函數(shù)插值與最小二乘擬合

1、第11章 函數(shù)插值與最小二乘擬合 典型問題解析考試知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日插值多項(xiàng)式、均差與牛頓插值多項(xiàng)式、直線擬合、二次多項(xiàng)式擬合。（18-21%）考試題型：選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：拉格朗日插值多項(xiàng)式、均差與牛頓插值多項(xiàng)式、分段插值、最小二乘法典型問題解析：1. 拉格朗日插值多項(xiàng)式n次插值多項(xiàng)式 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=其中基函數(shù) (k=0,1,2,，n) 且Pn(xk)=yk(k=0,1,2,n).f(x)»Pn(x)注意：過n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，所得插值多項(xiàng)式應(yīng)該是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式特例：當(dāng)n=1時(shí)，線性插值 P1(x)=yklk(x

2、)+yk+1lk+1(x)其中基函數(shù) , （過2個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，所得插值多項(xiàng)式是直線）當(dāng)n=2時(shí)，二次插值. P2(x)=yk-1lk-1+yklk+yk+1lk+1其中基函數(shù) （過3個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，所得插值多項(xiàng)式是次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式）拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為 其中，例1 已知數(shù)據(jù)表xk10111213f(xk)2.302 62.397 92.484 92.564 9試用二次插值計(jì)算f(11.75)(計(jì)算過程保留4位小數(shù))并回答用線性插值計(jì)算f(11.75)，應(yīng)取哪兩個(gè)點(diǎn)更好？解 因?yàn)?1.75更接近12，故應(yīng)取11，12，13三點(diǎn)作二次插值先作插值基函數(shù)已知x0=11, y0=2.397 9，x

3、1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)P2(x)=f(11.75)»P2(11.75)= =2.463 8若用線性插值，因?yàn)樗簏c(diǎn)x11.75在11與12之間，故應(yīng)取x=11,x=12作線性插值合適注：在作函數(shù)插值時(shí)，應(yīng)根據(jù)要求，使所求位于所取的中央為好，任意取點(diǎn)一般近似的效果差些例2 已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)為xk2045yk5131試構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式Pn (x)，并計(jì)算P(1)。解 先構(gòu)造基函數(shù) 所求三次多項(xiàng)式為P3(x)= P3(1)例3 設(shè)是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，是拉格朗日插值基函

4、數(shù)，證明：證明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= 當(dāng)f(x)º1時(shí)， 1由于，故有2. 均差與牛頓插值多項(xiàng)式均差：函數(shù)值之差與自變量之差的商就是均差一階均差 二階均差 （一階均差的均差）n階均差 （n-1階均差的均差）均差的性質(zhì)：(1) 均差用函數(shù)值yk的線性組合表示；即 f(x0,x1,x2,xn)=(2) 均差與插值節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)(對(duì)稱性).(3) n階均差與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為：例4 已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表。計(jì)算它的各階均差。kXkf(xk) 010 132 2415 3712解 計(jì)算公式為一階均差 二階均差 三階均差 結(jié)果列表中kXkf(xk)一階均

5、差二階均差三階均差 010 1321 2415134 3712-1-3.5-1.25牛頓插值多項(xiàng)式：以均差為系數(shù)構(gòu)造多項(xiàng)式，就是牛頓插值多項(xiàng)式。 Nn(x)= f(x0)f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1) f(x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1) 牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為 Rn(x)=f(x)Nn(x) =f(x, x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)=例5已知函數(shù)表x012345F(x)-7-452665128求證由此構(gòu)造的牛頓插值多項(xiàng)式的最高次冪的系數(shù)為1。解：作均差表xkf(xk)一階均

6、差二階均差三階均差四階均差0-71-4325933262161465399105128631210 因?yàn)槿A均差均為常數(shù)1，可見該函數(shù)表的牛頓插值多項(xiàng)式最高次冪為3次，且其系數(shù)為1。牛頓插值多項(xiàng)式為Nn(x)= f(x0)f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1) f(x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)= -73(x0)3(x0)(x1)1(x0)(x1) (x2)= x32x-73. 分段線性插值用分點(diǎn)a=x0<x1<<xn=b將區(qū)間a,b分成n個(gè)子區(qū)間xk, xk+1(k=0,1,n1)在子區(qū)間xk, xk+1上用

7、直線Qk(x)近似函數(shù)y=f(x)，將Qk(x)(k=0,1,n-1)組合在一起，得到a,b上的折線形式的函數(shù)P(x)，P(x)滿足：(1)P(x)在a ,b上連續(xù)；(2) P(xk)=yk(k=0,1,2,n)；(3)P(x)在子區(qū)間xk ,xk+1上是線性函數(shù)P(x)稱為分段線性插值函數(shù)。其中l(wèi)k(x)(k=0,1,2,n)是分段線性插值基函數(shù)，具體為 li(x)= ln(x)= 例5 已知函數(shù)ex的下列數(shù)據(jù)，用分段線性插值法求x=0.2的近似值x0.100.150.250.30ex0.904 8370.860 7080.778 8050.740 818解 用分段線性插值，先求分段線性插值

8、基函數(shù). 所求分段線性插值函數(shù)為 所以，e0.2=P(0.2)=0.819 07×0.2+0.983 569=0.819 7554* 三次樣條插值函數(shù)（不作要求）用分點(diǎn)a=x0<x1<<xn=b將區(qū)間a,b分成n個(gè)子區(qū)間xk, xk+1(k=0,1,n1)構(gòu)造三次樣條函數(shù)S(x)：(1) 在區(qū)間a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(2)滿足S(xk)=yk(k=0,1,n)；(3)在子區(qū)間xk, xk+1上是三次多項(xiàng)式三次樣條插值函數(shù) 其中S²(xk)=mk (k=0,1,2,n), hk=xk+1xk (k=0,1,2,n1), m0,m1,mn滿足的方程組是 (*

9、)其中： , (k=1,2,n1) (1) 當(dāng)已知S¢(x0)=y¢0 ,S¢(xn)=¢y¢n時(shí)，(*)式中m0=1, ln=1, .(2) 當(dāng)已知S²(x0)=y²0=m0, S²(xn)=y²n=mn時(shí)，(*)式化為 5. 最小二乘法用j(x)擬合n對(duì)數(shù)據(jù)(xk,yk) (k=1,2,n)，使得誤差平方和 最小，求j(x)的方法，稱為最小二乘法(1) 直線擬合若，a0,a1滿足法方程組 即a0, a1是法方程組的解例6 已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù) 22.5 3 455.5 44.5 6 88.59試用直線擬合

10、這組數(shù)據(jù). (計(jì)算過程保留3位小數(shù))解 設(shè)直線ya0+a1x，那么a0, a1滿足的法方程組公式為 計(jì)算列表如下： kxkykxkyk 12448 22.54.56.2511.25 336918 4481632 558.52542.565.5930.2549.5 S224090.5161.25.故法方程組為 解得a0=1.229 a1=1.483 所求直線方程為 y=1.229+1.483x(2) 二次多項(xiàng)式擬合若滿足法方程組 即a0, a1, a2是法方程組的解(3) m次多項(xiàng)式擬合若滿足法方程組例7 已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù) 0.781.562.343.123.81 2.501.201.122.254.28試用二次多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù). (計(jì)算過程保留2位小數(shù))解 設(shè)滿足法方程組 計(jì)算列表如下： kxkykxkykyk 10.782.500.610.470.371.951.52 21.561.202.433.805.921.872.92 32.341.125.4812.8129.982.626.13 4