初二數(shù)學(xué) 全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法(有答案)總說明：全等三角形問題主要是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間相等，構(gòu)造二個角之間相等常見輔助線的作法有以下幾種： 1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形3) 遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理（2）可以在角平分線上的一點

2、作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目6) 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。其他方法有：1.角度數(shù)

3、為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。2.計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。3. 特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的

4、知識解答一、倍長中線（線段）造全等例1、已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.應(yīng)用：1、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得

5、到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2、如圖，ADBC，EA,EB分別平分DAB,CBA，CD過點E，求證;ABAD+BC。 3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC應(yīng)用：三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.例2 如圖，在AB

6、C的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.應(yīng)用：1、如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、

7、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；2、已知: