1993考研數(shù)二真題及解析

1、1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) .(2) 函數(shù)由方程所確定,則.(3) 設(shè),則函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是.(4) .(5) 已知曲線過點,且其上任一點處的切線斜率為,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 當(dāng)時,變量是 ( )(A) 無窮小 (B) 無窮大(C) 有界的,但不是無窮小 (D) 有界的,但不是無窮大(2) 設(shè) 則在點處函數(shù) ( )(A) 不連續(xù) (B) 連續(xù),但不可導(dǎo)(C) 可導(dǎo),但導(dǎo)數(shù)不

2、連續(xù) (D) 可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)連續(xù)(3) 已知 設(shè),則為 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 設(shè)常數(shù),函數(shù)在內(nèi)零點個數(shù)為 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若,在內(nèi),則在內(nèi) ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25分.) (1) 設(shè),其中具有二階導(dǎo)數(shù),求.(2) 求.(3) 求.(4) 求.(5) 求微分方程滿足初始條件的特解.四、(本題滿分9分)設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為,試確定常數(shù),并求該方程的通解.五、(本題滿分9分)設(shè)平面圖形由與所確定,求圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.六、(本題滿分9分)作半徑為的球

3、的外切正圓錐,問此圓錐的高為何值時,其體積最小,并求出該最小值.七、(本題滿分6分)設(shè),常數(shù),證明.八、(本題滿分6分)設(shè)在上連續(xù),且,證明：,其中.1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】這是個型未定式,可將其等價變換成型,從而利用洛必達法則進行求解.(2)【答案】【解析】這是一個由復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)所確定的函數(shù),將方程兩邊對求導(dǎo),得,化簡得 .【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果在點可導(dǎo),而在點可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 . (3)【答案】【解析】由連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系判別函數(shù)的單調(diào)性.將

4、函數(shù)兩邊對求導(dǎo),得 .若函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)減少,則,即.所以函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為.【相關(guān)知識點】函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).(1) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)增加；(2) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)減少.(4)【答案】【解析】 .(5)【答案】【解析】這是微分方程的簡單應(yīng)用.由題知 ,分離變量得 ,兩邊對積分有.由分部積分法得 因為曲線過點,故,所以所求曲線為.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(D)【解析】因為當(dāng)時,是振蕩函數(shù),所以可用反證法.若取 ,則,則.因此,當(dāng)時,有及,但變量或等于0或趨于,這表明當(dāng)時它是無界的,但不是無窮大量,即(D)選項正確.(

5、2)【答案】(A)【解析】利用函數(shù)連續(xù)定義判定,即如果函數(shù)在處連續(xù),則有.由題可知,.因在處左右極限不相等,故在處不連續(xù),因此選(A).(3)【答案】(D)【解析】這是分段函數(shù)求定積分.當(dāng)時,故,所以.當(dāng)時,故,所以.應(yīng)選(D).(4)【答案】(B)【解析】判定函數(shù)零點的個數(shù)等價于判定函數(shù)與的交點個數(shù).對函數(shù)兩邊對求導(dǎo),得 .令,解得唯一駐點,即 所以是極大值點,也是最大值點,最大值為.又因為 ,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在與各有且僅有一個零點(不相同).故函數(shù)在內(nèi)零點個數(shù)為2,選項(B)正確.(5)【答案】(C)【解析】方法一：由幾何圖形判斷.由知為奇函數(shù),圖形關(guān)于原點對稱；在內(nèi)圖形單調(diào)增加且向

6、上凹,根據(jù)圖可以看出在內(nèi)增加而凸,選(C).方法二：用代數(shù)法證明.對恒等式兩邊求導(dǎo),得.當(dāng)時,有,所以,故應(yīng)選(C).三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25分.) (1)【解析】, .【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果在點可導(dǎo),而在點可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 .(2)【解析】應(yīng)先化簡再求函數(shù)的極限,.因為,所以.(3)【解析】先進行恒等變形,再利用基本積分公式和分部積分法求解.(4)【解析】用極限法求廣義積分. .(5)【解析】所給方程是一階線性非齊次微分方程,其標(biāo)準(zhǔn)形式是 ,通解為 .代入初始條件 ,得 ,所以 .所求特解為 .【相關(guān)知識點】一階線性非齊次微分方程的通解公

7、式為:,其中為常數(shù).四、(本題滿分9分)【解析】要確定常數(shù),只需將特解代入原微分方程后,用比較系數(shù)法即得.對于特解,有 , ,代入方程,得恒等式 ,化簡得,比較同類項系數(shù),得,解之得.于是原方程為,所對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為,解之得 .所以微分方程的通解為.五、(本題滿分9分)【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積,用微元法.等價于.解法一：考慮對的積分,則邊界線為與,如右圖所示.當(dāng)時, .所以 .對于,令,則,所以 ；對于 ,所以 .解法二：取為積分變量,則邊界線為與,如右圖所示.當(dāng)時, 所以.令,則,所以 .再令,則,所以 .所以 .六、(本題滿分9分)【解析】這是一個將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題.ADOCB設(shè)圓錐底半徑為,如圖,.由,有.于是圓錐體積.對上式兩端對求導(dǎo),并令,得,得唯一駐點,且,所以為極小值點也是最小值點,最小體積.七、(本題滿分9分)【解析】首先應(yīng)簡化不等式,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當(dāng),常數(shù)時,原不等式兩邊取自然對數(shù)可化為 或 .證法一：令,則.由知故 .從而為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),且即 ,所以 .證法二：令,則.當(dāng)時,有,所以函數(shù)在為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù),即,所以有 ,即 .八、(本題滿分9分)【解