加菲爾德勾股定理

1、總統(tǒng)思考的思考【趣聞】：在1876年一個周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7，那么這個直角三

2、角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法。 例1：如圖所示，這是美國第20任總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理時所采用的

3、圖形，是用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼出一個梯形借助這個圖形，你能用面積法來驗證勾股定理嗎？例2：如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為_. 例3：（2010望城縣模擬）在直線l上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=_. 例4：如圖1，等腰直角ABC的直角頂點B在直線l上，A、C在直線l的同側(cè)過A、C作直線l的垂線段AD、CE，垂足為D、E（1）請證明AD+CE=DE（2）如圖2，平面直角坐標系內(nèi)的線段GH的兩個端點的坐標為G（

4、3，3），H（0，1）將線段GH繞點H順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段 KH求點K的坐標（3）平面直角坐標系內(nèi)有兩點P（a，b）、M（-2，1），將點P繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90得到點Q，請你直接寫出點Q的坐標 （1）證明：ABC是等腰直角三角形，AB=BC，ABC=90，ADl，CEl，ADB=BEC=ABC=90，DAB+DBA=90，DBA+CBE=90， DAB=CBE，ADBBEC，AD=BE，DB=EC，又DE=DB+BE，DE=AD+CE； （2）解：過G、H作y軸的垂線段GG、KK，垂足為G、K，G（3，3），H（0，1），GG=3，GO=3，HO=1，GH=3-1=2，根據(jù)（1）同理可得KK

5、=GH=2，KH=GG=3，KO=KH-HO=3-1=2，點K在第四象限點K的坐標為（2，-2）；（3）點Q的坐標為（-1-b，3+a）例5: 如圖1，ABC中，AGBC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖2中的ABC與AEF的面積相等嗎？（不用證明）拓展延伸1、如圖4，ABC中，AGBC于點G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

6、由 2、（山東菏澤2012）如圖，一次函數(shù)的圖像分別與軸、軸交于點、，以線段為邊在第一象限內(nèi)作等腰,.求過、兩點直線的解析式.xyOABC備用1. 直角三角形ABC的直角頂點C置于直線l上，AC=BC，現(xiàn)過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E，（1）請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明過程；（2）若BE=3，DE=5，求出AD的長解：（1）ACDCBE理由如下： ADCE，BECE，ADC=CEB=90，又ACB=90，ACD=CBE=90-ECB在ACD與CBE中，ADCCEB，ACDCBE，ACDCBE（AAS）；（2）ACDCBE，CD=BE=3，AD=CE，又CE=CD+DE=3+5=8，AD=82、如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？ADEBC第2題圖16下列圖、中陰影分別三所作正多形；圖中陰影分別三直徑所