè)角速度A =( t)tandv0 tda r c t a nv0 t（ t）v0 d當(dāng) t=0 時(shí)，即此時(shí)小球O在S點(diǎn)，v02 22v0 tdd用 t=0 時(shí)的這個(gè)公式，可以求得，任意時(shí)刻t t1 ，對(duì)應(yīng)角度，此時(shí)dd，其中 v 0為該位置時(shí)小球O垂直質(zhì)心連線速度分量，d為v0

3、 sinv0sin質(zhì)心直線距離。綜上所述， 在兩小球質(zhì)心連線的非慣性參考系上， 把兩小球當(dāng)非質(zhì)點(diǎn) （有體積） 來(lái)觀察，不但擁有線速度，還擁有自旋速度。其中，在此非慣性參考系中，小球在任意點(diǎn)上的沿參考系直線速度vcos和垂直參考系的慣性速度 vsin，還原到地面參考系后，總動(dòng)能不變：E總12222m v（sincos）但是關(guān)于自旋部分能量，若不成立，則計(jì)算到此為止，若成立，有待實(shí)驗(yàn)證明。以下結(jié)論是假設(shè)成立推出的。第二部分：比值常數(shù)。實(shí)驗(yàn)條件： 以此非慣性參考系為研究對(duì)象， 假設(shè)技術(shù)條件允許， 把兩自旋小球通過此參考系進(jìn)行直線碰撞， 解開自旋， 成為直線速度， 遵從能量守恒和動(dòng)量守恒， 然后模擬軌

4、跡線。生活中解開自旋的例子有很多， 比如汽車前進(jìn)時(shí)輪胎不斷地解開自旋前進(jìn)， 我們小時(shí)候玩的陀螺，把它橫放然后快速旋轉(zhuǎn)，它接觸地面后會(huì)向前進(jìn)或向后退。如圖：v0為慣性速度， OO 為固定非慣性參考系，小球 O 剛好相切于小球O 以速度 v0 經(jīng)過。假設(shè)在相切一瞬間解開自旋，解開程度為100%，已知2v0 d22v0 td此時(shí) t=0 ，故v0d小球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：22小球動(dòng)能 :12J5m rE2J2222E總m r v0M RV05d225 d碰撞后：m v1M v2（4）222222m v1M V 2m r v0M R V0（5）22225d5 d22由（ 4）（ 5）解得：v1v0m rM R2

5、M2（mM） m5d22v2v0m rM R2m2（mM）M5d如圖為v1 和 v2 的產(chǎn)生以及轉(zhuǎn)換到地面參考系中的示意圖。（ a）圖：碰撞前一瞬間，OO 非慣性系中兩小球相對(duì)靜止，但存在自旋。（ b）圖：碰撞后一瞬間，自旋解開，兩小球分別獲得直線動(dòng)能。（ c）圖：回到地面參考系中，O 球獲得向前v2 速度， O 球獲得 v v0v1其中v1 和v2 的方向是在OO 非慣性系中確定的， OO 非慣性系的自旋角速度是 ，所以v1的速度方向是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，若v2= v0此時(shí)軌跡是一個(gè)正圓。此時(shí)：22m rM R2mv2 v02（ mM）M5dm2M22mrR1（這是理想狀態(tài)下的常數(shù)）2（ m

6、M）M5d如果考慮自旋解開程度系數(shù)k1 和不完全正切碰撞， 存在沿 OO 參考系直線速度 vcos的影響系數(shù)k2 ，碰撞后軌跡可以是一個(gè)橢圓。若v2 v0 ，則碰撞后兩球最后會(huì)分開，彼此分離。第三部分：引力拋物線。實(shí)驗(yàn)條件：在上面的試驗(yàn)中，完全沒有考慮到引力作用，不過，根據(jù)軌跡路線，計(jì)算得到的加速度跟引力加速度很接近。由于小球 O 是以速度為v1 ，速度方向是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，周期為 T2旋轉(zhuǎn)的軌跡線，在地面參考系中， 若 v2 v0 ，則它碰撞后的軌跡是正圓，往x 軸負(fù)方向的加速度gv1 v2v1 sin 1 v1 sin2ttg v（1 sin ） tv1 tv1 t22 rr（ sin v1 t）2v1gv1rtr再?gòu)奶厥獾揭话悖魐2 v0，已知2度，所以x 方向上，小球O 擁有一個(gè) gv1rv2 和 v0 只影響小球 O 在 y 方向的軌跡及速的向心加速度。這與引力產(chǎn)生的