初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全等三角形

1、初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全等三角形一.知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)梳理及解讀1.全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。2.全等三角形性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等3.三角形全等的判定：（1）邊邊邊 (SAS) :三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（2）角邊角（SAS）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（3）角邊角（ASA）：兩邊和他們的 夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 角角邊（AAS）：兩個(gè)角和其中的一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）斜邊，直角邊 (HL)：斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 4.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。2.角平分線的判定：角的

2、內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。二、找全等三角形的方法（1）從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）從已知出發(fā)，看可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）考慮輔助線，構(gòu)造全等三角形。三全等三角形中幾個(gè)重要結(jié)論（1）全等三角形對應(yīng)角的平分線、中線、高分別相等(對應(yīng)元素都分別相等)（2）在一個(gè)三角形中，等邊對等角，反過來，等角對等邊；等腰三角形三線合一；等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍；等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；等腰三角形底邊上

3、任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；等腰三角形底邊延長線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高。（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這條邊的對角等于90°；Rt30°角的對邊等于斜邊的一半，反之，Rt中如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊的對角是30°。（4）三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)（這點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等），三角形兩外角平分線與第三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)（這點(diǎn)叫三角形的旁心，這點(diǎn)到三角形三邊所在直線的距離相等），到三角形三邊所在直線等距離的點(diǎn)有四個(gè)經(jīng)典例題例1如圖：BE、CF相

4、交于點(diǎn)D，DEAC，DFAB，垂足分別為E、F，且DE=DF。求證：AB=AC。舉一反三：例2【變式1】如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。例3【變式2】如圖：BAC=90°，CEBE，AB=AC，ABE=CBE，求證：BD=2EC。 例4（啟航）已知：如圖，RtABC中，ABAC，ADBC，BE平分ABC，交AD于E，EFAC，求證：AB=BF例5已知：如圖，ADBC，AE平分BAD，AEBE；說明：AD+BC=AB例6（24題）在ABC中，ACB90°，ACBC，過C作CDAB交ABC的平分線于點(diǎn)D，ACB的平分線交

5、BD于點(diǎn)E。（1）求證：BCCD；（2）求證：BCCEAB例7（24題）.如圖，在等腰三角形ABC中，CA = CB，ACB = 90°，點(diǎn)D、E是直線BC上兩點(diǎn)且CD = BE，過點(diǎn)C作CMAE交AE于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，連接DF并延長交AE于點(diǎn)N(1).若AC=2，CD=1，求CM的值；(2).求證：D=E 例8（2015級一中七下）.已知兩個(gè)全等的等腰直角ABC、DEF，其中ACB=DFE=90°，E為AB中點(diǎn)，線段DE，EF分別交線段CA，CB（或它們所在直線）于M、N（1）如圖l所示放置，當(dāng)線段EF經(jīng)過ABC的頂點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，線段DE交AC于M，求證：A

6、M=MC；（2）如圖2所示放置，當(dāng)線段EF與線段BC邊交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN，EC，請?zhí)骄緼M，MN，CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3所示放置，當(dāng)線段EF與BC延長線交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN，EC，請猜想AM，MN，CN之間的等量關(guān)系，不必說明理由例9（2016級南開七下）。已知，在等腰中，為直線AB上一點(diǎn)，連接CD，過C作，且，連接DE，交AC于F。（1）如圖1，當(dāng)D、B重合時(shí)，求證：。（2）如圖2，當(dāng)D在線段AB上，且時(shí)，請?zhí)骄緿F、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。（3）如圖3，在（2）的條件下，在FC上任取一點(diǎn)G，連接DG，作射

7、線GP使，交的角平分線于點(diǎn)，求證：。例10（2014級一中七下）。在RtABC中，ACBC，ACB90°，D是AC的中點(diǎn)，DGAC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與 CF，過點(diǎn)F作FHFC，交直線AB于點(diǎn)H求證：DG=DC 判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明圖1圖2（2）若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）三角形中常見輔助線的作法1、延長中線構(gòu)造全等三角形例1：

8、如圖1，已知ABC中，AD是ABC的中線，AB=8，AC=6，求AD的取值范圍 第1題 第2題 第3題2、引平行線構(gòu)造全等三角形例2：如圖2，已知ABC中，ABAC，D在AB上，E是AC延長線上一點(diǎn)，且BDCE，DE與BC交于點(diǎn)F求證：DF=EF（提示：此題輔助線作法較多，如：作DGAE交BC于G；作EHBA交BC的延長線于H；再通過證三角形全等得DFEF）3、作連線構(gòu)造等腰三角形例3：如圖3，已知RTACB中，C=90°，AC=BC，AD=AC，DEAB，垂足為D，交BC于E求證：BD=DE=CE（提示：連結(jié)DC，證ECD是等腰三角形）4、利用翻折，構(gòu)造全等三角形例4：如圖4，已知

9、ABC中，B2C，AD平分BAC交BC于D求證：ACABBD提示：將ADB沿AD翻折，使B點(diǎn)落在AC上點(diǎn)B處，再證BD=BDBC，易得ADBADB，BDC是等腰三角形，于是結(jié)論可證 第4題 第5題5、作三角形的中位線例5：如圖5，已知四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線交EF的延長線于點(diǎn)M、N求證：BMECNE提示：連結(jié)AC并取中點(diǎn)O，再連結(jié)OE、OF則OEAB，OFCD，故1BME，2CNE、且OE=OF，故12，可得證綜合練習(xí)題1：（2014中考）如圖，已知ABC和ABD均為等腰直角三角形，ACB=BAD=90°，點(diǎn)P為邊AC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)

10、P不與A、C兩點(diǎn)重合），作PEPB交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F（1）求證：AEP=ABP（2）猜想線段PB、PE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想（3）若P為AC延長線上任意一點(diǎn)（如圖），PE交DA的延長線于點(diǎn)E，其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否成立？請證明你的結(jié)論綜合練習(xí)題2：（2014中考）如圖，點(diǎn)E在AD上，ABC和BDE都是等邊三角形猜想：BD、CD、AD三條線段之間的關(guān)系，并說明理由綜合練習(xí)題3：（2014中考）點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，分別過線段AB的端點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D，連接PC、PD（1）當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)P，如圖1，猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系（直接寫出你的猜想）；（2）當(dāng)直線l過線段AB上的任一點(diǎn)，如圖2，猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）當(dāng)直線l過線段AB的延長線上的任一點(diǎn)，按照題意畫出圖形，并判斷PCD的形狀（不必證明）綜合練習(xí)題4：（2014中考）如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DEGF，交AB于點(diǎn)E，連接EG（1）求證：BG=CF；（2）請你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論綜合練習(xí)題5：（2014宿遷）如圖，已知BAD和BCE均為等腰直角三角形，BAD=BCE=90°，