多元數(shù)量值函數(shù)積分學復習

1、第七章 多元數(shù)量值函數(shù)積分學7. 1 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質 一、多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念d M f (=I =0limd =ni iM f 1(i可積的必要條件 若函數(shù) f (M 在幾何形體 上可積,則 f (M 在 上閉有界。 可積的充分條件 若函數(shù) f (M 在有界閉幾何形體 上連續(xù),則 f (M 在 上必 可積。二、多元數(shù)量值函數(shù)積分的性質1 =d d 1. 2+=+d M g d M f d M g M f ( ( (.3 +=21( ( (d M f d M f d M f 4 ( (M g M f ,則d M g d M f ( (d M f d M f | (| (|5

2、 設 m M , 分別是 f (M 在閉幾何形體 上的最大值和最小值,則M d M f m (6 積分中值定理 設函數(shù) f (M 在閉幾何形體 上連續(xù),則在 上至少存在一 點 0M ,使得=( (0M f d M f三、多元數(shù)量值函數(shù)積分的分類1.二重積分 Dd y x f , (=i i i ni f = , (lim 1。2.三重積分 dv z y x f , , (=0lim i i ni f , (1=, i i v (13.對弧長的曲線積分 Lds y x f , (=ni i i i s f 1, (lim 或 =ni i i i i s f ds z y x f 1, , (li

3、m , , (4.對面積的曲面積分dS z y x f , , (=0lim =ni i ii i S f 1, , (,7.2 二重積分 計算方法:“畫線定限” 累次積分積之。 說明: 1 方法:“畫線”定限(切點 D 2 選擇積分次序要合適,若先 y 后 x =x xdx yydx I sin 10不能積出結 果。3 不可積函數(shù) xxx x e x sin ,sin , cos , 222-等等 例 1 計算 -222xy dy e dx 解 -=2222dy ye dx dy e I y y y1(21212142020222-=-=e e dy e y y ;習題 1 計算 -+xxy

4、 dy e dx 2022 計算 -dy y y dx 0101sin 3 f 于 1, 0上連續(xù), A dx x f =1(,求 11( (xdy y f x f dx 。解 令 =xdx x f x F 0( (,則 0 0(=F , A F = 1(, ( (x f x F =',原式 -'='=1101110( 1(| ( ( ( (dx x F F x F dx y F x f dy y F dx x f x x2121021| (21| (A x F x AF =-= 例 2 交換積分次序(1 -+=xx yy fdx dx fdx dx dx y x f

5、dy I 10101111022, (2 +-+-+-=+=xx yy yyfdy dx fdx dy fdx dy I 1121130012 例 4 (函數(shù)的奇偶性與區(qū)域對稱性引例 013=D dxdy y 21:y x D =和 1=x 圍成 =20sin D xydxdy y2222:R y x D +1D 區(qū)域關于 x 軸對稱 f 關于 y 是奇函數(shù) 2D 關于 y 軸對稱, f 關于 x 是奇函數(shù)。規(guī)范語言:1I 中被積函數(shù)關于 y 是奇函數(shù),區(qū)域關于 0=y 對稱,2I 中被積函數(shù)關于 x 奇函數(shù),區(qū)域關于 0=x 對稱,則積分為零。反之,被積函數(shù)關于 x 是偶函數(shù),區(qū)域關于 0=

6、x 對稱, 則積分等于一半?yún)^(qū)間上積分值的二倍。 例 計算 +Ddxdy y x yf x (122,其中 :D 由 3x y =,1=y , 1-=x 圍成, f 連續(xù)。解 作 3x y -=,分區(qū)域為 1D , 2D , 3D , 4D 如圖 原式0|220|224321 ( (+=D D D D Ddxdy y x xyf dxdy y x xyf xdxdy 522233432101|-=+=-+x D D D D D dy xdx xdxdy xdxdy xdxdy注:如上奇偶性分析對三重積分,一型線積分,一型曲面積分其結論都是對 的。例 5 (極坐標計算雙紐線 22222 (y x

7、y x -=+圍成區(qū)域的面積。 解 sin (cos2224-=r r2cos 2=r由對稱性 =04044rdr d d S D1|2sin 2cos 24040=d注:(1對稱性分析, (2極坐標使 用原則例 6 計算 +-= +-=-1021222011212222101121122rdr r r d dy y x y x dx I x x +-=1022122112122dr r r 241222102102-=-=+-=dt t t dt t t t r 例 7 計算348|(|4|(|111|=+D D y x xdxdy dxdy y x dxdy y x 輪換對稱性 奇偶性 關

8、于輪換對稱性說明:y x , 互換,區(qū)域若保持不變,微元不變,即可使用, 此時被積函數(shù)常發(fā)生變化。例 8 計算+222 ( ( (R y x dxdy y f x f y bf x af ,其中 f 連續(xù)恒號。 解 +=+=DDdxdy x f y f x bf y af dxdy y f x f y bf x af I ( ( ( ( ( ( ( (則 22 ( ( (21R b a y f x f y f x f b a I D+=+=。例 9 將極坐標形式的累次積分 cos 04, (a dr r rf d 交換積分次序。解 將由 , r 構成的區(qū)域在直角坐標系中畫出積分區(qū)域,然后交換積

9、分次序cos 040, (a dr r rf d +=440, ( , (ra aad r rf dr d r rf dr7.3 三重積分 7.3.1 概念與形式 1.性質:與二重積分相同2.計算方法: 1直角坐標: 投影法=, (, (2121 , , (y x z y x z x y x y badz dy dx dv z y x f截面法=zD c c dxdy z y x f dz dv z y x f , , ( , , (212 柱面坐標dxdydz z y x f , , (=dz d d z f , sin , cos (球面坐標 =d drd r r r r f dxdydz

10、 z y x f sin cos , sin sin , cos sin ( , , (23 一般方法'=V Vdudvdw J w v u F dxdydz z y x f | , , ( , , (2.6其中, , (, , , (, , , ( , , (w v u z w v u y w v u x f w v u F =。7.3.2 例題例 1 計算 +Vdv z x y cos(,其中 V :z =0, y =0, x y =, 2=+z x 圍成的區(qū)域。解 2116cos( cos(2202020-=+=+=-xxxD dz z x ydx dx dz z x ydxdy

11、 I xy。例 2 將 VdV z y x f , , (,分別按直角坐標系,柱坐標系,球坐標系寫出累次積分形式,其中 V 為 1 1(222=+-y x z 和 222z y x +圍成部分。 解 (1直角坐標系下:-+-+=222222222211111 , , ( , , (y x y x x x y x y x D dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy I xy(2柱坐標系下:-+=21120r rfdz rdr d I (3球坐標系下=cos 20_24020sin d f r d d I例 3 計算 +=VdV z y y x I sin (23, 其中

12、 V :22y x z +=與 22y x z -=圍成區(qū)域。解 +=VV V zdV ydV y dV x I 0|20|3sin其中8c o s s i n 12420=dr r r d d zdV V。亦可用柱坐標系 81(21222022122202=-=-dr r r r zdz rdr d zdV r rV例 4 設 +=dxdydz y x f z t F ( (222,其中 (u f 連續(xù)。 為 h z 0,222t y x + 0(>t ,求 dt dF 和 20(lim tt F t +。解 +=+=zD h dxdy y x f z dz dxdydz y x f

13、z t F ( (2220222+=+=h t t h dz rdr r f t z rdr r f z d dz 00222022200 (212 (+=232(2123t dz z f h h t (2322 (322323t hf t h t t hf t h dt dF +=+= 0(31(1lim (lim 320230202hf h t dt t f h t h t t F t t t +=+=+。 例 5 dV x xy z y x V2(222+-+, V :2222R z y x +。解 由奇偶性 0=VVxdV xydV由輪換對稱性 =VVVdV z dV y dV x 2

14、22,故原式 +=VVdV z y x dV y (3222222 5022020158sin 32R dr r r d d R = 7.4 數(shù)量值函數(shù)的曲線與曲面積分的計算 7.4.1 第一型曲線積分的計算物理解釋:視 f 為密度函數(shù),則積分為曲線質量。幾何解釋:1. 取 1f ,積分為曲線弧長。2. 第一型曲線積分 Lds y x f , (,當 0 , (y x f 時,表示以 xOy 平面上的曲線段 L 為準線。母線平行于 z 軸,高度為 f (x , y 的柱面面積。一、 計算方法:設參數(shù),化定積分1. =( (t y y t x xdt y x ds 22'+'=2

15、. =( (x x x y y dx y ds 2'+3. =sin (cos ( (r y r x r rd r r ds 22'+=1 = ( (t z z t y y t x xdt z y x dz dy dx ds 222222 ( ( ('+'+'=+=2 = ( ( (x x x z z x y y dx z y ds 22'+'+=(此類空間曲線常以隱式方程形式出現(xiàn) 特殊的:平行 x 軸線段 dx ds =,平行 y 軸線段 dy ds = 例 1 計算 =Lxds I , :L 如圖 ABCDEA解 +=521L L L

16、 xds xds xds I其中 =t y t x L s i n c o s:1 dt y x ds 22'+'=1cos 021=-tdt xds L=ty tx L sin 2cos :2 dt t dt t t ds 222sin 34cos 4sin -=+=322134sin 34cos 12222+=-=-=dx x dt t t xds L22:3x y L -= dx x dx y ds 224+='+=6134023-=+=-dx x x xds L 2:4-=x L , dy ds =2201L 4-=-=-dy xds1:5-=y L , dx

17、ds =1025-=-xdx xds L故原式 26109321261332211-=-+= 例 2 設 L 為周長為 a 的橢圓 13422=+y x 。計算 +Lds y x y x 432(22 解 由對稱性02=LLyds xds , a ds ds y x LL1212 43(22=+ 例 3 計算 Lds x 2, =+=+0:2222z y x R z y x L 交線解 由輪換對稱性=LLLds z ds y ds x 222, 原式 3222223223131 (31R R R ds R ds z y x LL =+= 習題1.計算 L ds y 2, :L 擺線 -=-=

18、cos 1( sin (t a y t t a x 20t , (一拱(152563a2.計算 +Lds y x (3434, 323232:a y x L =+,一周 (星形線:374a 3.計算 =Lds y I |, :L 雙紐線 ( (22222y x a y x -=+的一周 0(>a (2 22(2a -7.4.2 第一型曲面積分的計算 一、物理解釋:1f 時得曲面面積 二、計算方法:投影,做二重積分1.若曲面方程為 , (y x z z =,則dxdy z z dS y x 22'+'+=dxdy z z y x z y x f dS z y x f xyD

19、 y x S'+'+=22, (, , ( , , (2.若曲面方程為 , (x z y y =,則dzdx y y dS z x 22'+'+=dzdx y y z x z y x f dS z y x f yzD z x S'+'+=22, , (, ( , , (3.若曲面方程為 , (z y x x =,則dydz x x dS z y 22'+'+=dydz x x zy z y x f dS z y x f zxD z y S'+'+=22, , , ( , , (三、例題例 1 計算 +SdS y x

20、 (22, 10(:222=+z z y x S 表面解 原式 +='+'+=xyxy D D yxdxdy y x y y x x y x dxdy z z y x 222222222222( ( 222 (2132022=+=dr r d dxdy y x xyD例 2 計算 +Szy x dS222,其中 S 是介于 0=z , H z =之間的柱面 222R y x =+。 解 (1曲面向 yOz 面投影,由對稱性原式 +=12222S z y x dS , 0(:2221=+x R y x S , 0, 22='-='z y x yR y x原式 -+

21、=-+=yzyz D D dydz yR z R Rdydz y R y z R 22222222212112-=-+=R R HR HyR dy z R dz R 2222022 解(2取微元 Rdz dS 2=,原式 RH z R Rdz Harctan 22022=+=例 3 S 是橢球面 122222=+z y x 的上半部分, 點 , , (z y x P S , 是 S 在 P 點的切平面, , , (z y x d 為原點 O 到切平面 的距離。求 SdS z y x d z, , (。解 設 , , (Z Y X 是切平面上任意點,則切平面 的方程為122=+zZ yZ xZ

22、2220, 0, 0(222221221 , , (z y x z y x zZ yYxX z y x d + + =+ + -+=又由 S : 122222=+z y x ,得 z x z x 2-=',由對稱性 z y z y2-=', zy x z z dS yx242222-='+'+= 故 23 4(41 4(41 , , (2022022=-=-=rdr r d dxdy y x dS z y x d z xyD S 例 4 計算 +SdS y x xy y x 432(22, 0(:2222>=+a a z y x S解 依對稱性0=SSSx

23、ydSydS xdS ,再輪換對稱性=SSSdS z dS y dS x 222,則42222222232843737 (317 43(a a a dS a dS z y x dS y x I SS S=+=+= 7.5 數(shù)量值函數(shù)積分應用舉例對幾何形體 來說, 上的可加量 Q 的微元的一般形式為 d M f (,即=d M f dQ (, d M ,其中 d 為 的任一子量, (M f 為 上的連續(xù)函數(shù),而且 -d M f Q (是當 0d 時的無窮小。找到微元后 =d M f dQ (以后,對(M f 在 上積分即得 Q ,也即 =d M f Q (7.5.1 幾何問題舉例7.5.2 質心

24、與轉動慣量 質心坐標為M x= = ,y= x = M M µ ( x, y d D D My xµ ( x, yd yµ ( x, yd D µ ( x, yd D 形心為 x = 1 1 xd , y = yd ， AD AD x= 1 M x ( x, y, zdv , y = 1 M y ( x, y, z dv , z = 1 M z ( x, y, zdv 其中 M = ( x, y, z dv 薄片對 x 軸及 y 軸的轉動慣量為 I x = y 2 µ ( x, y d , D I y = x 2 µ ( x, y d

25、 D 物體對于 x、y、z 軸的轉動慣量為 I x = ( y 2 + z 2 ( x, y, z dv ， I y = ( z 2 + x 2 ( x, y, z dv I z = ( x 2 + y 2 ( x, y, z dv 例1 求均勻橢圓 x2 y2 + 1 繞直線 y = kx 的轉動慣量，并說明 k 為何值時 a2 b2 轉動慣量最大。 解 Jk = x2 a2 + y2 b2 1 µ ( y kx 2 abµ b 2 + a 2 k 2 abµ dxdy = = 1+ k2 4 1+ k2 4 2 k2 b + (a 2 b 2 1+ k2 若 a = b ，轉動慣量與 k 無關 若 a < b ， k = 0 ，繞 x 軸的轉動慣量最大。 若 a > b 。 k = ，繞 y 軸的轉動慣量最大，此時直線為 x =